Глава VI. Дополнительные упражнения к главе VI — с. 280
1254. Упростите выражение: а) (x^(−1) + y^(−1))/(x + y)²; б) (ab^(−1) − a^(−1)b)/(a^(−1) − b^(−1)).
а) x^(−1) + y^(−1) = 1/x + 1/y = (x + y)/(xy). Тогда выражение равно (x + y)/(xy(x + y)²) = 1/(xy(x + y)) = 1/(x²y + xy²).
б) Числитель: a/b − b/a = (a² − b²)/(ab). Знаменатель: 1/a − 1/b = (b − a)/(ab). Частное: (a² − b²)/(b − a) = (a − b)(a + b)/(b − a) = −(a + b).
Ответ: а) 1/(x²y + xy²); б) −(a + b).
б) Числитель: a/b − b/a = (a² − b²)/(ab). Знаменатель: 1/a − 1/b = (b − a)/(ab). Частное: (a² − b²)/(b − a) = (a − b)(a + b)/(b − a) = −(a + b).
Ответ: а) 1/(x²y + xy²); б) −(a + b).
1255. Представьте выражение в виде степени с основанием 10 (n — целое число): а) 100^n; б) 0,1 · 100^(n + 3); в) 0,01^n · 10^(2 − 2n).
а) 100^n = (10²)^n = 10^(2n).
б) 0,1 · 100^(n + 3) = 10^(−1) · 10^(2(n + 3)) = 10^(−1 + 2n + 6) = 10^(2n + 5).
в) 0,01^n = (10^(−2))^n = 10^(−2n), поэтому 0,01^n · 10^(2 − 2n) = 10^(−2n + 2 − 2n) = 10^(2 − 4n).
Ответ: а) 10^(2n); б) 10^(2n + 5); в) 10^(2 − 4n).
Оговорка: показатель во втором множителе пункта в) читается как 2 − 2n.
б) 0,1 · 100^(n + 3) = 10^(−1) · 10^(2(n + 3)) = 10^(−1 + 2n + 6) = 10^(2n + 5).
в) 0,01^n = (10^(−2))^n = 10^(−2n), поэтому 0,01^n · 10^(2 − 2n) = 10^(−2n + 2 − 2n) = 10^(2 − 4n).
Ответ: а) 10^(2n); б) 10^(2n + 5); в) 10^(2 − 4n).
Оговорка: показатель во втором множителе пункта в) читается как 2 − 2n.
1256. Упростите выражение (n — целое число): а) 49^n/7^(2n − 1); б) 15^n/(3^(n − 1) · 5^(n + 1)).
а) 49^n = (7²)^n = 7^(2n), поэтому 7^(2n)/7^(2n − 1) = 7^(2n − (2n − 1)) = 7.
б) 15^n = 3^n · 5^n. Знаменатель: 3^(n − 1) · 5^(n + 1). Тогда 3^n/3^(n − 1) = 3 и 5^n/5^(n + 1) = 5^(−1) = 1/5. Итог: 3 · 1/5 = 3/5.
Ответ: а) 7; б) 3/5.
б) 15^n = 3^n · 5^n. Знаменатель: 3^(n − 1) · 5^(n + 1). Тогда 3^n/3^(n − 1) = 3 и 5^n/5^(n + 1) = 5^(−1) = 1/5. Итог: 3 · 1/5 = 3/5.
Ответ: а) 7; б) 3/5.
1257. Докажите, что значение выражения (m — целое число) не зависит от m: а) 21^m/(3^(m − 1) · 7^(m + 1)); б) 6^m · 10^(m + 1)/(2^(2m) · 15^(m − 1)).
а) 21^m = 3^m · 7^m. Тогда выражение равно (3^m/3^(m − 1)) · (7^m/7^(m + 1)) = 3 · 7^(−1) = 3/7. Число не зависит от m.
б) 6^m = 2^m · 3^m, 10^(m + 1) = 2^(m + 1) · 5^(m + 1), 15^(m − 1) = 3^(m − 1) · 5^(m − 1). Числитель: 2^(2m + 1) · 3^m · 5^(m + 1). Знаменатель: 2^(2m) · 3^(m − 1) · 5^(m − 1). Частное: 2^(2m + 1 − 2m) · 3^(m − (m − 1)) · 5^((m + 1) − (m − 1)) = 2 · 3 · 5² = 150. Число не зависит от m.
Ответ: а) 3/7; б) 150.
Оговорка: знаки в показателях знаменателей (3^(m − 1), 15^(m − 1)) в скане различимы плохо; при других знаках результат был бы иным числом, но тоже не зависящим от m (в а) 1/21, в б) 2/3).
б) 6^m = 2^m · 3^m, 10^(m + 1) = 2^(m + 1) · 5^(m + 1), 15^(m − 1) = 3^(m − 1) · 5^(m − 1). Числитель: 2^(2m + 1) · 3^m · 5^(m + 1). Знаменатель: 2^(2m) · 3^(m − 1) · 5^(m − 1). Частное: 2^(2m + 1 − 2m) · 3^(m − (m − 1)) · 5^((m + 1) − (m − 1)) = 2 · 3 · 5² = 150. Число не зависит от m.
Ответ: а) 3/7; б) 150.
Оговорка: знаки в показателях знаменателей (3^(m − 1), 15^(m − 1)) в скане различимы плохо; при других знаках результат был бы иным числом, но тоже не зависящим от m (в а) 1/21, в б) 2/3).
1258. Представьте выражение x^(−2) + x^(−1) + x в виде произведения двух множителей, один из которых равен: а) x; б) x^(−1); в) x^(−2).
Выносим множитель за скобки, деля каждое слагаемое на него.
а) x^(−2) : x = x^(−3), x^(−1) : x = x^(−2), x : x = 1. Получаем x(x^(−3) + x^(−2) + 1).
б) x^(−2) : x^(−1) = x^(−1), x^(−1) : x^(−1) = 1, x : x^(−1) = x². Получаем x^(−1)(x^(−1) + 1 + x²).
в) x^(−2) : x^(−2) = 1, x^(−1) : x^(−2) = x, x : x^(−2) = x³. Получаем x^(−2)(1 + x + x³).
а) x^(−2) : x = x^(−3), x^(−1) : x = x^(−2), x : x = 1. Получаем x(x^(−3) + x^(−2) + 1).
б) x^(−2) : x^(−1) = x^(−1), x^(−1) : x^(−1) = 1, x : x^(−1) = x². Получаем x^(−1)(x^(−1) + 1 + x²).
в) x^(−2) : x^(−2) = 1, x^(−1) : x^(−2) = x, x : x^(−2) = x³. Получаем x^(−2)(1 + x + x³).
1259. В выражении a^(−6) + a^(−4) вынесите за скобки множитель: а) a^(−4); б) a^(−6).
а) a^(−6) : a^(−4) = a^(−2), a^(−4) : a^(−4) = 1. Получаем a^(−4)(a^(−2) + 1).
б) a^(−6) : a^(−6) = 1, a^(−4) : a^(−6) = a². Получаем a^(−6)(1 + a²).
б) a^(−6) : a^(−6) = 1, a^(−4) : a^(−6) = a². Получаем a^(−6)(1 + a²).
1260. Упростите выражение: а) (x⁵ + x^12)/(x^(−5) + x^(−12)); б) (a⁵ + a⁶ + a⁷)/(a^(−5) + a^(−6) + a^(−7)).
а) Числитель: x⁵(1 + x⁷). Знаменатель: x^(−12)(x⁷ + 1). Сокращаем на 1 + x⁷: x⁵/x^(−12) = x^17.
б) Числитель: a⁵(1 + a + a²). Знаменатель: a^(−7)(a² + a + 1). Сокращаем на a² + a + 1: a⁵/a^(−7) = a^12.
Ответ: а) x^17; б) a^12.
б) Числитель: a⁵(1 + a + a²). Знаменатель: a^(−7)(a² + a + 1). Сокращаем на a² + a + 1: a⁵/a^(−7) = a^12.
Ответ: а) x^17; б) a^12.
1261. Докажите, что при любом целом n верно равенство: а) 2^n + 2^n = 2^(n + 1); б) 2 · 3^n + 3^n = 3^(n + 1).
а) 2^n + 2^n = 2 · 2^n = 2^1 · 2^n = 2^(n + 1).
б) 2 · 3^n + 3^n = (2 + 1) · 3^n = 3 · 3^n = 3^(n + 1).
Равенства доказаны.
б) 2 · 3^n + 3^n = (2 + 1) · 3^n = 3 · 3^n = 3^(n + 1).
Равенства доказаны.
1262. Сократите дробь (n — целое число): а) (3^(n + 1) − 3^n)/2; б) (2^n + 2^(−n))/(4^n + 1).
а) 3^(n + 1) − 3^n = 3^n(3 − 1) = 2 · 3^n. Дробь: 2 · 3^n/2 = 3^n.
б) 4^n + 1 = 2^(2n) + 1 = 2^n(2^n + 2^(−n)), так как 2^n · 2^(−n) = 1. Тогда (2^n + 2^(−n))/(2^n(2^n + 2^(−n))) = 1/2^n = 2^(−n).
Ответ: а) 3^n; б) 2^(−n).
б) 4^n + 1 = 2^(2n) + 1 = 2^n(2^n + 2^(−n)), так как 2^n · 2^(−n) = 1. Тогда (2^n + 2^(−n))/(2^n(2^n + 2^(−n))) = 1/2^n = 2^(−n).
Ответ: а) 3^n; б) 2^(−n).
1263. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных: а) (2^m · 3^(n + 1) − 2^(m + 1) · 3^n)/(2^m · 3^n); б) (5^(n + 1) · 2^(n − 2) + 5^(n − 2) · 2^(n − 1))/10^(n − 2); в) 5^m · 4^n/(5^(m − 2) · 2^(2n) + 5^m · 2^(2n − 1)); г) 21^n/(3^(n − 1) · 7^(n + 1) + 3^n · 7^n).
а) Числитель: 2^m · 3^n · 3 − 2^m · 2 · 3^n = 2^m · 3^n(3 − 2) = 2^m · 3^n. Дробь равна 1.
б) 10^(n − 2) = 5^(n − 2) · 2^(n − 2). Первое слагаемое: 5^(n + 1) · 2^(n − 2)/(5^(n − 2) · 2^(n − 2)) = 5³ = 125. Второе слагаемое: 5^(n − 2) · 2^(n − 1)/(5^(n − 2) · 2^(n − 2)) = 2. Сумма равна 127.
в) 4^n = 2^(2n). Вынесем в знаменателе 5^(m − 2) · 2^(2n − 1): 5^(m − 2) · 2^(2n) = 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 2, а 5^m · 2^(2n − 1) = 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 25. Знаменатель равен 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 27. Числитель 5^m · 2^(2n) = 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 50. Дробь равна 50/27.
г) 21^n = 3^n · 7^n. Знаменатель: 3^(n − 1) · 7^(n + 1) + 3^n · 7^n = 3^n · 7^n(7/3 + 1) = 3^n · 7^n · 10/3. Дробь равна 3/10.
Ответ: а) 1; б) 127; в) 50/27; г) 3/10 — числа не зависят от переменных.
Оговорка: в скане в пунктах а) и б) не видны знаки в показателях 3^(n ± 1), 2^(m ± 1), 5^(n ± 1); принят знак «плюс». При знаке «минус» результат был бы иным числом (в а) −1/6, в б) 7), но также постоянным.
б) 10^(n − 2) = 5^(n − 2) · 2^(n − 2). Первое слагаемое: 5^(n + 1) · 2^(n − 2)/(5^(n − 2) · 2^(n − 2)) = 5³ = 125. Второе слагаемое: 5^(n − 2) · 2^(n − 1)/(5^(n − 2) · 2^(n − 2)) = 2. Сумма равна 127.
в) 4^n = 2^(2n). Вынесем в знаменателе 5^(m − 2) · 2^(2n − 1): 5^(m − 2) · 2^(2n) = 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 2, а 5^m · 2^(2n − 1) = 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 25. Знаменатель равен 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 27. Числитель 5^m · 2^(2n) = 5^(m − 2) · 2^(2n − 1) · 50. Дробь равна 50/27.
г) 21^n = 3^n · 7^n. Знаменатель: 3^(n − 1) · 7^(n + 1) + 3^n · 7^n = 3^n · 7^n(7/3 + 1) = 3^n · 7^n · 10/3. Дробь равна 3/10.
Ответ: а) 1; б) 127; в) 50/27; г) 3/10 — числа не зависят от переменных.
Оговорка: в скане в пунктах а) и б) не видны знаки в показателях 3^(n ± 1), 2^(m ± 1), 5^(n ± 1); принят знак «плюс». При знаке «минус» результат был бы иным числом (в а) −1/6, в б) 7), но также постоянным.
1264. Корни x₁ и x₂ уравнения nx² − 5x + 1 = 0 связаны соотношением x₁^(−2) + x₂^(−2) = 13. Найдите n.
По теореме Виета x₁ + x₂ = 5/n, x₁x₂ = 1/n.
x₁^(−2) + x₂^(−2) = 1/x₁² + 1/x₂² = (x₁² + x₂²)/(x₁x₂)² = ((x₁ + x₂)² − 2x₁x₂)/(x₁x₂)².
Подставим: (25/n² − 2/n)/(1/n²) = 25 − 2n.
По условию 25 − 2n = 13, откуда n = 6.
Проверка: 6x² − 5x + 1 = 0, D = 25 − 24 = 1 > 0, корни 1/2 и 1/3, 4 + 9 = 13.
Ответ: n = 6.
x₁^(−2) + x₂^(−2) = 1/x₁² + 1/x₂² = (x₁² + x₂²)/(x₁x₂)² = ((x₁ + x₂)² − 2x₁x₂)/(x₁x₂)².
Подставим: (25/n² − 2/n)/(1/n²) = 25 − 2n.
По условию 25 − 2n = 13, откуда n = 6.
Проверка: 6x² − 5x + 1 = 0, D = 25 − 24 = 1 > 0, корни 1/2 и 1/3, 4 + 9 = 13.
Ответ: n = 6.