Глава VI. §16. п.51 Функции y = x^(−1) и y = x^(−2) и их свойства — с. 279
1249. Постройте график функции y = [x^(−2), если −2 ≤ x < −1; x², если −1 ≤ x ≤ 1; x^(−2), если 1 < x ≤ 2]. Сколько общих точек имеет этот график с прямой y = a в случае, когда: а) a = 2; б) a = 1; в) a = 1/2; г) a = 0?
Построение: на [−2; −1) — ветвь y = 1/x² (от точки (−2; 1/4) до точки (−1; 1)); на [−1; 1] — парабола y = x² (через (−1; 1), (0; 0), (1; 1)); на (1; 2] — ветвь y = 1/x² (от (1; 1) до (2; 1/4)). Все значения функции не превосходят 1. График непрерывен, в точках x = ±1 части стыкуются в точке со значением 1.
а) a = 2: прямая y = 2 лежит выше всего графика, общих точек нет.
б) a = 1: точки (−1; 1) и (1; 1), две общие точки.
в) a = 1/2: x² = 1/2 даёт x = ±√(1/2) (оба из отрезка [−1; 1]); 1/x² = 1/2 даёт x = ±√2 (оба в пределах [−2; −1) и (1; 2]). Четыре общие точки.
г) a = 0: x² = 0, x = 0; уравнение 1/x² = 0 решений не имеет. Одна общая точка (0; 0).
Ответ: а) нет общих точек; б) две; в) четыре; г) одна.
а) a = 2: прямая y = 2 лежит выше всего графика, общих точек нет.
б) a = 1: точки (−1; 1) и (1; 1), две общие точки.
в) a = 1/2: x² = 1/2 даёт x = ±√(1/2) (оба из отрезка [−1; 1]); 1/x² = 1/2 даёт x = ±√2 (оба в пределах [−2; −1) и (1; 2]). Четыре общие точки.
г) a = 0: x² = 0, x = 0; уравнение 1/x² = 0 решений не имеет. Одна общая точка (0; 0).
Ответ: а) нет общих точек; б) две; в) четыре; г) одна.
1250. Дана функция y = [x^(−1), если x < −1/2; 4x, если −1/2 ≤ x ≤ 1/2; x^(−1), если x > 1/2]. Сколько корней имеет уравнение: а) y = 2; б) y = 1/3; в) y = 0; г) y = −3?
Найдём, какие значения принимает каждая часть функции: при x < −1/2 значения 1/x лежат в промежутке (−2; 0); при −1/2 ≤ x ≤ 1/2 значения 4x лежат в [−2; 2]; при x > 1/2 значения 1/x лежат в (0; 2).
а) y = 2: на первом участке 1/x = 2 не бывает (значения отрицательны); на среднем 4x = 2, x = 1/2 — подходит; на третьем 1/x = 2, x = 1/2 — не удовлетворяет условию x > 1/2. Один корень.
б) y = 1/3: на среднем участке 4x = 1/3, x = 1/12 подходит; на третьем 1/x = 1/3, x = 3 > 1/2 подходит; на первом значения отрицательны. Два корня.
в) y = 0: на среднем участке 4x = 0, x = 0; выражение 1/x нулю не равно. Один корень.
г) y = −3: на первом участке 1/x = −3, x = −1/3, но это не меньше −1/2; на среднем 4x = −3, x = −3/4, но это не лежит в [−1/2; 1/2]; на третьем значения положительны. Корней нет.
Ответ: а) один; б) два; в) один; г) корней нет.
а) y = 2: на первом участке 1/x = 2 не бывает (значения отрицательны); на среднем 4x = 2, x = 1/2 — подходит; на третьем 1/x = 2, x = 1/2 — не удовлетворяет условию x > 1/2. Один корень.
б) y = 1/3: на среднем участке 4x = 1/3, x = 1/12 подходит; на третьем 1/x = 1/3, x = 3 > 1/2 подходит; на первом значения отрицательны. Два корня.
в) y = 0: на среднем участке 4x = 0, x = 0; выражение 1/x нулю не равно. Один корень.
г) y = −3: на первом участке 1/x = −3, x = −1/3, но это не меньше −1/2; на среднем 4x = −3, x = −3/4, но это не лежит в [−1/2; 1/2]; на третьем значения положительны. Корней нет.
Ответ: а) один; б) два; в) один; г) корней нет.
1251. Вычислите: а) −0,25^(−2) · 100; б) 0,01 · (−0,5)^(−3); в) 0,2^(−4) · (−1,6); г) 0,1^(−1) + 1,1⁰; д) 3 1/3 · (2/3)^(−2) − 0,5; е) −4^(−1) · 5 + 2,5²; ж) (−0,2)³ · (−0,1)²; з) −6^(−1) · 36² · (1/6)³; и) −(−1)⁰ · (−1/3)⁵.
а) 0,25^(−2) = (1/4)^(−2) = 16; −16 · 100 = −1600.
б) (−0,5)^(−3) = (−2)³ = −8; 0,01 · (−8) = −0,08.
в) 0,2^(−4) = 5⁴ = 625; 625 · (−1,6) = −1000.
г) 0,1^(−1) = 10; 1,1⁰ = 1; 10 + 1 = 11.
д) 3 1/3 = 10/3; (2/3)^(−2) = 9/4; 10/3 · 9/4 = 15/2 = 7,5; 7,5 − 0,5 = 7.
е) −4^(−1) · 5 = −5/4 = −1,25; 2,5² = 6,25; −1,25 + 6,25 = 5.
ж) (−0,2)³ = −0,008; (−0,1)² = 0,01; произведение −0,00008.
з) −6^(−1) · 36² · (1/6)³ = −(1/6) · 1296 · (1/216) = −(1/6) · 6 = −1.
и) (−1)⁰ = 1, (−1/3)⁵ = −1/243; −1 · (−1/243) = 1/243.
Ответ: а) −1600; б) −0,08; в) −1000; г) 11; д) 7; е) 5; ж) −0,00008; з) −1; и) 1/243.
Оговорка: в пунктах ж)–и) в ответах учебника результатов нет; пункты ж) и з) вычислены по условию, как оно напечатано.
б) (−0,5)^(−3) = (−2)³ = −8; 0,01 · (−8) = −0,08.
в) 0,2^(−4) = 5⁴ = 625; 625 · (−1,6) = −1000.
г) 0,1^(−1) = 10; 1,1⁰ = 1; 10 + 1 = 11.
д) 3 1/3 = 10/3; (2/3)^(−2) = 9/4; 10/3 · 9/4 = 15/2 = 7,5; 7,5 − 0,5 = 7.
е) −4^(−1) · 5 = −5/4 = −1,25; 2,5² = 6,25; −1,25 + 6,25 = 5.
ж) (−0,2)³ = −0,008; (−0,1)² = 0,01; произведение −0,00008.
з) −6^(−1) · 36² · (1/6)³ = −(1/6) · 1296 · (1/216) = −(1/6) · 6 = −1.
и) (−1)⁰ = 1, (−1/3)⁵ = −1/243; −1 · (−1/243) = 1/243.
Ответ: а) −1600; б) −0,08; в) −1000; г) 11; д) 7; е) 5; ж) −0,00008; з) −1; и) 1/243.
Оговорка: в пунктах ж)–и) в ответах учебника результатов нет; пункты ж) и з) вычислены по условию, как оно напечатано.
1252. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями: а) am^(−2)/(a^(−1)b); б) (a + b)b/(b^(−1)(a − b)); в) 2a^(−1)b²/(a + b)^(−2).
Используем a^(−n) = 1/aⁿ: множитель с отрицательным показателем переносится из числителя в знаменатель или наоборот.
а) am^(−2)/(a^(−1)b) = a · a/(m² · b) = a²/(bm²).
б) 1/b^(−1) = b, поэтому (a + b)b/(b^(−1)(a − b)) = (a + b)b · b/(a − b) = b²(a + b)/(a − b).
в) 2a^(−1)b² = 2b²/a, а 1/(a + b)^(−2) = (a + b)², поэтому выражение равно 2b²(a + b)²/a.
Ответ: а) a²/(bm²); б) b²(a + b)/(a − b); в) 2b²(a + b)²/a.
Оговорка: в скане знак показателя в пункте в) (a + b)^(−2) и вид пункта б) различимы плохо; принято, что в в) показатель отрицательный (иначе в выражении не было бы нужного преобразования для этого множителя).
а) am^(−2)/(a^(−1)b) = a · a/(m² · b) = a²/(bm²).
б) 1/b^(−1) = b, поэтому (a + b)b/(b^(−1)(a − b)) = (a + b)b · b/(a − b) = b²(a + b)/(a − b).
в) 2a^(−1)b² = 2b²/a, а 1/(a + b)^(−2) = (a + b)², поэтому выражение равно 2b²(a + b)²/a.
Ответ: а) a²/(bm²); б) b²(a + b)/(a − b); в) 2b²(a + b)²/a.
Оговорка: в скане знак показателя в пункте в) (a + b)^(−2) и вид пункта б) различимы плохо; принято, что в в) показатель отрицательный (иначе в выражении не было бы нужного преобразования для этого множителя).
1253. Представьте в виде дроби выражение: а) xy^(−2) − x^(−2)y; б) (x/y)^(−1) + (x/y)^(−2); в) mn(n − m)^(−2) − n(m − n)^(−1); г) (x^(−1) + y^(−1))(x^(−1) − y^(−1)).
а) xy^(−2) − x^(−2)y = x/y² − y/x² = (x³ − y³)/(x²y²).
б) (x/y)^(−1) + (x/y)^(−2) = y/x + y²/x² = (xy + y²)/x².
в) mn/(n − m)² − n/(m − n) = mn/(n − m)² + n/(n − m) = (mn + n(n − m))/(n − m)² = (mn + n² − mn)/(n − m)² = n²/(n − m)².
г) (x^(−1) + y^(−1))(x^(−1) − y^(−1)) = x^(−2) − y^(−2) = 1/x² − 1/y² = (y² − x²)/(x²y²).
Ответ: а) (x³ − y³)/(x²y²); б) (xy + y²)/x²; в) n²/(n − m)²; г) (y² − x²)/(x²y²).
б) (x/y)^(−1) + (x/y)^(−2) = y/x + y²/x² = (xy + y²)/x².
в) mn/(n − m)² − n/(m − n) = mn/(n − m)² + n/(n − m) = (mn + n(n − m))/(n − m)² = (mn + n² − mn)/(n − m)² = n²/(n − m)².
г) (x^(−1) + y^(−1))(x^(−1) − y^(−1)) = x^(−2) − y^(−2) = 1/x² − 1/y² = (y² − x²)/(x²y²).
Ответ: а) (x³ − y³)/(x²y²); б) (xy + y²)/x²; в) n²/(n − m)²; г) (y² − x²)/(x²y²).