Глава VI. §16. п.51 Функции y = x^(−1) и y = x^(−2) и их свойства — с. 278
1241. Известно, что точки A(a; 1/247) и B(843; b) принадлежат гиперболе y = x^(−1). Найдите a и b.
Гипербола задана формулой y = x^(−1) = 1/x, поэтому для точек графика xy = 1.
Точка A: a · 1/247 = 1, откуда a = 247.
Точка B: 843 · b = 1, откуда b = 1/843.
Ответ: a = 247, b = 1/843.
Точка A: a · 1/247 = 1, откуда a = 247.
Точка B: 843 · b = 1, откуда b = 1/843.
Ответ: a = 247, b = 1/843.
1242. Постройте в одной системе координат графики функций y = x и y = x^(−1). Выясните, при каких значениях аргумента верны равенство x = x^(−1) и неравенства x > x^(−1) и x < x^(−1) в случае, если: а) x > 0; б) x < 0.
Графики — прямая y = x и гипербола y = 1/x — построены на рисунке. Они пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1).
а) При x > 0: равенство x = 1/x даёт x² = 1, x = 1. График прямой лежит выше гиперболы при x > 1, поэтому x > x^(−1) при x > 1; прямая лежит ниже гиперболы при 0 < x < 1, поэтому x < x^(−1) при 0 < x < 1.
б) При x < 0: равенство верно при x = −1. Прямая выше гиперболы при −1 < x < 0, значит, x > x^(−1) при −1 < x < 0 (например, −0,5 > −2). Прямая ниже гиперболы при x < −1, значит, x < x^(−1) при x < −1 (например, −2 < −0,5).
Ответ: а) x = x^(−1) при x = 1; x > x^(−1) при x > 1; x < x^(−1) при 0 < x < 1; б) x = x^(−1) при x = −1; x > x^(−1) при −1 < x < 0; x < x^(−1) при x < −1.
а) При x > 0: равенство x = 1/x даёт x² = 1, x = 1. График прямой лежит выше гиперболы при x > 1, поэтому x > x^(−1) при x > 1; прямая лежит ниже гиперболы при 0 < x < 1, поэтому x < x^(−1) при 0 < x < 1.
б) При x < 0: равенство верно при x = −1. Прямая выше гиперболы при −1 < x < 0, значит, x > x^(−1) при −1 < x < 0 (например, −0,5 > −2). Прямая ниже гиперболы при x < −1, значит, x < x^(−1) при x < −1 (например, −2 < −0,5).
Ответ: а) x = x^(−1) при x = 1; x > x^(−1) при x > 1; x < x^(−1) при 0 < x < 1; б) x = x^(−1) при x = −1; x > x^(−1) при −1 < x < 0; x < x^(−1) при x < −1.
1243. Докажите, что прямая y = −x + l, где l — некоторое положительное число, и гипербола y = x^(−1): а) имеют две общие точки, если l > 2; б) имеют одну общую точку, если l = 2; в) не имеют общих точек, если l < 2.
Абсциссы общих точек — корни уравнения 1/x = −x + l при x ≠ 0. Умножим на x: 1 = −x² + lx, то есть x² − lx + 1 = 0. Число x = 0 не является корнем (подстановка даёт 1 = 0), поэтому посторонних корней нет.
Дискриминант D = l² − 4.
а) Если l > 2 (l положительно), то l² > 4, D > 0, уравнение имеет два корня, значит, прямая и гипербола имеют две общие точки.
б) Если l = 2, то D = 0, один корень x = 1, одна общая точка (1; 1).
в) Если 0 < l < 2, то l² < 4, D < 0, корней нет, общих точек нет.
Что и требовалось доказать.
Дискриминант D = l² − 4.
а) Если l > 2 (l положительно), то l² > 4, D > 0, уравнение имеет два корня, значит, прямая и гипербола имеют две общие точки.
б) Если l = 2, то D = 0, один корень x = 1, одна общая точка (1; 1).
в) Если 0 < l < 2, то l² < 4, D < 0, корней нет, общих точек нет.
Что и требовалось доказать.
1244. Постройте график функции y = [x, если x ≤ 0; x^(−1), если x > 0]. Найдите: а) значение y, если x = −2; 2; б) значение x, при котором y = −4; 4.
График: при x ≤ 0 — луч прямой y = x с началом в точке (0; 0); при x > 0 — ветвь гиперболы y = 1/x в первой четверти (рисунок).
а) x = −2 ≤ 0, поэтому y = x = −2. x = 2 > 0, поэтому y = 1/2 = 0,5.
б) y = −4: при x ≤ 0 имеем x = −4 (подходит); при x > 0 значение 1/x положительно и равным −4 быть не может. Значит, x = −4.
y = 4: при x ≤ 0 получилось бы x = 4, что не удовлетворяет условию x ≤ 0; при x > 0 имеем 1/x = 4, x = 1/4. Значит, x = 1/4.
Ответ: а) −2; 0,5; б) −4; 1/4.
а) x = −2 ≤ 0, поэтому y = x = −2. x = 2 > 0, поэтому y = 1/2 = 0,5.
б) y = −4: при x ≤ 0 имеем x = −4 (подходит); при x > 0 значение 1/x положительно и равным −4 быть не может. Значит, x = −4.
y = 4: при x ≤ 0 получилось бы x = 4, что не удовлетворяет условию x ≤ 0; при x > 0 имеем 1/x = 4, x = 1/4. Значит, x = 1/4.
Ответ: а) −2; 0,5; б) −4; 1/4.
1245. Постройте график функции y = |x^(−1)|. Как расположен этот график относительно оси y?
Так как x^(−1) = 1/x, то y = |1/x|. При x > 0 имеем y = 1/x, график — ветвь гиперболы в первой четверти. При x < 0 имеем y = −1/x, график получается из ветви гиперболы третьей четверти симметрией относительно оси x, то есть лежит во второй четверти (рисунок).
Функция чётная: |1/(−x)| = |1/x|. Поэтому график симметричен относительно оси y и целиком расположен выше оси x.
Ответ: график состоит из двух ветвей в первой и второй четвертях и симметричен относительно оси y.
Функция чётная: |1/(−x)| = |1/x|. Поэтому график симметричен относительно оси y и целиком расположен выше оси x.
Ответ: график состоит из двух ветвей в первой и второй четвертях и симметричен относительно оси y.
1246. Постройте в одной системе координат графики функций y = x^(−1), где x > 0, и y = x^(−2), где x > 0. Сравните значения x^(−1) и x^(−2), если: а) 0 < x < 1; б) x > 1.
Графики построены на рисунке: обе ветви лежат в первой четверти и пересекаются в точке (1; 1).
Аналитически: x^(−2) − x^(−1) = 1/x² − 1/x = (1 − x)/x². При x > 0 знаменатель положителен, поэтому знак разности совпадает со знаком 1 − x.
а) При 0 < x < 1 разность положительна, значит, x^(−2) > x^(−1) (график y = x^(−2) выше). Например, x = 0,5: x^(−1) = 2, x^(−2) = 4.
б) При x > 1 разность отрицательна, значит, x^(−2) < x^(−1) (график y = x^(−2) ниже). Например, x = 2: x^(−1) = 0,5, x^(−2) = 0,25.
Ответ: а) x^(−1) < x^(−2); б) x^(−1) > x^(−2).
Аналитически: x^(−2) − x^(−1) = 1/x² − 1/x = (1 − x)/x². При x > 0 знаменатель положителен, поэтому знак разности совпадает со знаком 1 − x.
а) При 0 < x < 1 разность положительна, значит, x^(−2) > x^(−1) (график y = x^(−2) выше). Например, x = 0,5: x^(−1) = 2, x^(−2) = 4.
б) При x > 1 разность отрицательна, значит, x^(−2) < x^(−1) (график y = x^(−2) ниже). Например, x = 2: x^(−1) = 0,5, x^(−2) = 0,25.
Ответ: а) x^(−1) < x^(−2); б) x^(−1) > x^(−2).
1247. Известно, что точки A(a; 1/2601) и B(0,0625; b) принадлежат графику функции y = x^(−2). Найдите a и b.
Для точек графика y = 1/x².
Точка A: 1/a² = 1/2601, a² = 2601, a = 51 или a = −51 (51² = 2601).
Точка B: b = 0,0625^(−2) = 1/0,0625² . Так как 0,0625 = 1/16, то b = 16² = 256.
Ответ: a = 51 или a = −51; b = 256.
Оговорка: в ответах учебника указано только a = 51; значение a = −51 тоже удовлетворяет условию, так как график симметричен относительно оси y.
Точка A: 1/a² = 1/2601, a² = 2601, a = 51 или a = −51 (51² = 2601).
Точка B: b = 0,0625^(−2) = 1/0,0625² . Так как 0,0625 = 1/16, то b = 16² = 256.
Ответ: a = 51 или a = −51; b = 256.
Оговорка: в ответах учебника указано только a = 51; значение a = −51 тоже удовлетворяет условию, так как график симметричен относительно оси y.
1248. Расположите в порядке возрастания числа x₀², x₀, x₀⁰, x₀^(−1), x₀^(−2), зная, что: а) 0 < x₀ < 1; б) x₀ > 1.
Здесь x₀⁰ = 1. Показатели степени расположены в порядке: −2 < −1 < 0 < 1 < 2.
а) При 0 < x₀ < 1 с ростом показателя степень уменьшается, поэтому x₀^(−2) > x₀^(−1) > x₀⁰ > x₀ > x₀². Пример: x₀ = 1/2: 4 > 2 > 1 > 1/2 > 1/4.
В порядке возрастания: x₀², x₀, x₀⁰, x₀^(−1), x₀^(−2).
б) При x₀ > 1 с ростом показателя степень растёт, поэтому x₀^(−2) < x₀^(−1) < x₀⁰ < x₀ < x₀². Пример: x₀ = 2: 1/4 < 1/2 < 1 < 2 < 4.
В порядке возрастания: x₀^(−2), x₀^(−1), x₀⁰, x₀, x₀².
а) При 0 < x₀ < 1 с ростом показателя степень уменьшается, поэтому x₀^(−2) > x₀^(−1) > x₀⁰ > x₀ > x₀². Пример: x₀ = 1/2: 4 > 2 > 1 > 1/2 > 1/4.
В порядке возрастания: x₀², x₀, x₀⁰, x₀^(−1), x₀^(−2).
б) При x₀ > 1 с ростом показателя степень растёт, поэтому x₀^(−2) < x₀^(−1) < x₀⁰ < x₀ < x₀². Пример: x₀ = 2: 1/4 < 1/2 < 1 < 2 < 4.
В порядке возрастания: x₀^(−2), x₀^(−1), x₀⁰, x₀, x₀².