Глава VI. §16. п.50 Решение задач с большими и малыми числами — с. 274
1231. Плотность железа 7,8 · 10³ кг/м³. Найдите массу железной плиты, длина которой 1,2 м, ширина 6 · 10^(−1) м и толщина 2,5 · 10^(−1) м.
Объём плиты V = 1,2 · 6 · 10^(−1) · 2,5 · 10^(−1) = 1,2 · 6 · 2,5 · 10^(−2) = 18 · 10^(−2) = 0,18 м³.
Масса m = ρV = 7,8 · 10³ · 0,18 = 1,404 · 10³ кг (1404 кг).
Ответ: 1,404 · 10³ кг.
Масса m = ρV = 7,8 · 10³ · 0,18 = 1,404 · 10³ кг (1404 кг).
Ответ: 1,404 · 10³ кг.
1232. Числа записаны в стандартном виде: 3,76 · 10⁵; 1,9987 · 10⁵; 5,001 · 10⁵; 0,9999 · 10⁵; 1,9899 · 10⁵. Расположите их: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания.
У всех чисел один и тот же множитель 10⁵, поэтому сравниваем числовые множители: 0,9999 < 1,9899 < 1,9987 < 3,76 < 5,001.
а) По возрастанию: 0,9999 · 10⁵; 1,9899 · 10⁵; 1,9987 · 10⁵; 3,76 · 10⁵; 5,001 · 10⁵.
б) По убыванию: 5,001 · 10⁵; 3,76 · 10⁵; 1,9987 · 10⁵; 1,9899 · 10⁵; 0,9999 · 10⁵.
Замечание: запись 0,9999 · 10⁵ не является стандартной (множитель меньше 1), но на сравнение это не влияет.
а) По возрастанию: 0,9999 · 10⁵; 1,9899 · 10⁵; 1,9987 · 10⁵; 3,76 · 10⁵; 5,001 · 10⁵.
б) По убыванию: 5,001 · 10⁵; 3,76 · 10⁵; 1,9987 · 10⁵; 1,9899 · 10⁵; 0,9999 · 10⁵.
Замечание: запись 0,9999 · 10⁵ не является стандартной (множитель меньше 1), но на сравнение это не влияет.
1233. Числа записаны в стандартном виде: 7,89 · 10²; 1,11 · 10⁸; 9,99 · 10^(−8); 1,02 · 10^100; 1,11 · 10^11. Расположите их: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания.
Сначала сравниваем порядки: −8 < 2 < 8 < 11 < 100. Чем больше порядок, тем больше число (множители лежат в промежутке от 1 до 10).
а) По возрастанию: 9,99 · 10^(−8); 7,89 · 10²; 1,11 · 10⁸; 1,11 · 10^11; 1,02 · 10^100.
б) По убыванию: 1,02 · 10^100; 1,11 · 10^11; 1,11 · 10⁸; 7,89 · 10²; 9,99 · 10^(−8).
а) По возрастанию: 9,99 · 10^(−8); 7,89 · 10²; 1,11 · 10⁸; 1,11 · 10^11; 1,02 · 10^100.
б) По убыванию: 1,02 · 10^100; 1,11 · 10^11; 1,11 · 10⁸; 7,89 · 10²; 9,99 · 10^(−8).
1234. Самой длинной рекой в мире является Амазонка, её длина 7100 км. Вторая по протяжённости река — Нил. Её длина составляет 6670 км. Река Лена тянется на 5100 км, а река Меконг имеет протяжённость 4500 км. Запишите длину этих рек в стандартном виде.
Амазонка: 7100 км = 7,1 · 10³ км.
Нил: 6670 км = 6,67 · 10³ км.
Лена: 5100 км = 5,1 · 10³ км.
Меконг: 4500 км = 4,5 · 10³ км.
Нил: 6670 км = 6,67 · 10³ км.
Лена: 5100 км = 5,1 · 10³ км.
Меконг: 4500 км = 4,5 · 10³ км.
1235. В стакане на 200 г содержится 66,822 · 10²³ молекул воды. Найдите вес одной молекулы воды и запишите его в стандартном виде.
Масса одной молекулы равна 200 г, делённым на число молекул: 200 : (66,822 · 10²³) = (200 : 66,822) · 10^(−23) ≈ 2,993 · 10^(−23) г.
Проверка: 66,822 · 10²³ = 6,6822 · 10²⁴, 200 : 6,6822 ≈ 29,93, то есть 2,993 · 10 · 10^(−24) = 2,993 · 10^(−23).
Ответ: примерно 2,99 · 10^(−23) г (≈ 3 · 10^(−23) г).
Оговорка: «вес» понимается как масса, выраженная в граммах.
Проверка: 66,822 · 10²³ = 6,6822 · 10²⁴, 200 : 6,6822 ≈ 29,93, то есть 2,993 · 10 · 10^(−24) = 2,993 · 10^(−23).
Ответ: примерно 2,99 · 10^(−23) г (≈ 3 · 10^(−23) г).
Оговорка: «вес» понимается как масса, выраженная в граммах.
1236. В атомной физике за единицу массы принята атомная единица массы (обозначается а. е. м.). Известно, что 1 а. е. м. = 1,66 · 10^(−24) г. Выразите в граммах массу одного атома водорода, меди, йода и азота, зная, что: масса атома водорода равна 1,008 а. е. м., масса атома меди равна 63,546 а. е. м., масса атома йода равна 126,904 а. е. м., масса атома азота равна 14,007 а. е. м.
Умножаем число атомных единиц на 1,66 · 10^(−24) г.
Водород: 1,008 · 1,66 = 1,67328, масса ≈ 1,67 · 10^(−24) г.
Медь: 63,546 · 1,66 = 105,48636, масса ≈ 1,05 · 10² · 10^(−24) = 1,05 · 10^(−22) г.
Йод: 126,904 · 1,66 = 210,66064, масса ≈ 2,11 · 10^(−22) г.
Азот: 14,007 · 1,66 = 23,25162, масса ≈ 2,33 · 10^(−23) г.
Ответ: водород ≈ 1,67 · 10^(−24) г; медь ≈ 1,05 · 10^(−22) г; йод ≈ 2,11 · 10^(−22) г; азот ≈ 2,33 · 10^(−23) г.
Водород: 1,008 · 1,66 = 1,67328, масса ≈ 1,67 · 10^(−24) г.
Медь: 63,546 · 1,66 = 105,48636, масса ≈ 1,05 · 10² · 10^(−24) = 1,05 · 10^(−22) г.
Йод: 126,904 · 1,66 = 210,66064, масса ≈ 2,11 · 10^(−22) г.
Азот: 14,007 · 1,66 = 23,25162, масса ≈ 2,33 · 10^(−23) г.
Ответ: водород ≈ 1,67 · 10^(−24) г; медь ≈ 1,05 · 10^(−22) г; йод ≈ 2,11 · 10^(−22) г; азот ≈ 2,33 · 10^(−23) г.
1237. Найдите значение выражения (2 − √3)√(7 + 4√3).
Заметим, что 7 + 4√3 = 4 + 4√3 + 3 = (2 + √3)². Поэтому √(7 + 4√3) = 2 + √3.
Тогда (2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3 = 1.
Ответ: 1.
Тогда (2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3 = 1.
Ответ: 1.
1238. При каком значении m сумма корней уравнения 3x² − 18x + m = 0 равна произведению этих корней?
По теореме Виета x₁ + x₂ = 18/3 = 6, x₁x₂ = m/3.
Условие x₁ + x₂ = x₁x₂ даёт 6 = m/3, откуда m = 18.
Проверка: 3x² − 18x + 18 = 0, x² − 6x + 6 = 0, D = 36 − 24 = 12 > 0, корни существуют.
Ответ: m = 18.
Условие x₁ + x₂ = x₁x₂ даёт 6 = m/3, откуда m = 18.
Проверка: 3x² − 18x + 18 = 0, x² − 6x + 6 = 0, D = 36 − 24 = 12 > 0, корни существуют.
Ответ: m = 18.
1239. Найдите целые отрицательные значения x, которые являются решением неравенства (4 − 3x)/2 − x < 11.
Умножим обе части на 2: 4 − 3x − 2x < 22, −5x < 18, x > −3,6.
Целые отрицательные числа, большие −3,6: −3, −2, −1.
Ответ: −3; −2; −1.
Целые отрицательные числа, большие −3,6: −3, −2, −1.
Ответ: −3; −2; −1.