Задачи повышенной трудности — с. 288
1332. Артель выполнила работу за 20 дней. Если бы в артели было на 4 человека больше и рабочий день увеличился бы на 1 ч, то работа была бы выполнена за 10 дней. Если бы в артели было на 1 человека меньше, а рабочий день сократился на 1 ч, то для выполнения работы потребовалось бы 30 дней. Сколько человек было в артели и какой продолжительности был у них рабочий день?
Пусть в артели n человек, рабочий день h часов. Работа в человеко-часах: 20nh.
Второй случай: 10(n + 4)(h + 1) = 20nh, (n + 4)(h + 1) = 2nh, откуда nh = n + 4h + 4. (1)
Третий случай: 30(n − 1)(h − 1) = 20nh, 3(nh − n − h + 1) = 2nh, откуда nh = 3n + 3h − 3. (2)
Приравняем: n + 4h + 4 = 3n + 3h − 3, h = 2n − 7. Подставим в (1): n(2n − 7) = n + 4(2n − 7) + 4, 2n² − 7n = 9n − 24, 2n² − 16n + 24 = 0, n² − 8n + 12 = 0, n = 2 или n = 6.
n = 2 даёт h = −3 — не подходит. n = 6: h = 5.
Проверка: 6 · 5 · 20 = 600; 10 · 10 · 6 = 600; 30 · 5 · 4 = 600.
Ответ: 6 человек, рабочий день 5 ч.
Второй случай: 10(n + 4)(h + 1) = 20nh, (n + 4)(h + 1) = 2nh, откуда nh = n + 4h + 4. (1)
Третий случай: 30(n − 1)(h − 1) = 20nh, 3(nh − n − h + 1) = 2nh, откуда nh = 3n + 3h − 3. (2)
Приравняем: n + 4h + 4 = 3n + 3h − 3, h = 2n − 7. Подставим в (1): n(2n − 7) = n + 4(2n − 7) + 4, 2n² − 7n = 9n − 24, 2n² − 16n + 24 = 0, n² − 8n + 12 = 0, n = 2 или n = 6.
n = 2 даёт h = −3 — не подходит. n = 6: h = 5.
Проверка: 6 · 5 · 20 = 600; 10 · 10 · 6 = 600; 30 · 5 · 4 = 600.
Ответ: 6 человек, рабочий день 5 ч.
1333. Благодаря применению в фермерском хозяйстве новых технологий урожайность гречихи возросла на 4 ц с 1 га. В результате было собрано не 147 ц, как в прошлом году, а на 3 ц больше, хотя под гречиху отвели на 1 га меньше. Какова была урожайность гречихи с 1 га в прошлом и текущем годах и какая площадь была отведена в эти годы в фермерском хозяйстве под гречиху?
Пусть в прошлом году урожайность y ц/га, площадь s га: sy = 147, s = 147/y. В текущем году урожайность y + 4, площадь s − 1, собрано 147 + 3 = 150 ц: (s − 1)(y + 4) = 150.
(147/y − 1)(y + 4) = 150; 147 + 588/y − y − 4 = 150; 588/y − y − 7 = 0; y² + 7y − 588 = 0; D = 49 + 2352 = 2401 = 49²; y = (−7 + 49)/2 = 21.
Тогда s = 147/21 = 7 га; в текущем году урожайность 25 ц/га, площадь 6 га.
Проверка: 6 · 25 = 150.
Ответ: 21 ц/га и 25 ц/га; 7 га и 6 га.
(147/y − 1)(y + 4) = 150; 147 + 588/y − y − 4 = 150; 588/y − y − 7 = 0; y² + 7y − 588 = 0; D = 49 + 2352 = 2401 = 49²; y = (−7 + 49)/2 = 21.
Тогда s = 147/21 = 7 га; в текущем году урожайность 25 ц/га, площадь 6 га.
Проверка: 6 · 25 = 150.
Ответ: 21 ц/га и 25 ц/га; 7 га и 6 га.
1334. (Задача Безу, XVIII в.) Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь. За какую сумму он её купил?
Пусть лошадь куплена за x пистолей. Потеря составила x процентов от x, то есть x · x/100 = x²/100 пистолей. Продана лошадь за x − x²/100 = 24.
x² − 100x + 2400 = 0, D = 10 000 − 9600 = 400, x = (100 ± 20)/2, x = 60 или x = 40.
Проверка: x = 60: потеря 60² /100 = 36, 60 − 36 = 24. x = 40: потеря 16, 40 − 16 = 24. Оба значения подходят.
Ответ: за 40 или за 60 пистолей.
x² − 100x + 2400 = 0, D = 10 000 − 9600 = 400, x = (100 ± 20)/2, x = 60 или x = 40.
Проверка: x = 60: потеря 60² /100 = 36, 60 − 36 = 24. x = 40: потеря 16, 40 − 16 = 24. Оба значения подходят.
Ответ: за 40 или за 60 пистолей.
1335. Положив в банк 2000 р., вкладчик получил через два года 2420 р. Какой процент начислял банк ежегодно?
Пусть банк начисляет p% в год, тогда за год вклад умножается на (1 + p/100). За два года: 2000(1 + p/100)² = 2420, (1 + p/100)² = 1,21, 1 + p/100 = 1,1 (отрицательное значение не подходит), p = 10.
Ответ: 10%.
Ответ: 10%.
1336. Вкладчик положил деньги в банк и получил через год 2220 р. Если бы вклад был на 200 р. больше, а банк выплачивал на 1% меньше, то вкладчик получил бы 2420 р. Какова была сумма вклада и какой процент выплачивал банк ежегодно?
Пусть вклад x р., банк платит p%, r = p/100. Тогда x(1 + r) = 2220. Во втором случае (x + 200)(1 + r − 0,01) = 2420.
Раскроем: (x + 200)(1 + r) − 0,01(x + 200) = 2420; 2220 + 200(1 + r) − 0,01x − 2 = 2420; 200r − 0,01x = 2. (1)
Из первого x = 2220/(1 + r). Подставим в (1) и умножим на (1 + r): 200r(1 + r) − 22,2 = 2(1 + r); 200r² + 198r − 24,2 = 0; 1000r² + 990r − 121 = 0; D = 990² + 4 · 1000 · 121 = 1 464 100 = 1210²; r = (−990 + 1210)/2000 = 0,11 (отрицательный корень не подходит).
Тогда p = 11%, x = 2220/1,11 = 2000.
Проверка: вклад 2200 при 10%: 2200 · 1,1 = 2420.
Ответ: вклад 2000 р., банк выплачивал 11% годовых.
Раскроем: (x + 200)(1 + r) − 0,01(x + 200) = 2420; 2220 + 200(1 + r) − 0,01x − 2 = 2420; 200r − 0,01x = 2. (1)
Из первого x = 2220/(1 + r). Подставим в (1) и умножим на (1 + r): 200r(1 + r) − 22,2 = 2(1 + r); 200r² + 198r − 24,2 = 0; 1000r² + 990r − 121 = 0; D = 990² + 4 · 1000 · 121 = 1 464 100 = 1210²; r = (−990 + 1210)/2000 = 0,11 (отрицательный корень не подходит).
Тогда p = 11%, x = 2220/1,11 = 2000.
Проверка: вклад 2200 при 10%: 2200 · 1,1 = 2420.
Ответ: вклад 2000 р., банк выплачивал 11% годовых.
1337. Фирма ежегодно увеличивала количество выпускаемых приборов на одно и то же число процентов. В результате за два года количество выпускаемых приборов удвоилось. Сколько процентов составлял ежегодный прирост числа выпускаемых приборов?
Пусть ежегодный прирост p%, q = 1 + p/100 — коэффициент роста за год. За два года количество умножается на q² и по условию удваивается: q² = 2, q = √2 ≈ 1,414 (q > 0).
Прирост p = (√2 − 1) · 100% ≈ 41,4%.
Ответ: примерно 41% (точнее, (√2 − 1) · 100%).
Прирост p = (√2 − 1) · 100% ≈ 41,4%.
Ответ: примерно 41% (точнее, (√2 − 1) · 100%).
1338. Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, а вторую — на 7 мин. Если же обе трубы открыть на 6 мин, то наполнится 2/3 бассейна. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть только вторую трубу?
Пусть первая труба наполняет a часть бассейна в минуту, вторая — b. Тогда 12a + 7b = 1 и 6(a + b) = 2/3, откуда a + b = 1/9.
Из второго a = 1/9 − b. Подставим: 12(1/9 − b) + 7b = 1; 4/3 − 5b = 1; 5b = 1/3; b = 1/15.
Вторая труба одна наполнит бассейн за 1 : (1/15) = 15 мин.
Проверка: a = 1/9 − 1/15 = 2/45; 12 · 2/45 + 7/15 = 8/15 + 7/15 = 1.
Ответ: за 15 мин.
Из второго a = 1/9 − b. Подставим: 12(1/9 − b) + 7b = 1; 4/3 − 5b = 1; 5b = 1/3; b = 1/15.
Вторая труба одна наполнит бассейн за 1 : (1/15) = 15 мин.
Проверка: a = 1/9 − 1/15 = 2/45; 12 · 2/45 + 7/15 = 8/15 + 7/15 = 1.
Ответ: за 15 мин.
1339. Один каменщик может выложить стену на 6 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они за 2 ч выложат половину стены. За сколько часов каждый из них может выложить стену?
Пусть первый выкладывает стену за x ч, второй — за x + 6 ч. Вместе за 2 ч они выкладывают 1/2 стены: 2(1/x + 1/(x + 6)) = 1/2.
4(2x + 6) = x(x + 6); 8x + 24 = x² + 6x; x² − 2x − 24 = 0; D = 100; x = (2 ± 10)/2: x = 6 (x = −4 не подходит).
Первый — 6 ч, второй — 12 ч.
Проверка: 1/6 + 1/12 = 1/4 стены в час, за 2 ч — 1/2.
Ответ: 6 ч и 12 ч.
4(2x + 6) = x(x + 6); 8x + 24 = x² + 6x; x² − 2x − 24 = 0; D = 100; x = (2 ± 10)/2: x = 6 (x = −4 не подходит).
Первый — 6 ч, второй — 12 ч.
Проверка: 1/6 + 1/12 = 1/4 стены в час, за 2 ч — 1/2.
Ответ: 6 ч и 12 ч.
1340. Расстояние в 360 км легковой автомобиль проехал на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой автомобиль затратит на весь путь на 1 ч больше, чем легковой. Найдите скорость каждого автомобиля.
Пусть скорость легкового v км/ч, грузового u км/ч. 360/u − 360/v = 2, 360/(u + 30) − 360/(v + 30) = 1.
Упростим: 360(v − u) = 2uv, т. е. 180(v − u) = uv. (1) Второе: 360(v − u) = (u + 30)(v + 30), т. е. 360(v − u) = uv + 30(u + v) + 900. (2)
Из (1): uv = 180(v − u); подставим в (2): 360(v − u) = 180(v − u) + 30(u + v) + 900, 180(v − u) = 30(u + v) + 900, 6(v − u) = u + v + 30, 5v = 7u + 30, v = (7u + 30)/5.
Подставим в (1): u(7u + 30)/5 = 180 · (2u + 30)/5, 7u² + 30u = 360u + 5400, 7u² − 330u − 5400 = 0.
D = 330² + 4 · 7 · 5400 = 108 900 + 151 200 = 260 100 = 510², u = (330 + 510)/14 = 60 (отрицательный корень не подходит). Тогда v = (420 + 30)/5 = 90.
Проверка: 360/60 = 6 ч, 360/90 = 4 ч, разность 2 ч; при +30 км/ч: 360/90 = 4 ч, 360/120 = 3 ч, разность 1 ч.
Ответ: легковой 90 км/ч, грузовой 60 км/ч.
Упростим: 360(v − u) = 2uv, т. е. 180(v − u) = uv. (1) Второе: 360(v − u) = (u + 30)(v + 30), т. е. 360(v − u) = uv + 30(u + v) + 900. (2)
Из (1): uv = 180(v − u); подставим в (2): 360(v − u) = 180(v − u) + 30(u + v) + 900, 180(v − u) = 30(u + v) + 900, 6(v − u) = u + v + 30, 5v = 7u + 30, v = (7u + 30)/5.
Подставим в (1): u(7u + 30)/5 = 180 · (2u + 30)/5, 7u² + 30u = 360u + 5400, 7u² − 330u − 5400 = 0.
D = 330² + 4 · 7 · 5400 = 108 900 + 151 200 = 260 100 = 510², u = (330 + 510)/14 = 60 (отрицательный корень не подходит). Тогда v = (420 + 30)/5 = 90.
Проверка: 360/60 = 6 ч, 360/90 = 4 ч, разность 2 ч; при +30 км/ч: 360/90 = 4 ч, 360/120 = 3 ч, разность 1 ч.
Ответ: легковой 90 км/ч, грузовой 60 км/ч.