Глава VI. §15. п.48 Свойства степени с целым показателем — с. 270
1218. Решите уравнение (2x − 7)/(x + 1) + (3x + 2)/(x − 1) = 7.
ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ 1. Умножим обе части на (x + 1)(x − 1):
(2x − 7)(x − 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x² − 1),
2x² − 9x + 7 + 3x² + 5x + 2 = 7x² − 7,
5x² − 4x + 9 = 7x² − 7,
2x² + 4x − 16 = 0, x² + 2x − 8 = 0.
По теореме Виета x₁ = −4, x₂ = 2; оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: −4; 2.
(2x − 7)(x − 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x² − 1),
2x² − 9x + 7 + 3x² + 5x + 2 = 7x² − 7,
5x² − 4x + 9 = 7x² − 7,
2x² + 4x − 16 = 0, x² + 2x − 8 = 0.
По теореме Виета x₁ = −4, x₂ = 2; оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: −4; 2.
1219. Найдите область определения функции: а) y = 1/(|x| − x); б) y = 1/(|x| + x).
Знаменатель не должен равняться нулю.
а) При x ≥ 0 имеем |x| − x = x − x = 0 — такие x не подходят. При x < 0 имеем |x| − x = −x − x = −2x > 0 — подходят. Область определения: (−∞; 0).
б) При x ≤ 0 имеем |x| + x = −x + x = 0 — не подходят. При x > 0 имеем |x| + x = 2x > 0 — подходят. Область определения: (0; +∞).
а) При x ≥ 0 имеем |x| − x = x − x = 0 — такие x не подходят. При x < 0 имеем |x| − x = −x − x = −2x > 0 — подходят. Область определения: (−∞; 0).
б) При x ≤ 0 имеем |x| + x = −x + x = 0 — не подходят. При x > 0 имеем |x| + x = 2x > 0 — подходят. Область определения: (0; +∞).
1220. Сократите дробь ac/abc (черта над буквами), зная, что b = a + c.
Черта над буквами означает запись числа цифрами: ac = 10a + c, abc = 100a + 10b + c.
Подставим b = a + c: abc = 100a + 10(a + c) + c = 110a + 11c = 11(10a + c).
Тогда дробь равна (10a + c)/(11(10a + c)) = 1/11.
Ответ: 1/11.
Оговорка: условие прочитано так, что ac и abc — записи двузначного и трёхзначного чисел (черта над буквами в скане плохо различима); ответ совпадает с ответом учебника.
Подставим b = a + c: abc = 100a + 10(a + c) + c = 110a + 11c = 11(10a + c).
Тогда дробь равна (10a + c)/(11(10a + c)) = 1/11.
Ответ: 1/11.
Оговорка: условие прочитано так, что ac и abc — записи двузначного и трёхзначного чисел (черта над буквами в скане плохо различима); ответ совпадает с ответом учебника.
Вопрос 1. Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.
Если a ≠ 0 и n — натуральное число, то a^(−n) = 1/aⁿ. То есть степень с целым отрицательным показателем равна числу, обратному степени с противоположным (натуральным) показателем. Например, 2^(−3) = 1/2³ = 1/8.
Вопрос 2. Сформулируйте свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями.
Для любого a ≠ 0 и любых целых m и n верны равенства:
при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aᵐ · aⁿ = a^(m + n);
при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = a^(m − n).
при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aᵐ · aⁿ = a^(m + n);
при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = a^(m − n).
Вопрос 3. Как возвести степень в степень?
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = a^(mn), где a ≠ 0, а m и n — любые целые числа. Например, (a^(−2))³ = a^(−6).
Вопрос 4. Как возвести произведение и частное в степень?
Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Чтобы возвести частное в степень, нужно возвести в эту степень делимое и делитель: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Равенства верны при целом n и a ≠ 0, b ≠ 0. Например, (2x^(−1))^(−2) = 2^(−2)x² = x²/4.