Глава VI. §15. п.48 Свойства степени с целым показателем — с. 269
1210. Представьте степень в виде произведения: а) (a^(−1)b^(−1))^(−2); б) (x³y^(−1))²; в) (0,5a^(−3)b⁵)^(−12); г) (−2m⁵n^(−3))²; д) (1/3 p^(−2)q²)^(−3); е) (−0,5x^(−3)y⁴)³.
Возводим в степень каждый множитель, показатели степеней перемножаем.
а) (a^(−1)b^(−1))^(−2) = a²b².
б) (x³y^(−1))² = x⁶y^(−2).
в) (0,5a^(−3)b⁵)^(−12) = 0,5^(−12) · a³⁶ · b^(−60) = 2^12 · a³⁶b^(−60) = 4096a³⁶b^(−60).
г) (−2m⁵n^(−3))² = 4m^10n^(−6).
д) (1/3 p^(−2)q²)^(−3) = 3³ · p⁶ · q^(−6) = 27p⁶q^(−6).
е) (−0,5x^(−3)y⁴)³ = −0,125x^(−9)y^12.
а) (a^(−1)b^(−1))^(−2) = a²b².
б) (x³y^(−1))² = x⁶y^(−2).
в) (0,5a^(−3)b⁵)^(−12) = 0,5^(−12) · a³⁶ · b^(−60) = 2^12 · a³⁶b^(−60) = 4096a³⁶b^(−60).
г) (−2m⁵n^(−3))² = 4m^10n^(−6).
д) (1/3 p^(−2)q²)^(−3) = 3³ · p⁶ · q^(−6) = 27p⁶q^(−6).
е) (−0,5x^(−3)y⁴)³ = −0,125x^(−9)y^12.
1211. Преобразуйте в произведение: а) (6a^(−5)b)^(−1); б) (3/4 a^(−1)b^(−3))^(−2); в) (−0,3x^(−5)y⁴)^(−2); г) (7/8 p^(−6)q)^(−1).
а) (6a^(−5)b)^(−1) = 6^(−1)a⁵b^(−1) = 1/6 a⁵b^(−1).
б) (3/4 a^(−1)b^(−3))^(−2) = (4/3)² a²b⁶ = 16/9 a²b⁶.
в) (−0,3x^(−5)y⁴)^(−2) = 0,3^(−2)x^10y^(−8) = 100/9 x^10y^(−8) (то есть 11 1/9 x^10y^(−8)).
г) (7/8 p^(−6)q)^(−1) = 8/7 p⁶q^(−1).
б) (3/4 a^(−1)b^(−3))^(−2) = (4/3)² a²b⁶ = 16/9 a²b⁶.
в) (−0,3x^(−5)y⁴)^(−2) = 0,3^(−2)x^10y^(−8) = 100/9 x^10y^(−8) (то есть 11 1/9 x^10y^(−8)).
г) (7/8 p^(−6)q)^(−1) = 8/7 p⁶q^(−1).
1212. Представьте в виде степени произведения выражение: а) 0,0001x^(−4); б) 32y^(−5); в) 0,0081a⁸b^(−12); г) 10^n x^(−2n) y^(3n), где n — целое число.
Представим числовой множитель как степень с тем же показателем, что и у переменных.
а) 0,0001 = 0,1⁴, поэтому 0,0001x^(−4) = 0,1⁴ · (x^(−1))⁴ = (0,1x^(−1))⁴.
б) 32 = 2⁵, поэтому 32y^(−5) = 2⁵ · (y^(−1))⁵ = (2y^(−1))⁵.
в) 0,0081 = 0,3⁴, a⁸ = (a²)⁴, b^(−12) = (b^(−3))⁴, поэтому 0,0081a⁸b^(−12) = (0,3a²b^(−3))⁴.
г) x^(−2n) = (x^(−2))^n, y^(3n) = (y³)^n, поэтому 10^n x^(−2n) y^(3n) = (10x^(−2)y³)^n.
Ответ: а) (0,1x^(−1))⁴; б) (2y^(−1))⁵; в) (0,3a²b^(−3))⁴; г) (10x^(−2)y³)^n.
а) 0,0001 = 0,1⁴, поэтому 0,0001x^(−4) = 0,1⁴ · (x^(−1))⁴ = (0,1x^(−1))⁴.
б) 32 = 2⁵, поэтому 32y^(−5) = 2⁵ · (y^(−1))⁵ = (2y^(−1))⁵.
в) 0,0081 = 0,3⁴, a⁸ = (a²)⁴, b^(−12) = (b^(−3))⁴, поэтому 0,0081a⁸b^(−12) = (0,3a²b^(−3))⁴.
г) x^(−2n) = (x^(−2))^n, y^(3n) = (y³)^n, поэтому 10^n x^(−2n) y^(3n) = (10x^(−2)y³)^n.
Ответ: а) (0,1x^(−1))⁴; б) (2y^(−1))⁵; в) (0,3a²b^(−3))⁴; г) (10x^(−2)y³)^n.
1213. Упростите выражение: а) 12x^(−5)/y^(−6) · y/(36x^(−9)); б) 63a²/(2b^(−5)) · 18b²/(7a); в) 5x^(−1)y³/3 · 9x⁶/y^(−2); г) 16p^(−1)q²/5 · 25p⁶/(64q^(−8)).
Переносим множители с отрицательными показателями из знаменателя в числитель (и наоборот), затем перемножаем.
а) 12x^(−5)y⁶ · y · x⁹/36 = (12/36) · x⁴ · y⁷ = 1/3 x⁴y⁷.
б) 63a²b⁵/2 · 18b²/(7a) = (63 · 18)/(2 · 7) · ab⁷ = 81ab⁷.
в) 5x^(−1)y³/3 · 9x⁶y² = 15x⁵y⁵.
г) 16p^(−1)q²/5 · 25p⁶q⁸/64 = (16 · 25)/(5 · 64) · p⁵q^10 = 5/4 p⁵q^10.
Ответ: а) 1/3 x⁴y⁷; б) 81ab⁷; в) 15x⁵y⁵; г) 5/4 p⁵q^10.
а) 12x^(−5)y⁶ · y · x⁹/36 = (12/36) · x⁴ · y⁷ = 1/3 x⁴y⁷.
б) 63a²b⁵/2 · 18b²/(7a) = (63 · 18)/(2 · 7) · ab⁷ = 81ab⁷.
в) 5x^(−1)y³/3 · 9x⁶y² = 15x⁵y⁵.
г) 16p^(−1)q²/5 · 25p⁶q⁸/64 = (16 · 25)/(5 · 64) · p⁵q^10 = 5/4 p⁵q^10.
Ответ: а) 1/3 x⁴y⁷; б) 81ab⁷; в) 15x⁵y⁵; г) 5/4 p⁵q^10.
1214. Преобразуйте выражение: а) 13x^(−2)/y · y^12/(39x^(−3)); б) 5a⁵/b^(−7) · 7b^(−3)/(25a); в) p/(3c^(−2)) · 15c/p^(−2); г) 26x^17/y^(−8) · y/(13x^25).
а) 13x^(−2)y^12 x³/(39y) = 1/3 · x · y^11 = 1/3 xy^11.
б) 5a⁵b⁷ · 7b^(−3)/(25a) = 35a⁵b⁴/(25a) = 7/5 a⁴b⁴.
в) pc²/3 · 15cp² = 5c³p³.
г) 26x^17y⁸ · y/(13x^25) = 2x^(−8)y⁹.
Ответ: а) 1/3 xy^11; б) 7/5 a⁴b⁴; в) 5c³p³; г) 2x^(−8)y⁹.
б) 5a⁵b⁷ · 7b^(−3)/(25a) = 35a⁵b⁴/(25a) = 7/5 a⁴b⁴.
в) pc²/3 · 15cp² = 5c³p³.
г) 26x^17y⁸ · y/(13x^25) = 2x^(−8)y⁹.
Ответ: а) 1/3 xy^11; б) 7/5 a⁴b⁴; в) 5c³p³; г) 2x^(−8)y⁹.
1215. Упростите выражение: а) (0,25x^(−4)y^(−3))² · (x^(−3)/(4y²))^(−3); б) (a^(−3)b⁴/9)^(−2) · (3/(a^(−2)b³))^(−3); в) (c^(−4)/(10a⁵b²))^(−2) · (5a³bc²)^(−2); г) (x²y^(−3)/(6z))^(−3) · (x²y^(−2)/(9z))².
а) (0,25x^(−4)y^(−3))² = 0,0625x^(−8)y^(−6); (x^(−3)/(4y²))^(−3) = x⁹/(4^(−3)y^(−6)) = 64x⁹y⁶. Произведение: 0,0625 · 64 · x · y⁰ = 4x.
б) (a^(−3)b⁴/9)^(−2) = 81a⁶b^(−8); (3/(a^(−2)b³))^(−3) = (a^(−2)b³/3)³ = a^(−6)b⁹/27. Произведение: (81/27) · b = 3b.
в) (c^(−4)/(10a⁵b²))^(−2) = 100a^10b⁴c⁸; (5a³bc²)^(−2) = 1/(25a⁶b²c⁴). Произведение: 4a⁴b²c⁴.
г) (x²y^(−3)/(6z))^(−3) = 216z³x^(−6)y⁹; (x²y^(−2)/(9z))² = x⁴y^(−4)/(81z²). Произведение: (216/81) · x^(−2)y⁵z = 8/3 x^(−2)y⁵z.
Ответ: а) 4x; б) 3b; в) 4a⁴b²c⁴; г) 8/3 x^(−2)y⁵z.
б) (a^(−3)b⁴/9)^(−2) = 81a⁶b^(−8); (3/(a^(−2)b³))^(−3) = (a^(−2)b³/3)³ = a^(−6)b⁹/27. Произведение: (81/27) · b = 3b.
в) (c^(−4)/(10a⁵b²))^(−2) = 100a^10b⁴c⁸; (5a³bc²)^(−2) = 1/(25a⁶b²c⁴). Произведение: 4a⁴b²c⁴.
г) (x²y^(−3)/(6z))^(−3) = 216z³x^(−6)y⁹; (x²y^(−2)/(9z))² = x⁴y^(−4)/(81z²). Произведение: (216/81) · x^(−2)y⁵z = 8/3 x^(−2)y⁵z.
Ответ: а) 4x; б) 3b; в) 4a⁴b²c⁴; г) 8/3 x^(−2)y⁵z.
1216. Преобразуйте выражение: а) (2x^(−1)/(3y^(−2)))^(−2) · 12xy⁵; б) 4a⁷b^(−1) · (ab/5)^(−1); в) (2a^(−2)b³)² · (a/b)^(−6); г) (2x²/y³)^(−1) · (x^(−1)y)³.
а) (2x^(−1)/(3y^(−2)))^(−2) = (3y^(−2)/(2x^(−1)))² = 9y^(−4)/(4x^(−2)) = 9x²/(4y⁴). Умножаем: 9x²/(4y⁴) · 12xy⁵ = 27x³y.
б) (ab/5)^(−1) = 5/(ab). Тогда 4a⁷b^(−1) · 5/(ab) = 20a⁶b^(−2).
в) (2a^(−2)b³)² = 4a^(−4)b⁶; (a/b)^(−6) = b⁶/a⁶ = a^(−6)b⁶. Произведение: 4a^(−10)b^12.
г) (2x²/y³)^(−1) = y³/(2x²); (x^(−1)y)³ = x^(−3)y³. Произведение: 1/2 x^(−5)y⁶.
Ответ: а) 27x³y; б) 20a⁶b^(−2); в) 4a^(−10)b^12; г) 1/2 x^(−5)y⁶.
Оговорка: в условии б) показатель при a читается как 7 (при минусе получилось бы 20a^(−8)b^(−2), что не совпадает с ответом учебника).
б) (ab/5)^(−1) = 5/(ab). Тогда 4a⁷b^(−1) · 5/(ab) = 20a⁶b^(−2).
в) (2a^(−2)b³)² = 4a^(−4)b⁶; (a/b)^(−6) = b⁶/a⁶ = a^(−6)b⁶. Произведение: 4a^(−10)b^12.
г) (2x²/y³)^(−1) = y³/(2x²); (x^(−1)y)³ = x^(−3)y³. Произведение: 1/2 x^(−5)y⁶.
Ответ: а) 27x³y; б) 20a⁶b^(−2); в) 4a^(−10)b^12; г) 1/2 x^(−5)y⁶.
Оговорка: в условии б) показатель при a читается как 7 (при минусе получилось бы 20a^(−8)b^(−2), что не совпадает с ответом учебника).
1217. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения 8x² − 6x + n = 0 и x₁^(−1) + x₂^(−1) = 6. Найдите n.
По теореме Виета x₁ + x₂ = 6/8 = 3/4, x₁x₂ = n/8.
x₁^(−1) + x₂^(−1) = 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (3/4)/(n/8) = 6/n.
По условию 6/n = 6, откуда n = 1.
Проверка: 8x² − 6x + 1 = 0, D = 36 − 32 = 4 > 0, корни 1/2 и 1/4, и 2 + 4 = 6.
Ответ: n = 1.
x₁^(−1) + x₂^(−1) = 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (3/4)/(n/8) = 6/n.
По условию 6/n = 6, откуда n = 1.
Проверка: 8x² − 6x + 1 = 0, D = 36 − 32 = 4 > 0, корни 1/2 и 1/4, и 2 + 4 = 6.
Ответ: n = 1.