Глава VI. § 15. п.48 Свойства степени с целым показателем — с. 267
1193. Найдите значение выражения: а) 3^(−4) · 3⁶; б) 2⁴ · 2^(−3); в) 10⁸ · 10^(−5) · 10^(−6); г) 2^10 : 2^12; д) 5^(−3) : 5^(−3); е) 3^(−4) : 3; ж) (2^(−4))^(−1); з) (5²)^(−2) · 5³; и) 3^(−4) · (3^(−2))⁴.
При умножении степеней показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении в степень перемножаются.
а) 3^(−4+6) = 3² = 9.
б) 2^(4−3) = 2.
в) 10^(8−5−6) = 10^(−3) = 0,001.
г) 2^(10−12) = 2^(−2) = 1/4.
д) 5^(−3−(−3)) = 5⁰ = 1.
е) 3^(−4−1) = 3^(−5) = 1/243.
ж) 2^((−4)(−1)) = 2⁴ = 16.
з) 5^(−4) · 5³ = 5^(−1) = 1/5.
и) 3^(−4) · 3^(−8) = 3^(−12) = 1/531 441.
Оговорка: показатель делителя в пункте д) читается как −3.
а) 3^(−4+6) = 3² = 9.
б) 2^(4−3) = 2.
в) 10^(8−5−6) = 10^(−3) = 0,001.
г) 2^(10−12) = 2^(−2) = 1/4.
д) 5^(−3−(−3)) = 5⁰ = 1.
е) 3^(−4−1) = 3^(−5) = 1/243.
ж) 2^((−4)(−1)) = 2⁴ = 16.
з) 5^(−4) · 5³ = 5^(−1) = 1/5.
и) 3^(−4) · 3^(−8) = 3^(−12) = 1/531 441.
Оговорка: показатель делителя в пункте д) читается как −3.
1194. Вычислите: а) 5^(−15) · 5^16; б) (1/3)^(−4) · (1/3)³; в) 4^(−8) : 4^(−9); г) (1/5)² : (1/5)⁴; д) (2^(−2))^(−3); е) (0,1^(−3))^(−1).
а) 5^(−15+16) = 5¹ = 5.
б) (1/3)^(−4+3) = (1/3)^(−1) = 3.
в) 4^(−8−(−9)) = 4¹ = 4.
г) (1/5)^(2−4) = (1/5)^(−2) = 25.
д) 2^((−2)(−3)) = 2⁶ = 64.
е) 0,1^((−3)(−1)) = 0,1³ = 0,001.
б) (1/3)^(−4+3) = (1/3)^(−1) = 3.
в) 4^(−8−(−9)) = 4¹ = 4.
г) (1/5)^(2−4) = (1/5)^(−2) = 25.
д) 2^((−2)(−3)) = 2⁶ = 64.
е) 0,1^((−3)(−1)) = 0,1³ = 0,001.
1195. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.
Пусть a ≠ 0, n — целое число. Надо доказать, что a^n и a^(−n) взаимно обратны, то есть a^n · a^(−n) = 1.
По свойству умножения степеней с одинаковым основанием a^n · a^(−n) = a^(n + (−n)) = a⁰ = 1.
Можно и по определению: если n > 0, то a^(−n) = 1/a^n, и произведение a^n · (1/a^n) = 1; если n < 0, то a^n = 1/a^(−n) и произведение равно 1; при n = 0 оба числа равны 1.
Значит, числа a^n и a^(−n) взаимно обратны. Что и требовалось доказать.
По свойству умножения степеней с одинаковым основанием a^n · a^(−n) = a^(n + (−n)) = a⁰ = 1.
Можно и по определению: если n > 0, то a^(−n) = 1/a^n, и произведение a^n · (1/a^n) = 1; если n < 0, то a^n = 1/a^(−n) и произведение равно 1; при n = 0 оба числа равны 1.
Значит, числа a^n и a^(−n) взаимно обратны. Что и требовалось доказать.
1196. Докажите, что (a/b)^(−n) = (b/a)^n при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.
Дробь a/b отлична от нуля, и обратное ей число b/a. По задаче 1195 степени a/b с противоположными показателями взаимно обратны, поэтому (a/b)^(−n) = 1/(a/b)^n.
С другой стороны, 1/(a/b)^n = 1/(aⁿ/bⁿ) = bⁿ/aⁿ = (b/a)^n по свойству степени дроби (оно верно для любого целого n).
Итак, (a/b)^(−n) = (b/a)^n. Что и требовалось доказать.
С другой стороны, 1/(a/b)^n = 1/(aⁿ/bⁿ) = bⁿ/aⁿ = (b/a)^n по свойству степени дроби (оно верно для любого целого n).
Итак, (a/b)^(−n) = (b/a)^n. Что и требовалось доказать.
1197. Вычислите: а) (1/3)^(−3); б) (3/4)^(−1); в) 0,01^(−2); г) (1 2/3)^(−4); д) 0,002^(−1); е) (−1 1/3)^(−5).
Используем (a/b)^(−n) = (b/a)^n.
а) (1/3)^(−3) = 3³ = 27.
б) (3/4)^(−1) = 4/3 = 1 1/3.
в) 0,01^(−2) = 100² = 10 000.
г) (1 2/3)^(−4) = (5/3)^(−4) = (3/5)⁴ = 81/625.
д) 0,002^(−1) = 1/0,002 = 500.
е) (−1 1/3)^(−5) = (−4/3)^(−5) = (−3/4)⁵ = −243/1024.
а) (1/3)^(−3) = 3³ = 27.
б) (3/4)^(−1) = 4/3 = 1 1/3.
в) 0,01^(−2) = 100² = 10 000.
г) (1 2/3)^(−4) = (5/3)^(−4) = (3/5)⁴ = 81/625.
д) 0,002^(−1) = 1/0,002 = 500.
е) (−1 1/3)^(−5) = (−4/3)^(−5) = (−3/4)⁵ = −243/1024.
1198. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение: а) 27 · 3^(−4); б) (3^(−1))⁵ · 81²; в) 9^(−2) : 3^(−6); г) 81³ : (9^(−2))^(−3).
а) 27 · 3^(−4) = 3³ · 3^(−4) = 3^(−1) = 1/3.
б) (3^(−1))⁵ · 81² = 3^(−5) · (3⁴)² = 3^(−5) · 3⁸ = 3³ = 27.
в) 9^(−2) : 3^(−6) = (3²)^(−2) : 3^(−6) = 3^(−4) : 3^(−6) = 3² = 9.
г) 81³ : (9^(−2))^(−3) = (3⁴)³ : 9⁶ = 3^12 : (3²)⁶ = 3^12 : 3^12 = 3⁰ = 1.
б) (3^(−1))⁵ · 81² = 3^(−5) · (3⁴)² = 3^(−5) · 3⁸ = 3³ = 27.
в) 9^(−2) : 3^(−6) = (3²)^(−2) : 3^(−6) = 3^(−4) : 3^(−6) = 3² = 9.
г) 81³ : (9^(−2))^(−3) = (3⁴)³ : 9⁶ = 3^12 : (3²)⁶ = 3^12 : 3^12 = 3⁰ = 1.
1199. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение: а) 1/16 · 2^10; б) 32 · (2^(−4))²; в) 8^(−1) · 4³; г) 4⁵ · 16^(−2).
а) 1/16 · 2^10 = 2^(−4) · 2^10 = 2⁶ = 64.
б) 32 · (2^(−4))² = 2⁵ · 2^(−8) = 2^(−3) = 1/8.
в) 8^(−1) · 4³ = 2^(−3) · 2⁶ = 2³ = 8.
г) 4⁵ · 16^(−2) = 2^10 · 2^(−8) = 2² = 4.
б) 32 · (2^(−4))² = 2⁵ · 2^(−8) = 2^(−3) = 1/8.
в) 8^(−1) · 4³ = 2^(−3) · 2⁶ = 2³ = 8.
г) 4⁵ · 16^(−2) = 2^10 · 2^(−8) = 2² = 4.
1200. Представьте выражение, в котором m — целое число, в виде степени с основанием 5: а) 5^m · 5^(m + 1) · 5^(1 − m); б) (5^m)² · (5^(−3))^m; в) 625 : 5^(4m − 2).
а) 5^m · 5^(m+1) · 5^(1−m) = 5^(m + m + 1 + 1 − m) = 5^(m+2).
б) (5^m)² · (5^(−3))^m = 5^(2m) · 5^(−3m) = 5^(−m).
в) 625 = 5⁴, поэтому 625 : 5^(4m−2) = 5^(4 − (4m − 2)) = 5^(6 − 4m).
б) (5^m)² · (5^(−3))^m = 5^(2m) · 5^(−3m) = 5^(−m).
в) 625 = 5⁴, поэтому 625 : 5^(4m−2) = 5^(4 − (4m − 2)) = 5^(6 − 4m).
1201. Вычислите: а) 8^(−2) · 4³; б) 9^(−6) · 27⁵; в) 10⁰ : 10^(−3); г) 125^(−4) : 25^(−5); д) 2^(−21)/(4^(−5) · 4^(−6)); е) (4^(−2) · 8^(−6))/2^(−22); ж) (3^(−10) · 9⁸)/(−3)²; з) (5^(−5) · 25^10)/125³.
а) 8^(−2) · 4³ = 2^(−6) · 2⁶ = 2⁰ = 1.
б) 9^(−6) · 27⁵ = 3^(−12) · 3^15 = 3³ = 27.
в) 10⁰ : 10^(−3) = 1 : 10^(−3) = 10³ = 1000.
г) 125^(−4) : 25^(−5) = 5^(−12) : 5^(−10) = 5^(−2) = 1/25.
д) Знаменатель 4^(−5) · 4^(−6) = 4^(−11) = 2^(−22). Дробь 2^(−21)/2^(−22) = 2^(−21+22) = 2.
е) Числитель 4^(−2) · 8^(−6) = 2^(−4) · 2^(−18) = 2^(−22), знаменатель 2^(−22). Дробь равна 1.
ж) Числитель 3^(−10) · 9⁸ = 3^(−10) · 3^16 = 3⁶. Знаменатель (−3)² = 9 = 3². Дробь 3⁶ : 3² = 3⁴ = 81.
з) Числитель 5^(−5) · 25^10 = 5^(−5) · 5^20 = 5^15. Знаменатель 125³ = 5⁹. Дробь 5^(15−9) = 5⁶ = 15 625.
Оговорка: в скане у показателей в пунктах д), е), ж) плохо виден знак минус; приняты 2^(−21), 2^(−22), 3^(−10) — так получаются ответы учебника (2; 1; 81).
б) 9^(−6) · 27⁵ = 3^(−12) · 3^15 = 3³ = 27.
в) 10⁰ : 10^(−3) = 1 : 10^(−3) = 10³ = 1000.
г) 125^(−4) : 25^(−5) = 5^(−12) : 5^(−10) = 5^(−2) = 1/25.
д) Знаменатель 4^(−5) · 4^(−6) = 4^(−11) = 2^(−22). Дробь 2^(−21)/2^(−22) = 2^(−21+22) = 2.
е) Числитель 4^(−2) · 8^(−6) = 2^(−4) · 2^(−18) = 2^(−22), знаменатель 2^(−22). Дробь равна 1.
ж) Числитель 3^(−10) · 9⁸ = 3^(−10) · 3^16 = 3⁶. Знаменатель (−3)² = 9 = 3². Дробь 3⁶ : 3² = 3⁴ = 81.
з) Числитель 5^(−5) · 25^10 = 5^(−5) · 5^20 = 5^15. Знаменатель 125³ = 5⁹. Дробь 5^(15−9) = 5⁶ = 15 625.
Оговорка: в скане у показателей в пунктах д), е), ж) плохо виден знак минус; приняты 2^(−21), 2^(−22), 3^(−10) — так получаются ответы учебника (2; 1; 81).