Глава VI. § 15. п.47 Определение степени с целым отрицательным показателем — с. 265
1187. Представьте в виде произведения дробь: а) 3/b²; б) x/y; в) 2a⁸/c⁵; г) a⁵/(7b³); д) 1/(x²y³); е) (a + b)²/(b^4 c^4); ж) 2a/(a − 2)²; з) (c + b)⁵/(2(a − b)^4).
Используем 1/a^n = a^(−n).
а) 3/b² = 3b^(−2).
б) x/y = xy^(−1).
в) 2a⁸/c⁵ = 2a⁸c^(−5).
г) a⁵/(7b³) = (1/7)a⁵b^(−3).
д) 1/(x²y³) = x^(−2)y^(−3).
е) (a + b)²/(b^4 c^4) = (a + b)²b^(−4)c^(−4).
ж) 2a/(a − 2)² = 2a(a − 2)^(−2).
з) (c + b)⁵/(2(a − b)^4) = (1/2)(c + b)⁵(a − b)^(−4).
а) 3/b² = 3b^(−2).
б) x/y = xy^(−1).
в) 2a⁸/c⁵ = 2a⁸c^(−5).
г) a⁵/(7b³) = (1/7)a⁵b^(−3).
д) 1/(x²y³) = x^(−2)y^(−3).
е) (a + b)²/(b^4 c^4) = (a + b)²b^(−4)c^(−4).
ж) 2a/(a − 2)² = 2a(a − 2)^(−2).
з) (c + b)⁵/(2(a − b)^4) = (1/2)(c + b)⁵(a − b)^(−4).
1188. Представьте в виде дроби выражение: а) a^(−2) + b^(−2); б) xy^(−1) + xy^(−2); в) (a + b^(−1))(a^(−1) − b); г) (x − 2y^(−1))(x^(−1) + 2y).
а) a^(−2) + b^(−2) = 1/a² + 1/b² = (b² + a²)/(a²b²).
б) xy^(−1) + xy^(−2) = x/y + x/y² = (xy + x)/y² = x(y + 1)/y².
в) (a + 1/b)(1/a − b) = ((ab + 1)/b) · ((1 − ab)/a) = (1 + ab)(1 − ab)/(ab) = (1 − a²b²)/(ab).
г) (x − 2/y)(1/x + 2y) = ((xy − 2)/y) · ((1 + 2xy)/x) = (xy − 2)(2xy + 1)/(xy) = (2x²y² + xy − 4xy − 2)/(xy) = (2x²y² − 3xy − 2)/(xy).
б) xy^(−1) + xy^(−2) = x/y + x/y² = (xy + x)/y² = x(y + 1)/y².
в) (a + 1/b)(1/a − b) = ((ab + 1)/b) · ((1 − ab)/a) = (1 + ab)(1 − ab)/(ab) = (1 − a²b²)/(ab).
г) (x − 2/y)(1/x + 2y) = ((xy − 2)/y) · ((1 + 2xy)/x) = (xy − 2)(2xy + 1)/(xy) = (2x²y² + xy − 4xy − 2)/(xy) = (2x²y² − 3xy − 2)/(xy).
1189. Преобразуйте в дробь выражение: а) (a^(−1) + b^(−1))(a + b)^(−1); б) (a − b)^(−2)(a^(−2) − b^(−2)).
а) (1/a + 1/b) · 1/(a + b) = ((b + a)/(ab)) · 1/(a + b) = 1/(ab).
б) 1/(a − b)² · (1/a² − 1/b²) = 1/(a − b)² · (b² − a²)/(a²b²) = (b − a)(b + a)/((a − b)² a²b²). Так как (a − b)² = (b − a)², сокращаем на b − a: (a + b)/(a²b²(b − a)).
б) 1/(a − b)² · (1/a² − 1/b²) = 1/(a − b)² · (b² − a²)/(a²b²) = (b − a)(b + a)/((a − b)² a²b²). Так как (a − b)² = (b − a)², сокращаем на b − a: (a + b)/(a²b²(b − a)).
1190. Определите множество значений x, при которых функция y = (x − 2)^(−1) принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения.
y = (x − 2)^(−1) = 1/(x − 2), x ≠ 2. Дробь с числителем 1 имеет знак знаменателя.
а) y > 0 при x − 2 > 0, то есть x > 2: (2; +∞).
б) y < 0 при x − 2 < 0, то есть x < 2: (−∞; 2).
а) y > 0 при x − 2 > 0, то есть x > 2: (2; +∞).
б) y < 0 при x − 2 < 0, то есть x < 2: (−∞; 2).
1191. При каких натуральных n дробь (n − 7)²/n принимает натуральные значения?
Раскроем скобки: (n − 7)²/n = (n² − 14n + 49)/n = n − 14 + 49/n. Первые два слагаемых — целые, значит, дробь целая тогда и только тогда, когда 49/n целое, то есть n — делитель числа 49: n = 1, 7, 49.
Проверка: n = 1: 36/1 = 36 — натуральное; n = 7: 0/7 = 0 — не натуральное; n = 49: 42²/49 = 1764/49 = 36 — натуральное.
Ответ: n = 1 и n = 49.
Проверка: n = 1: 36/1 = 36 — натуральное; n = 7: 0/7 = 0 — не натуральное; n = 49: 42²/49 = 1764/49 = 36 — натуральное.
Ответ: n = 1 и n = 49.
1192. Найдите коэффициент обратной пропорциональности, зная, что её график проходит через точку: а) A(1,5; 8); б) B(0,04; −25).
Обратная пропорциональность y = k/x, откуда k = xy.
а) k = 1,5 · 8 = 12.
б) k = 0,04 · (−25) = −1.
Ответ: а) 12; б) −1.
а) k = 1,5 · 8 = 12.
б) k = 0,04 · (−25) = −1.
Ответ: а) 12; б) −1.