Глава VI. § 15. п.47 Определение степени с целым отрицательным показателем — с. 264
1179. Сравните с нулём значение степени: а) 9^(−5); б) 2,6^(−4); в) (−7,1)^(−6); г) (−3,9)^(−3); д) (−5/6)^(−5); е) (2 3/4)^(−2).
Степень a^(−n) = 1/a^n имеет тот же знак, что и a^n.
а) 9^(−5) > 0 (основание положительно).
б) 2,6^(−4) > 0.
в) (−7,1)^(−6) = 1/(−7,1)⁶ > 0 (чётная степень отрицательного числа положительна).
г) (−3,9)^(−3) = 1/(−3,9)³ < 0 (нечётная степень отрицательного числа отрицательна).
д) (−5/6)^(−5) < 0 (нечётная степень).
е) (2 3/4)^(−2) > 0.
а) 9^(−5) > 0 (основание положительно).
б) 2,6^(−4) > 0.
в) (−7,1)^(−6) = 1/(−7,1)⁶ > 0 (чётная степень отрицательного числа положительна).
г) (−3,9)^(−3) = 1/(−3,9)³ < 0 (нечётная степень отрицательного числа отрицательна).
д) (−5/6)^(−5) < 0 (нечётная степень).
е) (2 3/4)^(−2) > 0.
1180. Верно ли, что: а) если a > 0 и n — целое число, то a^n > 0; б) если a < 0 и n — чётное отрицательное число, то a^n > 0; в) если a < 0 и n — нечётное отрицательное число, то a^n < 0?
а) Верно. При n > 0 степень положительного числа положительна; при n = 0 равна 1; при n < 0 имеем a^n = 1/a^(−n), где a^(−n) > 0, поэтому дробь положительна.
б) Верно. Пусть n = −2k. Тогда a^n = 1/a^(2k), а чётная степень отрицательного числа положительна, поэтому дробь положительна.
в) Верно. Пусть n = −(2k + 1). Тогда a^n = 1/a^(2k+1), нечётная степень отрицательного числа отрицательна, значит и дробь отрицательна.
Ответ: а), б), в) — верно.
б) Верно. Пусть n = −2k. Тогда a^n = 1/a^(2k), а чётная степень отрицательного числа положительна, поэтому дробь положительна.
в) Верно. Пусть n = −(2k + 1). Тогда a^n = 1/a^(2k+1), нечётная степень отрицательного числа отрицательна, значит и дробь отрицательна.
Ответ: а), б), в) — верно.
1181. Найдите значение выражения x^p, если: а) x = −7, p = −2; б) x = 8, p = −1; в) x = 2, p = −6; г) x = −9, p = 0.
а) (−7)^(−2) = 1/(−7)² = 1/49.
б) 8^(−1) = 1/8.
в) 2^(−6) = 1/2⁶ = 1/64.
г) (−9)⁰ = 1 (любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1).
б) 8^(−1) = 1/8.
в) 2^(−6) = 1/2⁶ = 1/64.
г) (−9)⁰ = 1 (любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1).
1182. Какое значение принимает выражение −x^p, если: а) x = −1, p = −2; б) x = 0,5, p = −2; в) x = 2, p = −1; г) x = 0,5, p = −5?
а) −(−1)^(−2) = −1/(−1)² = −1.
б) −0,5^(−2) = −(1/0,5)² = −2² = −4.
в) −2^(−1) = −1/2.
г) −0,5^(−5) = −(1/0,5)⁵ = −2⁵ = −32.
б) −0,5^(−2) = −(1/0,5)² = −2² = −4.
в) −2^(−1) = −1/2.
г) −0,5^(−5) = −(1/0,5)⁵ = −2⁵ = −32.
1183. Найдите значения выражений x^n и x^(−n), если: а) x = 1/2, n = 2; б) x = −1/3, n = 3; в) x = 2/3, n = −2; г) x = −1,5, n = 3.
а) x^n = (1/2)² = 1/4; x^(−n) = (1/2)^(−2) = 2² = 4.
б) x^n = (−1/3)³ = −1/27; x^(−n) = (−1/3)^(−3) = (−3)³ = −27.
в) x^n = (2/3)^(−2) = (3/2)² = 9/4; x^(−n) = (2/3)² = 4/9.
г) x^n = (−1,5)³ = −3,375 = −27/8; x^(−n) = (−1,5)^(−3) = (−2/3)³ = −8/27.
б) x^n = (−1/3)³ = −1/27; x^(−n) = (−1/3)^(−3) = (−3)³ = −27.
в) x^n = (2/3)^(−2) = (3/2)² = 9/4; x^(−n) = (2/3)² = 4/9.
г) x^n = (−1,5)³ = −3,375 = −27/8; x^(−n) = (−1,5)^(−3) = (−2/3)³ = −8/27.
1184. Найдите значение выражения: а) 8 · 4^(−3); б) −2 · 10^(−5); в) 18 · (−9)^(−1); г) 10 · (−1/5)^(−1); д) 3^(−2) + 4^(−1); е) 2^(−3) − (−2)^(−4); ж) 0,5^(−2) + (1/3)^(−1); з) 0,3⁰ + 0,1^(−4).
а) 8 · 4^(−3) = 8/64 = 1/8.
б) −2 · 10^(−5) = −2/100 000 = −0,00002.
в) 18 · (−9)^(−1) = 18 · (−1/9) = −2.
г) 10 · (−1/5)^(−1) = 10 · (−5) = −50.
д) 3^(−2) + 4^(−1) = 1/9 + 1/4 = 4/36 + 9/36 = 13/36.
е) 2^(−3) − (−2)^(−4) = 1/8 − 1/16 = 1/16.
ж) 0,5^(−2) + (1/3)^(−1) = 2² + 3 = 4 + 3 = 7.
з) 0,3⁰ + 0,1^(−4) = 1 + 10⁴ = 10 001.
б) −2 · 10^(−5) = −2/100 000 = −0,00002.
в) 18 · (−9)^(−1) = 18 · (−1/9) = −2.
г) 10 · (−1/5)^(−1) = 10 · (−5) = −50.
д) 3^(−2) + 4^(−1) = 1/9 + 1/4 = 4/36 + 9/36 = 13/36.
е) 2^(−3) − (−2)^(−4) = 1/8 − 1/16 = 1/16.
ж) 0,5^(−2) + (1/3)^(−1) = 2² + 3 = 4 + 3 = 7.
з) 0,3⁰ + 0,1^(−4) = 1 + 10⁴ = 10 001.
1185. Вычислите: а) 6 · 12^(−1); б) −4 · 8^(−2); в) 6^(−1) − 3^(−2); г) 1,3⁰ − 1,3^(−1); д) 12 − (1/6)^(−1); е) 25 + 0,1^(−2).
а) 6 · 12^(−1) = 6/12 = 1/2.
б) −4 · 8^(−2) = −4/64 = −1/16.
в) 6^(−1) − 3^(−2) = 1/6 − 1/9 = 3/18 − 2/18 = 1/18.
г) 1,3⁰ − 1,3^(−1) = 1 − 10/13 = 3/13.
д) 12 − (1/6)^(−1) = 12 − 6 = 6.
е) 25 + 0,1^(−2) = 25 + 100 = 125.
Оговорка: в пункте д) показатель степени (1/6) в скане читается плохо; принят показатель −1 (так согласуется с ответом учебника, 6).
б) −4 · 8^(−2) = −4/64 = −1/16.
в) 6^(−1) − 3^(−2) = 1/6 − 1/9 = 3/18 − 2/18 = 1/18.
г) 1,3⁰ − 1,3^(−1) = 1 − 10/13 = 3/13.
д) 12 − (1/6)^(−1) = 12 − 6 = 6.
е) 25 + 0,1^(−2) = 25 + 100 = 125.
Оговорка: в пункте д) показатель степени (1/6) в скане читается плохо; принят показатель −1 (так согласуется с ответом учебника, 6).
1186. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем: а) 3x^(−5); б) x^(−4)y; в) 5ab^(−7); г) 5(ab)^(−7); д) x^(−1)c^(−3); е) −9yz^(−8); ж) 2(x + y)^(−4); з) 10x^(−1)(x − y)^(−3).
а) 3x^(−5) = 3/x⁵.
б) x^(−4)y = y/x⁴.
в) 5ab^(−7) = 5a/b⁷.
г) 5(ab)^(−7) = 5/(ab)⁷.
д) x^(−1)c^(−3) = 1/(xc³).
е) −9yz^(−8) = −9y/z⁸.
ж) 2(x + y)^(−4) = 2/(x + y)^4.
з) 10x^(−1)(x − y)^(−3) = 10/(x(x − y)³).
Оговорка: показатели в пунктах б), в) читаются по скану как −4 и −7.
б) x^(−4)y = y/x⁴.
в) 5ab^(−7) = 5a/b⁷.
г) 5(ab)^(−7) = 5/(ab)⁷.
д) x^(−1)c^(−3) = 1/(xc³).
е) −9yz^(−8) = −9y/z⁸.
ж) 2(x + y)^(−4) = 2/(x + y)^4.
з) 10x^(−1)(x − y)^(−3) = 10/(x(x − y)³).
Оговорка: показатели в пунктах б), в) читаются по скану как −4 и −7.