Глава V. Дополнительные упражнения к главе V — с. 260
1165. С помощью графиков найдите приближённое значение корня уравнения √x = 2/x.
Строим в одной системе координат графики y = √x и y = 2/x. Абсцисса их точки пересечения — корень уравнения.
Значения: √x при x = 1; 1,5; 2 равно 1; 1,22; 1,41; 2/x равно 2; 1,33; 1. При x = 1 кривая y = 2/x выше, при x = 2 ниже, поэтому точка пересечения между 1 и 2, около x = 1,6 (проверка: √1,6 ≈ 1,26, 2 : 1,6 = 1,25).
Точное значение: x^(3/2) = 2, x = ∛4 ≈ 1,59.
Ответ: x ≈ 1,6.
Значения: √x при x = 1; 1,5; 2 равно 1; 1,22; 1,41; 2/x равно 2; 1,33; 1. При x = 1 кривая y = 2/x выше, при x = 2 ниже, поэтому точка пересечения между 1 и 2, около x = 1,6 (проверка: √1,6 ≈ 1,26, 2 : 1,6 = 1,25).
Точное значение: x^(3/2) = 2, x = ∛4 ≈ 1,59.
Ответ: x ≈ 1,6.
1166. Постройте в одной системе координат в первой координатной четверти графики функций y = x, y = x², y = x³, y = √x. а) Укажите координаты точек, которые являются общими для всех этих графиков. б) Опишите взаимное расположение этих графиков на отрезке [0; 1] и на луче [1; +∞). в) Глядя на рисунок, расположите в порядке возрастания числа: 0,37; 0,37²; 0,37³; √0,37. г) Расположите в порядке убывания числа: 4,6; 4,6²; 4,6³; √4,6.
Графики построены на рисунке.
а) Общие точки всех четырёх графиков: (0; 0) и (1; 1. (так как 0 = 0² = 0³ = √0 и 1 = 1² = 1³ = √1).
б) На интервале 0 < x < 1 выше всех лежит график y = √x, затем y = x, затем y = x², ниже всех y = x³: x³ < x² < x < √x. На луче x > 1 порядок обратный: √x < x < x² < x³ (выше всех график y = x³).
в) Число 0,37 лежит между 0 и 1, поэтому по расположению графиков 0,37³ < 0,37² < 0,37 < √0,37.
г) Число 4,6 больше 1, поэтому 4,6³ > 4,6² > 4,6 > √4,6, то есть по убыванию: 4,6³; 4,6²; 4,6; √4,6.
а) Общие точки всех четырёх графиков: (0; 0) и (1; 1. (так как 0 = 0² = 0³ = √0 и 1 = 1² = 1³ = √1).
б) На интервале 0 < x < 1 выше всех лежит график y = √x, затем y = x, затем y = x², ниже всех y = x³: x³ < x² < x < √x. На луче x > 1 порядок обратный: √x < x < x² < x³ (выше всех график y = x³).
в) Число 0,37 лежит между 0 и 1, поэтому по расположению графиков 0,37³ < 0,37² < 0,37 < √0,37.
г) Число 4,6 больше 1, поэтому 4,6³ > 4,6² > 4,6 > √4,6, то есть по убыванию: 4,6³; 4,6²; 4,6; √4,6.
1167. Используя рисунок 52 на с. 237, перечислите свойства функций y = x², y = x³, y = √x и y = |x|.
y = x²: область определения — все числа; множество значений [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; чётная; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0, наибольшего нет.
y = x³: область определения и множество значений — все числа; нуль x = 0; y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0; нечётная (график симметричен относительно начала координат); возрастает на всей числовой оси; наибольшего и наименьшего значений нет.
y = √x: область определения [0; +∞); множество значений [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x > 0; ни чётная, ни нечётная (область определения несимметрична); возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0, наибольшего нет.
y = |x|: область определения — все числа; множество значений [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; чётная; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0, наибольшего нет.
Оговорка: рисунка 52 в условии нет на этих страницах; свойства перечислены по известным графикам функций.
y = x³: область определения и множество значений — все числа; нуль x = 0; y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0; нечётная (график симметричен относительно начала координат); возрастает на всей числовой оси; наибольшего и наименьшего значений нет.
y = √x: область определения [0; +∞); множество значений [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x > 0; ни чётная, ни нечётная (область определения несимметрична); возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0, наибольшего нет.
y = |x|: область определения — все числа; множество значений [0; +∞); нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; чётная; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0, наибольшего нет.
Оговорка: рисунка 52 в условии нет на этих страницах; свойства перечислены по известным графикам функций.
1168. Графиком какой из функций — y = 4/x или y = x/4 — является гипербола?
Функция y = 4/x — обратная пропорциональность, её график — гипербола. Функция y = x/4 = (1/4)x — прямая пропорциональность, её график — прямая, проходящая через начало координат.
Ответ: гипербола — график функции y = 4/x.
Ответ: гипербола — график функции y = 4/x.
1169. Какие из точек (5; 3), (10; −2), (−0,3; −50), (−0,4; 50) принадлежат графику функции: а) y = 15/x; б) y = −20/x?
Точка принадлежит графику, если её координаты обращают формулу в верное равенство.
а) y = 15/x, то есть xy = 15. (5; 3): 5 · 3 = 15 — принадлежит. (10; −2): −20 ≠ 15. (−0,3; −50): (−0,3) · (−50) = 15 — принадлежит. (−0,4; 50): −20 ≠ 15.
б) y = −20/x, то есть xy = −20. (5; 3): 15 ≠ −20. (10; −2): 10 · (−2) = −20 — принадлежит. (−0,3; −50): 15 ≠ −20. (−0,4; 50): (−0,4) · 50 = −20 — принадлежит.
Ответ: а) (5; 3) и (−0,3; −50); б) (10; −2) и (−0,4; 50).
а) y = 15/x, то есть xy = 15. (5; 3): 5 · 3 = 15 — принадлежит. (10; −2): −20 ≠ 15. (−0,3; −50): (−0,3) · (−50) = 15 — принадлежит. (−0,4; 50): −20 ≠ 15.
б) y = −20/x, то есть xy = −20. (5; 3): 15 ≠ −20. (10; −2): 10 · (−2) = −20 — принадлежит. (−0,3; −50): 15 ≠ −20. (−0,4; 50): (−0,4) · 50 = −20 — принадлежит.
Ответ: а) (5; 3) и (−0,3; −50); б) (10; −2) и (−0,4; 50).
1170. В одной системе координат постройте графики функций y = 1/x, y = 4/x, y = −2/x, y = −6/x. Как зависит расположение графика функции y = k/x от модуля коэффициента k?
Строим по точкам. y = 1/x: (1; 1), (2; 0,5), (4; 0,25), (−1; −1)... y = 4/x: (1; 4), (2; 2), (4; 1), (−2; −2)... y = −2/x: (1; −2), (2; −1), (−1; 2), (−2; 1)... y = −6/x: (1; −6), (2; −3), (3; −2), (−2; 3), (−3; 2)... Графики — гиперболы (рисунок).
При k > 0 ветви расположены в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Чем больше |k|, тем дальше от осей координат (от начала координат) расположены ветви гиперболы: при x = 1 значения |y| = |k| растут вместе с |k|.
Вывод: при увеличении модуля коэффициента k ветви гиперболы y = k/x удаляются от осей координат.
При k > 0 ветви расположены в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Чем больше |k|, тем дальше от осей координат (от начала координат) расположены ветви гиперболы: при x = 1 значения |y| = |k| растут вместе с |k|.
Вывод: при увеличении модуля коэффициента k ветви гиперболы y = k/x удаляются от осей координат.
1171. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения: а) y = −1/x и y = −x; б) y = 2/x и y = x + 1.
Графики построены на рисунке; точки пересечения найдём и вычислением.
а) −1/x = −x, умножим на −x (x ≠ 0): 1 = x², x = 1 или x = −1. Тогда y = −x равно −1 и 1. Точки (1; −1) и (−1; 1).
б) 2/x = x + 1, 2 = x² + x, x² + x − 2 = 0, по теореме Виета x = 1 или x = −2. Тогда y = x + 1 равно 2 и −1. Точки (1; 2) и (−2; −1).
Ответ: а) (1; −1), (−1; 1); б) (1; 2), (−2; −1).
а) −1/x = −x, умножим на −x (x ≠ 0): 1 = x², x = 1 или x = −1. Тогда y = −x равно −1 и 1. Точки (1; −1) и (−1; 1).
б) 2/x = x + 1, 2 = x² + x, x² + x − 2 = 0, по теореме Виета x = 1 или x = −2. Тогда y = x + 1 равно 2 и −1. Точки (1; 2) и (−2; −1).
Ответ: а) (1; −1), (−1; 1); б) (1; 2), (−2; −1).