Упражнения 1150–1157 — Глава V. Дополнительные упражнения к главе V

Нули функции — значения x, при которых y = 0.
а) (2x + 11)/10 = 0, 2x + 11 = 0, x = −5,5.
б) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а числитель равен 6 и нулю не равен. Нулей нет.
в) 3x² − 12 = 0, x² = 4, x = −2 или x = 2.
Ответ: а) −5,5; б) нулей нет; в) −2 и 2.

Пусть f и g возрастают, x₁ и x₂ — любые числа из общей области определения, x₁ < x₂. Тогда f(x₁) < f(x₂) и g(x₁) < g(x₂). Складывая эти верные неравенства почленно, получаем f(x₁) + g(x₁) < f(x₂) + g(x₂), то есть φ(x₁) < φ(x₂). Значит, φ — возрастающая функция.
Если f и g убывают, то при x₁ < x₂ имеем f(x₁) > f(x₂) и g(x₁) > g(x₂). Складывая, получаем φ(x₁) > φ(x₂), поэтому φ — убывающая функция. Что и требовалось доказать.

Допустим, что уравнение f(x) = a имеет два различных корня x₁ и x₂, причём x₁ < x₂. Так как f возрастает, то f(x₁) < f(x₂). Но по условию f(x₁) = a и f(x₂) = a, то есть f(x₁) = f(x₂) — противоречие. Следовательно, различных корней не может быть два и больше: корней не более одного. Что и требовалось доказать.

а) Функция y = √x + x² на промежутке [0; +∞) возрастает как сумма двух возрастающих функций, поэтому уравнение √x + x² = 18 имеет не более одного корня. Подбором находим x = 4: √4 + 4² = 2 + 16 = 18. Других корней нет.
б) Функция y = x³ + 5x возрастает на всей числовой оси как сумма двух возрастающих функций, значит, уравнение x³ + 5x = 6 имеет не более одного корня. Подбором: x = 1, 1 + 5 = 6 — верно.
Ответ: а) 4; б) 1.

Функция сохраняет знак на области определения, если все её значения имеют один и тот же знак.
y = x² + 5: x² ≥ 0, значит, y ≥ 5 > 0 — сохраняет знак.
y = −x² − 4: y ≤ −4 < 0 — сохраняет знак.
y = √x + 1: √x ≥ 0, значит, y ≥ 1 > 0 — сохраняет знак.
y = x^4 + x² + 6: слагаемые неотрицательны, y ≥ 6 > 0 — сохраняет знак.
y = 2x + 5 и y = x³ принимают и положительные, и отрицательные значения (например, при x = −10 и x = 10) — не сохраняют знак.
y = x², y = −x², y = √x: значения одного знака (неотрицательные или неположительные), но в точке x = 0 они равны нулю.
Ответ: y = x² + 5, y = −x² − 4, y = √x + 1, y = x^4 + x² + 6.
Оговорка: функции y = x², y = −x², y = √x в нуле обращаются в 0; если «сохранение знака» понимать нестрого (значения не меняют знак), их тоже можно отнести к искомым.

График расположен в области x ≤ 1 и обрывается в точке (1; 0), то есть функция определена при x ≤ 1.
y = √(x − 1) определена при x ≥ 1 — не подходит. y = √(x + 1) определена при x ≥ −1 и при x = 0 даёт 1, но она возрастает и начинается в точке (−1; 0) — не подходит.
y = √(1 − x) определена при 1 − x ≥ 0, то есть x ≤ 1; при x = 1 значение 0, при x = 0 значение 1, функция убывает — всё совпадает с графиком.
Ответ: y = √(1 − x).

График функции y = |x − 2| получается сдвигом графика y = |x| на 2 единицы вправо. Вершина — точка (2; 0) на оси x, правее начала координат. При x = 0 значение y = |0 − 2| = 2.
График 1 имеет вершину ниже оси x — это не y = |x − 2| (у модуля значения неотрицательны). График 3 имеет вершину левее начала координат — это график y = |x + a| с положительным a. График 2 имеет вершину на оси x справа от начала координат и пересекает ось y выше точки 1 — как раз в точке (0; 2).
Ответ: график 2.

При x > 0 имеем |x| = x, y = 6/x; при x < 0 имеем |x| = −x, y = −6/x. Строим по точкам: x = 1, 2, 3, 6 дают y = 6, 3, 2, 1, и симметричные точки при x = −1, −2, −3, −6 (значения y те же). Получаем две ветви, симметричные относительно оси y (рисунок).
Свойства:
1) область определения — все числа, кроме 0;
2) множество значений — все положительные числа, y > 0;
3) нулей нет, график не пересекает оси координат;
4) функция положительна при всех x ≠ 0; график расположен в I и II четвертях;
5) функция чётна: y(−x) = y(x), график симметричен относительно оси y;
6) на промежутке (−∞; 0) функция возрастает, на промежутке (0; +∞) убывает;
7) наибольшего и наименьшего значений нет.