Глава V. Дополнительные упражнения к главе V — с. 257
1144. Найдите область определения функции: а) y = 1/(6x) + 1/(6 + x); б) y = √x − √(x − 4); в) y = 1/(1 + 1/x).
а) Знаменатели не должны равняться нулю: 6x ≠ 0 и 6 + x ≠ 0, то есть x ≠ 0 и x ≠ −6. Область определения: все числа, кроме 0 и −6.
б) Оба корня существуют при x ≥ 0 и x − 4 ≥ 0, то есть при x ≥ 4. Область определения: [4; +∞).
в) Внутренняя дробь 1/x имеет смысл при x ≠ 0; кроме того, знаменатель 1 + 1/x ≠ 0, откуда 1/x ≠ −1, x ≠ −1. Область определения: все числа, кроме 0 и −1.
б) Оба корня существуют при x ≥ 0 и x − 4 ≥ 0, то есть при x ≥ 4. Область определения: [4; +∞).
в) Внутренняя дробь 1/x имеет смысл при x ≠ 0; кроме того, знаменатель 1 + 1/x ≠ 0, откуда 1/x ≠ −1, x ≠ −1. Область определения: все числа, кроме 0 и −1.
1145. Длина прямоугольника ABCD (рис. 75) равна 10 см, а ширина — 7 см. Отрезок MN передвигается от отрезка AD до отрезка BC, оставаясь параллельным отрезку AD. Площадь y (см²) закрашенной части есть функция расстояния x (см) от точки D до точки N. Задайте функцию y = f(x) формулой. Найдите множество значений этой функции. [рисунок 75: прямоугольник ABCD, B и C сверху, A и D снизу, M на AB, N на CD, нижняя часть ADNM закрашена]
Закрашенная часть — прямоугольник AMND со сторонами AD = 10 см и DN = x см. Его площадь y = 10x.
Отрезок MN движется от AD до BC, поэтому x изменяется от 0 до 7: 0 ≤ x ≤ 7. Функция y = 10x возрастающая, при x = 0 значение 0, при x = 7 значение 70.
Ответ: y = 10x, где 0 ≤ x ≤ 7; множество значений — промежуток [0; 70].
Оговорка: в начальном положении (x = 0) закрашенной части нет и её площадь считают равной 0; если это положение не рассматривать, то 0 < x ≤ 7 и множество значений (0; 70].
Отрезок MN движется от AD до BC, поэтому x изменяется от 0 до 7: 0 ≤ x ≤ 7. Функция y = 10x возрастающая, при x = 0 значение 0, при x = 7 значение 70.
Ответ: y = 10x, где 0 ≤ x ≤ 7; множество значений — промежуток [0; 70].
Оговорка: в начальном положении (x = 0) закрашенной части нет и её площадь считают равной 0; если это положение не рассматривать, то 0 < x ≤ 7 и множество значений (0; 70].
1146. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна y (см), а расстояние от вершины — x (см). Задайте формулой y как функцию от x. Найдите множество значений этой функции.
Высота BH, проведённая к основанию, делит его пополам: AH = 3 см, тогда BH = √(5² − 3²) = 4 см.
Подвижной отрезок параллелен AC, поэтому отсекает от треугольника ABC подобный треугольник с вершиной B. Расстояния от вершины до отрезка и до основания относятся как x : 4, значит, и длины отрезка и основания: y/6 = x/4, откуда y = 1,5x.
Отрезок может занимать положения от вершины B (x = 0) до основания (x = 4), то есть 0 ≤ x ≤ 4. Тогда y принимает значения от 0 до 6.
Ответ: y = 1,5x, 0 ≤ x ≤ 4; множество значений — [0; 6].
Оговорка: в положении x = 0 отрезок вырождается в точку (длина 0); если это положение не рассматривать, то 0 < x ≤ 4 и y ∈ (0; 6].
Подвижной отрезок параллелен AC, поэтому отсекает от треугольника ABC подобный треугольник с вершиной B. Расстояния от вершины до отрезка и до основания относятся как x : 4, значит, и длины отрезка и основания: y/6 = x/4, откуда y = 1,5x.
Отрезок может занимать положения от вершины B (x = 0) до основания (x = 4), то есть 0 ≤ x ≤ 4. Тогда y принимает значения от 0 до 6.
Ответ: y = 1,5x, 0 ≤ x ≤ 4; множество значений — [0; 6].
Оговорка: в положении x = 0 отрезок вырождается в точку (длина 0); если это положение не рассматривать, то 0 < x ≤ 4 и y ∈ (0; 6].
1147. Функция задана формулой y = 1/(x² + 1). Пересекает ли её график ось x? ось y?
В каких координатных четвертях расположен график этой функции?
Ось x: надо решить y = 0, то есть 1/(x² + 1) = 0. Дробь с числителем 1 нулём не бывает, поэтому график ось x не пересекает.
Ось y: при x = 0 получаем y = 1/(0 + 1) = 1, значит, график пересекает ось y в точке (0; 1).
Поскольку x² + 1 > 0 при любом x, всегда y > 0, то есть график лежит выше оси x. Значения x могут быть любыми (и положительными, и отрицательными).
Ответ: ось x не пересекает; ось y пересекает в точке (0; 1); график расположен в I и II координатных четвертях.
Ось y: при x = 0 получаем y = 1/(0 + 1) = 1, значит, график пересекает ось y в точке (0; 1).
Поскольку x² + 1 > 0 при любом x, всегда y > 0, то есть график лежит выше оси x. Значения x могут быть любыми (и положительными, и отрицательными).
Ответ: ось x не пересекает; ось y пересекает в точке (0; 1); график расположен в I и II координатных четвертях.
1148. Катер отправляется от пристани A и идёт вниз по реке к пристани B, до которой 60 км. После двухчасовой стоянки на пристани B он возвращается обратно. Расстояние l (км), пройденное катером от пристани A, зависит от времени t (ч), отсчитываемого с момента отправления катера из A до момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч. Задайте l как функцию от t формулами, постройте график функции, опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл.
Скорость по течению 16 + 4 = 20 км/ч, против течения 16 − 4 = 12 км/ч.
От A до B катер идёт 60 : 20 = 3 ч: l = 20t при 0 ≤ t ≤ 3.
Стоянка 2 ч, расстояние от A не меняется: l = 60 при 3 ≤ t ≤ 5.
Обратный путь занимает 60 : 12 = 5 ч, то есть до момента t = 10. Расстояние от A равно 60 − 12(t − 5) = 120 − 12t при 5 ≤ t ≤ 10.
Итак: l = 20t при 0 ≤ t ≤ 3; l = 60 при 3 ≤ t ≤ 5; l = 120 − 12t при 5 ≤ t ≤ 10. График — ломаная (рисунок).
Свойства: область определения [0; 10] — время всего рейса 10 ч; множество значений [0; 60] — катер не отходит от A дальше чем на 60 км; l = 0 при t = 0 и t = 10 — катер в пункте A в начале и в конце; l возрастает на [0; 3] — движение вниз по течению; постоянна на [3; 5] — стоянка у B; убывает на [5; 10] — возвращение к A, причём спуск более пологий, так как скорость против течения меньше; наибольшее значение 60 при 3 ≤ t ≤ 5 — расстояние до B.
От A до B катер идёт 60 : 20 = 3 ч: l = 20t при 0 ≤ t ≤ 3.
Стоянка 2 ч, расстояние от A не меняется: l = 60 при 3 ≤ t ≤ 5.
Обратный путь занимает 60 : 12 = 5 ч, то есть до момента t = 10. Расстояние от A равно 60 − 12(t − 5) = 120 − 12t при 5 ≤ t ≤ 10.
Итак: l = 20t при 0 ≤ t ≤ 3; l = 60 при 3 ≤ t ≤ 5; l = 120 − 12t при 5 ≤ t ≤ 10. График — ломаная (рисунок).
Свойства: область определения [0; 10] — время всего рейса 10 ч; множество значений [0; 60] — катер не отходит от A дальше чем на 60 км; l = 0 при t = 0 и t = 10 — катер в пункте A в начале и в конце; l возрастает на [0; 3] — движение вниз по течению; постоянна на [3; 5] — стоянка у B; убывает на [5; 10] — возвращение к A, причём спуск более пологий, так как скорость против течения меньше; наибольшее значение 60 при 3 ≤ t ≤ 5 — расстояние до B.
1149. Начертите график какой-нибудь функции, областью определения которой является промежуток [−3; 4], а множеством значений — промежуток [0; 6].
Подойдёт кусочно-линейная функция: y = −2x при −3 ≤ x ≤ 0 и y = 1,5x при 0 ≤ x ≤ 4.
Первый отрезок соединяет точки (−3; 6) и (0; 0), второй — (0; 0) и (4; 6). Значения x заполняют весь промежуток [−3; 4]; наименьшее значение y равно 0 (при x = 0), наибольшее равно 6 (при x = −3 и x = 4), и все промежуточные значения принимаются. Значит, множество значений — [0; 6].
Ответ: график — ломаная, показанная на рисунке.
Оговорка: задача имеет много решений, приведён один из примеров.
Первый отрезок соединяет точки (−3; 6) и (0; 0), второй — (0; 0) и (4; 6). Значения x заполняют весь промежуток [−3; 4]; наименьшее значение y равно 0 (при x = 0), наибольшее равно 6 (при x = −3 и x = 4), и все промежуточные значения принимаются. Значит, множество значений — [0; 6].
Ответ: график — ломаная, показанная на рисунке.
Оговорка: задача имеет много решений, приведён один из примеров.