Глава V. §14. п.45 Свойства функций y = k/x и y = √x — с. 255
1136. Сравните значения выражений: а) 5√2 + 3√5 и 3√7 + √45; б) 6√2 − 2√7 и 4√3 − √28; в) 5√3 + 3√5 и √75 + 7√2; г) √112 − 2√5 и 4√7 − √23.
а) √45 = 3√5. Сравним 5√2 + 3√5 и 3√7 + 3√5: достаточно сравнить 5√2 = √50 и 3√7 = √63. √50 < √63, поэтому первое выражение меньше.
б) √28 = 2√7. Сравним 6√2 − 2√7 и 4√3 − 2√7: достаточно сравнить 6√2 = √72 и 4√3 = √48. √72 > √48, поэтому первое выражение больше.
в) √75 = 5√3. Сравним 5√3 + 3√5 и 5√3 + 7√2: достаточно сравнить 3√5 = √45 и 7√2 = √98. √45 < √98, поэтому первое выражение меньше.
г) √112 = 4√7. Сравним 4√7 − 2√5 и 4√7 − √23: достаточно сравнить 2√5 = √20 и √23. √20 < √23, значит, −2√5 > −√23, и первое выражение больше.
Ответ: а) <; б) >; в) <; г) >.
б) √28 = 2√7. Сравним 6√2 − 2√7 и 4√3 − 2√7: достаточно сравнить 6√2 = √72 и 4√3 = √48. √72 > √48, поэтому первое выражение больше.
в) √75 = 5√3. Сравним 5√3 + 3√5 и 5√3 + 7√2: достаточно сравнить 3√5 = √45 и 7√2 = √98. √45 < √98, поэтому первое выражение меньше.
г) √112 = 4√7. Сравним 4√7 − 2√5 и 4√7 − √23: достаточно сравнить 2√5 = √20 и √23. √20 < √23, значит, −2√5 > −√23, и первое выражение больше.
Ответ: а) <; б) >; в) <; г) >.
Вопрос 1. Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.
Примеры: y = 3x − 1 — возрастающая, y = −2x + 5 — убывающая.
Свойство: при k > 0 функция y = kx + b является возрастающей, а при k < 0 — убывающей.
Доказательство. Пусть x₁ и x₂ — произвольные значения аргумента, x₂ > x₁; y₁ = kx₁ + b, y₂ = kx₂ + b. Тогда y₂ − y₁ = k(x₂ − x₁). Множитель x₂ − x₁ положителен, поэтому знак разности определяется знаком k. Если k > 0, то y₂ > y₁ — функция возрастающая; если k < 0, то y₂ < y₁ — функция убывающая.
Свойство: при k > 0 функция y = kx + b является возрастающей, а при k < 0 — убывающей.
Доказательство. Пусть x₁ и x₂ — произвольные значения аргумента, x₂ > x₁; y₁ = kx₁ + b, y₂ = kx₂ + b. Тогда y₂ − y₁ = k(x₂ − x₁). Множитель x₂ − x₁ положителен, поэтому знак разности определяется знаком k. Если k > 0, то y₂ > y₁ — функция возрастающая; если k < 0, то y₂ < y₁ — функция убывающая.
Вопрос 2. Что называется нулём функции?
Укажите нуль функции, заданной формулой y = kx + b, где k ≠ 0. Может ли линейная функция не иметь нулей?
Нулём функции называется значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
Для y = kx + b, k ≠ 0, решим kx + b = 0: x = −b/k.
При k ≠ 0 линейная функция всегда имеет ровно один нуль. Нулей нет лишь у постоянной функции y = b при b ≠ 0 (k = 0).
Для y = kx + b, k ≠ 0, решим kx + b = 0: x = −b/k.
При k ≠ 0 линейная функция всегда имеет ровно один нуль. Нулей нет лишь у постоянной функции y = b при b ≠ 0 (k = 0).
Вопрос 3. Как изменяется на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) функция y = k/x?
Рассмотрите случаи k > 0 и k < 0.
При k > 0 функция y = k/x убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) (график — гипербола в I и III четвертях).
При k < 0 функция возрастает на каждом из этих промежутков (график — гипербола во II и IV четвертях).
На всей области определения функция не является ни возрастающей, ни убывающей.
При k < 0 функция возрастает на каждом из этих промежутков (график — гипербола во II и IV четвертях).
На всей области определения функция не является ни возрастающей, ни убывающей.
Вопрос 4. Перечислите свойства функции, заданной формулой y = √x. Может ли эта функция принимать значение, равное 9, −4, 8?
Если может, то при каком значении аргумента?
Свойства y = √x:
1. D(y) = [0; +∞).
2. E(y) = [0; +∞): функция принимает только неотрицательные значения, и любое неотрицательное число является её значением.
3. Нуль функции x = 0.
4. Функция возрастающая; y > 0 при x > 0.
Значение 9: √x = 9, x = 81. Значение −4 функция принимать не может (корень неотрицателен). Значение 8: √x = 8, x = 64.
Значение 9: √x = 9, x = 81. Значение −4 функция принимать не может (корень неотрицателен). Значение 8: √x = 8, x = 64.