Глава V. §14. п.45 Свойства функций y = k/x и y = √x — с. 254
1127. Какие из прямых y = 25, y = 0,09, y = 10, y = −4 пересекают график функции y = √x?
Для прямых, пересекающих график, укажите абсциссы точек пересечения.
Абсцисса точки пересечения — решение уравнения √x = a, где y = a — прямая. Функция y = √x принимает только неотрицательные значения, поэтому при a < 0 пересечений нет; при a ≥ 0 есть одна точка x = a².
y = 25: √x = 25, x = 625.
y = 0,09: √x = 0,09, x = 0,0081.
y = 10: √x = 10, x = 100.
y = −4: √x = −4 — решений нет.
Ответ: пересекают прямые y = 25 (x = 625), y = 0,09 (x = 0,0081), y = 10 (x = 100); прямая y = −4 график не пересекает.
y = 25: √x = 25, x = 625.
y = 0,09: √x = 0,09, x = 0,0081.
y = 10: √x = 10, x = 100.
y = −4: √x = −4 — решений нет.
Ответ: пересекают прямые y = 25 (x = 625), y = 0,09 (x = 0,0081), y = 10 (x = 100); прямая y = −4 график не пересекает.
1128. Используя график функции y = √x, постройте в той же системе координат график функции: а) y = 2√x; б) y = −√x; в) y = √(−x).
Исходный график y = √x (чёрный) проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).
а) y = 2√x: каждую ординату графика y = √x увеличиваем вдвое (график растягивается вдоль оси y в 2 раза): точки (0; 0), (1; 2), (4; 4), (9; 6).
б) y = −√x: график симметричен графику y = √x относительно оси x: точки (0; 0), (1; −1), (4; −2), (9; −3).
в) y = √(−x): график симметричен графику y = √x относительно оси y: точки (0; 0), (−1; 1), (−4; 2), (−9; 3).
Построенные графики (красные) показаны на рисунке.
а) y = 2√x: каждую ординату графика y = √x увеличиваем вдвое (график растягивается вдоль оси y в 2 раза): точки (0; 0), (1; 2), (4; 4), (9; 6).
б) y = −√x: график симметричен графику y = √x относительно оси x: точки (0; 0), (1; −1), (4; −2), (9; −3).
в) y = √(−x): график симметричен графику y = √x относительно оси y: точки (0; 0), (−1; 1), (−4; 2), (−9; 3).
Построенные графики (красные) показаны на рисунке.
1129. Постройте в одной системе координат графики функций y = √x и y = x.
а) Укажите координаты их общих точек.
б) При каких значениях x график функции y = √x расположен выше прямой y = x и при каких значениях x он расположен ниже этой прямой?
а) Укажите координаты их общих точек.
б) При каких значениях x график функции y = √x расположен выше прямой y = x и при каких значениях x он расположен ниже этой прямой?
Строим график y = √x по точкам (0; 0), (1; 1), (4; 2), (2,25; 1,5) и прямую y = x по точкам (0; 0), (4; 4).
а) Общие точки находим из уравнения √x = x. Здесь x ≥ 0; возведём в квадрат: x = x², x(x − 1) = 0, x = 0 или x = 1. Общие точки: (0; 0) и (1; 1).
б) На промежутке 0 < x < 1 график y = √x расположен выше прямой (например, при x = 0,25: √x = 0,5 > 0,25). При x > 1 график расположен ниже прямой (например, при x = 4: √x = 2 < 4).
Ответ: а) (0; 0), (1; 1); б) выше при 0 < x < 1, ниже при x > 1.
а) Общие точки находим из уравнения √x = x. Здесь x ≥ 0; возведём в квадрат: x = x², x(x − 1) = 0, x = 0 или x = 1. Общие точки: (0; 0) и (1; 1).
б) На промежутке 0 < x < 1 график y = √x расположен выше прямой (например, при x = 0,25: √x = 0,5 > 0,25). При x > 1 график расположен ниже прямой (например, при x = 4: √x = 2 < 4).
Ответ: а) (0; 0), (1; 1); б) выше при 0 < x < 1, ниже при x > 1.
1130. Дана функция f(x) = √x. Укажите значения аргумента x, при которых выполняется условие: а) f(x) > 10; б) 3 < f(x) < 5.
Проиллюстрируйте свой ответ на графике.
Проиллюстрируйте свой ответ на графике.
а) √x > 10. Функция √x возрастающая, а при x = 100 значение равно 10, поэтому √x > 10 при x > 100 (или возведём обе неотрицательные части в квадрат: x > 100).
б) 3 < √x < 5. Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат: 9 < x < 25.
На рисунке красным выделены часть графика и соответствующие значения x на оси x (масштабы по осям на рисунках разные).
Ответ: а) x > 100; б) 9 < x < 25.
б) 3 < √x < 5. Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат: 9 < x < 25.
На рисунке красным выделены часть графика и соответствующие значения x на оси x (масштабы по осям на рисунках разные).
Ответ: а) x > 100; б) 9 < x < 25.
1131. Постройте график функции и перечислите её свойства: а) y = 3/x; б) y = −4/x.
а) y = 3/x. Таблица значений: x = 1, 3, −1, −3 → y = 3, 1, −3, −1 (и, например, x = 1,5; 2 → y = 2; 1,5). График — гипербола с ветвями в I и III четвертях.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 2. E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 3. Нулей нет. 4) y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0. 5) Функция убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) (на всей области определения не монотонна).
б) y = −4/x. Таблица значений: x = 1, 2, 4, −1, −2, −4 → y = −4, −2, −1, 4, 2, 1. График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 2. E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 3. Нулей нет. 4) y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0. 5. Функция возрастает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).
Графики показаны на рисунке.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 2. E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 3. Нулей нет. 4) y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0. 5) Функция убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) (на всей области определения не монотонна).
б) y = −4/x. Таблица значений: x = 1, 2, 4, −1, −2, −4 → y = −4, −2, −1, 4, 2, 1. График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.
Свойства: 1. D(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 2. E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 3. Нулей нет. 4) y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0. 5. Функция возрастает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).
Графики показаны на рисунке.
1132. Изобразите схематически в одной системе координат графики функций y = 1/x и y = 2/x. Имеют ли эти графики общие точки?
Обоснуйте свой ответ алгебраически.
Обе функции — обратные пропорциональности; графики — гиперболы с ветвями в I и III четвертях. При x > 0 значение 2/x вдвое больше 1/x, поэтому график y = 2/x расположен дальше от осей, чем график y = 1/x.
Алгебраически: общие точки — решения уравнения 1/x = 2/x при x ≠ 0. Умножим на x: 1 = 2 — неверное равенство. Значит, уравнение не имеет решений.
Ответ: общих точек нет.
Алгебраически: общие точки — решения уравнения 1/x = 2/x при x ≠ 0. Умножим на x: 1 = 2 — неверное равенство. Значит, уравнение не имеет решений.
Ответ: общих точек нет.
1133. Функция задана формулой y = 4/x. При каких значениях x:
а) функция принимает значение, равное: 8; −8;
б) функция принимает значение, меньшее 4;
в) функция принимает значение, большее 2?
а) функция принимает значение, равное: 8; −8;
б) функция принимает значение, меньшее 4;
в) функция принимает значение, большее 2?
а) 4/x = 8, x = 4/8 = 0,5; 4/x = −8, x = −0,5.
б) 4/x < 4. При x < 0 дробь отрицательна, поэтому неравенство верно. При x > 0 умножим обе части на x: 4 < 4x, x > 1. Итак, x < 0 или x > 1.
в) 4/x > 2. При x < 0 дробь отрицательна и неравенство неверно. При x > 0: 4 > 2x, x < 2. Итак, 0 < x < 2.
Ответ: а) 0,5 и −0,5; б) x < 0 или x > 1; в) 0 < x < 2.
б) 4/x < 4. При x < 0 дробь отрицательна, поэтому неравенство верно. При x > 0 умножим обе части на x: 4 < 4x, x > 1. Итак, x < 0 или x > 1.
в) 4/x > 2. При x < 0 дробь отрицательна и неравенство неверно. При x > 0: 4 > 2x, x < 2. Итак, 0 < x < 2.
Ответ: а) 0,5 и −0,5; б) x < 0 или x > 1; в) 0 < x < 2.
1134. Является ли возрастающей или убывающей функция: а) y = 5x + √x; б) y = −x + √(−x); в) y = x² + √x?
а) Область определения [0; +∞). Пусть 0 ≤ x₁ < x₂. Тогда 5x₁ < 5x₂ и √x₁ < √x₂, значит, y(x₁) < y(x₂). Функция возрастающая.
б) Область определения (−∞; 0]. Пусть x₁ < x₂ ≤ 0. Тогда −x₁ > −x₂ ≥ 0 и √(−x₁) > √(−x₂), поэтому y(x₁) = −x₁ + √(−x₁) > −x₂ + √(−x₂) = y(x₂). Функция убывающая.
в) Область определения [0; +∞). Пусть 0 ≤ x₁ < x₂. Тогда x₁² < x₂² и √x₁ < √x₂, значит, y(x₁) < y(x₂). Функция возрастающая.
Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) возрастающая.
б) Область определения (−∞; 0]. Пусть x₁ < x₂ ≤ 0. Тогда −x₁ > −x₂ ≥ 0 и √(−x₁) > √(−x₂), поэтому y(x₁) = −x₁ + √(−x₁) > −x₂ + √(−x₂) = y(x₂). Функция убывающая.
в) Область определения [0; +∞). Пусть 0 ≤ x₁ < x₂. Тогда x₁² < x₂² и √x₁ < √x₂, значит, y(x₁) < y(x₂). Функция возрастающая.
Ответ: а) возрастающая; б) убывающая; в) возрастающая.
1135. Решите систему неравенств [система: (x + 1)/10 − x/6 ≤ x/10 + (1 − x)/30; x/3 − (x + 5)/12 < x/4 − (x − 5)/24].
Первое неравенство: умножим на 30: 3(x + 1) − 5x ≤ 3x + (1 − x), 3 − 2x ≤ 2x + 1, 2 ≤ 4x, x ≥ 0,5.
Второе неравенство: умножим на 24: 8x − 2(x + 5) < 6x − (x − 5), 6x − 10 < 5x + 5, x < 15.
Общее решение: 0,5 ≤ x < 15.
Ответ: [0,5; 15).
Оговорка: в ответах учебника напечатано «1035. (15; +∞)» (номер, очевидно, опечатан); при условии, как оно напечатано в задаче, получается [0,5; 15), перепроверено дважды.
Второе неравенство: умножим на 24: 8x − 2(x + 5) < 6x − (x − 5), 6x − 10 < 5x + 5, x < 15.
Общее решение: 0,5 ≤ x < 15.
Ответ: [0,5; 15).
Оговорка: в ответах учебника напечатано «1035. (15; +∞)» (номер, очевидно, опечатан); при условии, как оно напечатано в задаче, получается [0,5; 15), перепроверено дважды.