Глава V. §14. п.44 Свойства линейной функции — с. 251
1118. Функция задана формулой f(x) = 13x − 78. При каких значениях x: а) f(x) = 0; б) f(x) > 0; в) f(x) < 0?
Является ли функция возрастающей или убывающей?
а) 13x − 78 = 0, 13x = 78, x = 6.
б) 13x − 78 > 0, 13x > 78, x > 6.
в) 13x − 78 < 0, x < 6.
Коэффициент k = 13 > 0, поэтому функция возрастающая.
Ответ: а) x = 6; б) x > 6; в) x < 6; функция возрастающая.
б) 13x − 78 > 0, 13x > 78, x > 6.
в) 13x − 78 < 0, x < 6.
Коэффициент k = 13 > 0, поэтому функция возрастающая.
Ответ: а) x = 6; б) x > 6; в) x < 6; функция возрастающая.
1119. На рисунке 69 изображён график линейной функции y = f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции верны?
В ответе запишите их номера.
1) Функция является убывающей.
2) x = −4 — нуль функции.
3) f(2) = 0.
4) На промежутке (−∞; −4) функция принимает отрицательные значения.
[рисунок 69: прямая, проходящая через точки (−4; 0) и (0; 2)]
1) Функция является убывающей.
2) x = −4 — нуль функции.
3) f(2) = 0.
4) На промежутке (−∞; −4) функция принимает отрицательные значения.
[рисунок 69: прямая, проходящая через точки (−4; 0) и (0; 2)]
По клеткам сетки прямая проходит через точки (−4; 0) и (0; 2), значит, f(x) = 0,5x + 2.
1) Угловой коэффициент 0,5 > 0, функция возрастающая — утверждение неверно.
2) f(−4) = −2 + 2 = 0 — верно.
3) f(2) = 1 + 2 = 3 ≠ 0 — неверно.
4) Функция возрастает и f(−4) = 0, поэтому при x < −4 значения меньше нуля — верно.
Ответ: 2, 4.
1) Угловой коэффициент 0,5 > 0, функция возрастающая — утверждение неверно.
2) f(−4) = −2 + 2 = 0 — верно.
3) f(2) = 1 + 2 = 3 ≠ 0 — неверно.
4) Функция возрастает и f(−4) = 0, поэтому при x < −4 значения меньше нуля — верно.
Ответ: 2, 4.
1120. Функция задана формулой f(x) = −1,5x + 6. При каких значениях x выполняются условия 0 ≤ f(x) ≤ 3?
Получите ответ алгебраическим способом и проиллюстрируйте на графике.
Подставим формулу в двойное неравенство: 0 ≤ −1,5x + 6 ≤ 3. Вычтем 6 из всех частей: −6 ≤ −1,5x ≤ −3. Разделим на −1,5 и изменим знаки неравенств на противоположные: 4 ≥ x ≥ 2, то есть 2 ≤ x ≤ 4.
Иллюстрация: график функции — прямая через точки (0; 6) и (4; 0). Условию 0 ≤ y ≤ 3 соответствует часть прямой между точками (4; 0) и (2; 3. (красная); соответствующие значения x лежат на отрезке [2; 4] оси x.
Ответ: при 2 ≤ x ≤ 4.
Иллюстрация: график функции — прямая через точки (0; 6) и (4; 0). Условию 0 ≤ y ≤ 3 соответствует часть прямой между точками (4; 0) и (2; 3. (красная); соответствующие значения x лежат на отрезке [2; 4] оси x.
Ответ: при 2 ≤ x ≤ 4.
1121. Линейная функция задана формулой y = kx + 10, где k — некоторое число. В каких координатных четвертях расположен график этой функции, если известно, что: а) k > 0; б) k < 0; в) k = 0?
График при любом k проходит через точку (0; 10) на положительной полуоси y. Нуль функции x = −10/k.
а) k > 0: функция возрастающая, нуль отрицателен. При x > 0 имеем y > 10 > 0 (I четверть); при −10/k < x < 0 имеем y > 0 при x < 0 (II четверть); при x < −10/k имеем y < 0 (III четверть). Прямая в I, II и III четвертях.
б) k < 0: функция убывающая, нуль положителен. При x < 0 имеем y > 10 (II четверть); при 0 < x < −10/k имеем y > 0 (I четверть); при x > −10/k имеем y < 0 (IV четверть). Прямая в I, II и IV четвертях.
в) k = 0: y = 10 — прямая, параллельная оси x и лежащая выше неё, значит, в I и II четвертях.
Ответ: а) I, II, III; б) I, II, IV; в) I и II.
а) k > 0: функция возрастающая, нуль отрицателен. При x > 0 имеем y > 10 > 0 (I четверть); при −10/k < x < 0 имеем y > 0 при x < 0 (II четверть); при x < −10/k имеем y < 0 (III четверть). Прямая в I, II и III четвертях.
б) k < 0: функция убывающая, нуль положителен. При x < 0 имеем y > 10 (II четверть); при 0 < x < −10/k имеем y > 0 (I четверть); при x > −10/k имеем y < 0 (IV четверть). Прямая в I, II и IV четвертях.
в) k = 0: y = 10 — прямая, параллельная оси x и лежащая выше неё, значит, в I и II четвертях.
Ответ: а) I, II, III; б) I, II, IV; в) I и II.
1122. Функция задана формулой y = kx + b, где k и b — некоторые числа. Покажите схематически, как располагается график в координатной плоскости, если:
а) k > 0, b > 0; г) k < 0, b < 0;
б) k < 0, b > 0; д) k = 0, b < 0.
в) k < 0, b = 0;
а) k > 0, b > 0; г) k < 0, b < 0;
б) k < 0, b > 0; д) k = 0, b < 0.
в) k < 0, b = 0;
Число b — ордината точки пересечения графика с осью y; знак k показывает направление: при k > 0 прямая идёт вверх, при k < 0 — вниз, при k = 0 она горизонтальна.
а) Возрастающая прямая пересекает ось y выше начала координат; проходит через I, II и III четверти.
б) Убывающая прямая пересекает ось y выше начала координат; проходит через I, II и IV четверти.
в) Убывающая прямая проходит через начало координат; находится во II и IV четвертях.
г) Убывающая прямая пересекает ось y ниже начала координат; проходит через II, III и IV четверти.
д) Горизонтальная прямая y = b ниже оси x; находится в III и IV четвертях.
Рисунки показаны схематически.
а) Возрастающая прямая пересекает ось y выше начала координат; проходит через I, II и III четверти.
б) Убывающая прямая пересекает ось y выше начала координат; проходит через I, II и IV четверти.
в) Убывающая прямая проходит через начало координат; находится во II и IV четвертях.
г) Убывающая прямая пересекает ось y ниже начала координат; проходит через II, III и IV четверти.
д) Горизонтальная прямая y = b ниже оси x; находится в III и IV четвертях.
Рисунки показаны схематически.
1123. Решите уравнение: а) 0,6x² − 3,6x = 0; б) c² − 5 = 0; в) 2x² + 17x = 0; г) 0,5x² + 9 = 0.
а) 0,6x(x − 6) = 0, x = 0 или x = 6.
б) c² = 5, c = √5 или c = −√5.
в) x(2x + 17) = 0, x = 0 или 2x = −17, x = −8,5.
г) 0,5x² = −9, x² = −18 — уравнение не имеет корней, так как квадрат числа неотрицателен.
Ответ: а) 0; 6; б) −√5; √5; в) −8,5; 0; г) корней нет.
б) c² = 5, c = √5 или c = −√5.
в) x(2x + 17) = 0, x = 0 или 2x = −17, x = −8,5.
г) 0,5x² = −9, x² = −18 — уравнение не имеет корней, так как квадрат числа неотрицателен.
Ответ: а) 0; 6; б) −√5; √5; в) −8,5; 0; г) корней нет.
1124. Сравните g(2) и g(−2), если: а) g(x) = 1/(x² + 5); б) g(x) = x/(x² + 5); в) g(x) = −x/(x² + 5).
Знаменатель при x = 2 и x = −2 одинаков: 2² + 5 = (−2)² + 5 = 9.
а) g(2) = 1/9, g(−2) = 1/9; g(2) = g(−2).
б) g(2) = 2/9, g(−2) = −2/9; g(2) > g(−2).
в) g(2) = −2/9, g(−2) = 2/9; g(2) < g(−2).
а) g(2) = 1/9, g(−2) = 1/9; g(2) = g(−2).
б) g(2) = 2/9, g(−2) = −2/9; g(2) > g(−2).
в) g(2) = −2/9, g(−2) = 2/9; g(2) < g(−2).
1125. Разложите на множители многочлен: а) 4x − x³; б) a^4 − 169a²; в) c³ − 8c² + 16c.
а) 4x − x³ = x(4 − x²) = x(2 − x)(2 + x).
б) a⁴ − 169a² = a²(a² − 169) = a²(a − 13)(a + 13).
в) c³ − 8c² + 16c = c(c² − 8c + 16) = c(c − 4)².
Оговорка: в пункте б) показатель первого слагаемого на скане читается неотчётливо (похож на 1); принято a⁴. Если бы было a¹, получилось бы a − 169a² = a(1 − 169a).
б) a⁴ − 169a² = a²(a² − 169) = a²(a − 13)(a + 13).
в) c³ − 8c² + 16c = c(c² − 8c + 16) = c(c − 4)².
Оговорка: в пункте б) показатель первого слагаемого на скане читается неотчётливо (похож на 1); принято a⁴. Если бы было a¹, получилось бы a − 169a² = a(1 − 169a).