Глава V. §14. п.44 Свойства линейной функции — с. 250
1114. Постройте график функции и перечислите её свойства: а) y = 1,5x − 3; б) y = −0,6x + 5.
График линейной функции — прямая, поэтому достаточно двух точек.
а) y = 1,5x − 3: при x = 0 y = −3; при x = 2 y = 0. Через точки (0; −3) и (2; 0) проводим прямую.
Свойства: 1. D(y) = R. 2. E(y) = R. 3. Нуль функции x = 2. 4) y > 0 при x > 2; y < 0 при x < 2. 5) k = 1,5 > 0, функция возрастает на всей числовой прямой.
б) y = −0,6x + 5: при x = 0 y = 5; при x = 5 y = 2; нуль: −0,6x + 5 = 0, x = 25/3 = 8 1/3. Через точки (0; 5) и (5; 2) проводим прямую.
Свойства: 1. D(y) = R. 2. E(y) = R. 3. Нуль функции x = 8 1/3. 4) y > 0 при x < 8 1/3; y < 0 при x > 8 1/3. 5) k = −0,6 < 0, функция убывает на всей числовой прямой.
Графики показаны на рисунке.
а) y = 1,5x − 3: при x = 0 y = −3; при x = 2 y = 0. Через точки (0; −3) и (2; 0) проводим прямую.
Свойства: 1. D(y) = R. 2. E(y) = R. 3. Нуль функции x = 2. 4) y > 0 при x > 2; y < 0 при x < 2. 5) k = 1,5 > 0, функция возрастает на всей числовой прямой.
б) y = −0,6x + 5: при x = 0 y = 5; при x = 5 y = 2; нуль: −0,6x + 5 = 0, x = 25/3 = 8 1/3. Через точки (0; 5) и (5; 2) проводим прямую.
Свойства: 1. D(y) = R. 2. E(y) = R. 3. Нуль функции x = 8 1/3. 4) y > 0 при x < 8 1/3; y < 0 при x > 8 1/3. 5) k = −0,6 < 0, функция убывает на всей числовой прямой.
Графики показаны на рисунке.
1115. Постройте график функции: а) y = 1,6x; б) y = −0,4x. Перечислите свойства функции y = kx при k > 0 и при k < 0.
График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат; вторую точку берём любую.
а) y = 1,6x: точки (0; 0) и (2,5; 4).
б) y = −0,4x: точки (0; 0) и (5; −2).
Свойства функции y = kx (k ≠ 0): D(y) = R, E(y) = R; единственный нуль x = 0; график проходит через начало координат.
При k > 0: функция возрастает на всей числовой прямой; y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; график лежит в I и III координатных четвертях.
При k < 0: функция убывает на всей числовой прямой; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; график лежит во II и IV координатных четвертях.
а) y = 1,6x: точки (0; 0) и (2,5; 4).
б) y = −0,4x: точки (0; 0) и (5; −2).
Свойства функции y = kx (k ≠ 0): D(y) = R, E(y) = R; единственный нуль x = 0; график проходит через начало координат.
При k > 0: функция возрастает на всей числовой прямой; y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; график лежит в I и III координатных четвертях.
При k < 0: функция убывает на всей числовой прямой; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; график лежит во II и IV координатных четвертях.
1116. При каких значениях x функция y = f(x) обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения, если: а) f(x) = −0,7x + 350; б) f(x) = 30x + 10?
Начертите схематически график функции и проиллюстрируйте на нём установленные свойства.
а) f(x) = 0: −0,7x + 350 = 0, 0,7x = 350, x = 500. f(x) > 0: −0,7x + 350 > 0, x < 500. f(x) < 0: x > 500. Так как k = −0,7 < 0, функция убывающая: график идёт сверху вниз, пересекает ось y в точке (0; 350) и ось x в точке (500; 0).
б) f(x) = 0: 30x + 10 = 0, x = −1/3. f(x) > 0: 30x + 10 > 0, x > −1/3. f(x) < 0: x < −1/3. Так как k = 30 > 0, функция возрастающая: график идёт снизу вверх, пересекает ось y в точке (0; 10) и ось x в точке (−1/3; 0).
На рисунке схематически (без масштаба) показаны графики; синяя часть оси x — значения x, при которых f(x) > 0, зелёная — при которых f(x) < 0.
Ответ: а) нуль 500; f(x) > 0 при x < 500; f(x) < 0 при x > 500; б) нуль −1/3; f(x) > 0 при x > −1/3; f(x) < 0 при x < −1/3.
б) f(x) = 0: 30x + 10 = 0, x = −1/3. f(x) > 0: 30x + 10 > 0, x > −1/3. f(x) < 0: x < −1/3. Так как k = 30 > 0, функция возрастающая: график идёт снизу вверх, пересекает ось y в точке (0; 10) и ось x в точке (−1/3; 0).
На рисунке схематически (без масштаба) показаны графики; синяя часть оси x — значения x, при которых f(x) > 0, зелёная — при которых f(x) < 0.
Ответ: а) нуль 500; f(x) > 0 при x < 500; f(x) < 0 при x > 500; б) нуль −1/3; f(x) > 0 при x > −1/3; f(x) < 0 при x < −1/3.
1117. Какие из линейных функций y = 8x − 5, y = −3x + 11, y = −49x − 100, y = x + 1, y = 1 − x являются: а) возрастающими; б) убывающими?
Линейная функция y = kx + b возрастает при k > 0 и убывает при k < 0.
y = 8x − 5: k = 8 > 0 — возрастающая.
y = −3x + 11: k = −3 < 0 — убывающая.
y = −49x − 100: k = −49 < 0 — убывающая.
y = x + 1: k = 1 > 0 — возрастающая.
y = 1 − x: k = −1 < 0 — убывающая.
Ответ: а) y = 8x − 5 и y = x + 1; б) y = −3x + 11, y = −49x − 100 и y = 1 − x.
y = 8x − 5: k = 8 > 0 — возрастающая.
y = −3x + 11: k = −3 < 0 — убывающая.
y = −49x − 100: k = −49 < 0 — убывающая.
y = x + 1: k = 1 > 0 — возрастающая.
y = 1 − x: k = −1 < 0 — убывающая.
Ответ: а) y = 8x − 5 и y = x + 1; б) y = −3x + 11, y = −49x − 100 и y = 1 − x.