Глава V. §13. п.43 Свойства функции — с. 248
1106. Найдите нули функции (если они существуют): а) y = −0,8x + 12; б) y = (3x − 10)(x + 6); в) y = (4 + 2x)/(x² + 5); г) y = 6/((x − 1)(x + 8)).
Нуль функции — значение x, при котором y = 0.
а) −0,8x + 12 = 0, 0,8x = 12, x = 15.
б) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 3x − 10 = 0, x = 10/3 = 3 1/3, или x + 6 = 0, x = −6.
в) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: 4 + 2x = 0, x = −2; знаменатель при x = −2 равен 4 + 5 = 9 ≠ 0 (он вообще никогда не обращается в нуль).
г) Числитель дроби равен 6 и в нуль не обращается, поэтому дробь не равна нулю ни при каком x. Нулей нет.
Ответ: а) 15; б) −6 и 3 1/3; в) −2; г) нулей нет.
Оговорка: в ответах учебника для пункта б) указано 3 1/2; перепроверено: из 3x − 10 = 0 следует x = 10/3 = 3 1/3.
а) −0,8x + 12 = 0, 0,8x = 12, x = 15.
б) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 3x − 10 = 0, x = 10/3 = 3 1/3, или x + 6 = 0, x = −6.
в) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: 4 + 2x = 0, x = −2; знаменатель при x = −2 равен 4 + 5 = 9 ≠ 0 (он вообще никогда не обращается в нуль).
г) Числитель дроби равен 6 и в нуль не обращается, поэтому дробь не равна нулю ни при каком x. Нулей нет.
Ответ: а) 15; б) −6 и 3 1/3; в) −2; г) нулей нет.
Оговорка: в ответах учебника для пункта б) указано 3 1/2; перепроверено: из 3x − 10 = 0 следует x = 10/3 = 3 1/3.
1107. Имеет ли нули функция: а) y = 2,1x − 70; б) y = 4x(x − 2); в) y = (6 − x)/x?
а) 2,1x − 70 = 0, x = 70 : 2,1 = 100/3 = 33 1/3. Нуль есть.
б) 4x(x − 2) = 0 при x = 0 и x = 2. Нули есть.
в) Функция определена при x ≠ 0; дробь равна нулю при 6 − x = 0, то есть x = 6 (знаменатель при этом равен 6 ≠ 0). Нуль есть.
Ответ: да, во всех случаях имеет: а) 33 1/3; б) 0 и 2; в) 6.
б) 4x(x − 2) = 0 при x = 0 и x = 2. Нули есть.
в) Функция определена при x ≠ 0; дробь равна нулю при 6 − x = 0, то есть x = 6 (знаменатель при этом равен 6 ≠ 0). Нуль есть.
Ответ: да, во всех случаях имеет: а) 33 1/3; б) 0 и 2; в) 6.
1108. Укажите область определения и найдите нули функции: а) y = (x − √(x + 6))/(x + 5); б) y = (4x² + 25x)/(2x − √(10 − 6x)).
а) Условия определённости: x + 6 ≥ 0, то есть x ≥ −6, и x + 5 ≠ 0, то есть x ≠ −5. Область определения: [−6; −5) ∪ (−5; +∞).
Нули: x − √(x + 6) = 0, √(x + 6) = x. Нужно x ≥ 0; возведём в квадрат: x + 6 = x², x² − x − 6 = 0, откуда x = 3 или x = −2. Число −2 не подходит (x ≥ 0), число 3 входит в область определения. Нуль функции: 3.
б) Условия определённости: 10 − 6x ≥ 0, то есть x ≤ 5/3, и 2x − √(10 − 6x) ≠ 0. Решим уравнение 2x = √(10 − 6x): x ≥ 0, 4x² = 10 − 6x, 2x² + 3x − 5 = 0, D = 9 + 40 = 49, x = (−3 ± 7)/4, x = 1 или x = −2,5; подходит x = 1 (x ≥ 0). Значит, x ≠ 1. Область определения: (−∞; 1) ∪ (1; 5/3].
Нули: 4x² + 25x = 0, x(4x + 25) = 0, x = 0 или x = −6,25. Оба числа входят в область определения (меньше 5/3 и не равны 1).
Ответ: а) D(y) = [−6; −5) ∪ (−5; +∞), нуль 3; б) D(y) = (−∞; 1) ∪ (1; 5/3], нули 0 и −6,25.
Нули: x − √(x + 6) = 0, √(x + 6) = x. Нужно x ≥ 0; возведём в квадрат: x + 6 = x², x² − x − 6 = 0, откуда x = 3 или x = −2. Число −2 не подходит (x ≥ 0), число 3 входит в область определения. Нуль функции: 3.
б) Условия определённости: 10 − 6x ≥ 0, то есть x ≤ 5/3, и 2x − √(10 − 6x) ≠ 0. Решим уравнение 2x = √(10 − 6x): x ≥ 0, 4x² = 10 − 6x, 2x² + 3x − 5 = 0, D = 9 + 40 = 49, x = (−3 ± 7)/4, x = 1 или x = −2,5; подходит x = 1 (x ≥ 0). Значит, x ≠ 1. Область определения: (−∞; 1) ∪ (1; 5/3].
Нули: 4x² + 25x = 0, x(4x + 25) = 0, x = 0 или x = −6,25. Оба числа входят в область определения (меньше 5/3 и не равны 1).
Ответ: а) D(y) = [−6; −5) ∪ (−5; +∞), нуль 3; б) D(y) = (−∞; 1) ∪ (1; 5/3], нули 0 и −6,25.
1109. Выясните, пересекаются ли прямая и гипербола. Если да, то найдите точки пересечения.
а) прямая y = x + 1 и гипербола y = 2/x;
б) прямая y = −2x − 2 и гипербола y = 1/x.
а) прямая y = x + 1 и гипербола y = 2/x;
б) прямая y = −2x − 2 и гипербола y = 1/x.
Абсциссы точек пересечения — решения уравнения, полученного приравниванием правых частей (при x ≠ 0).
а) x + 1 = 2/x, умножим на x: x² + x = 2, x² + x − 2 = 0, по теореме Виета x = −2 или x = 1. Тогда y = x + 1: при x = −2 y = −1, при x = 1 y = 2. Точки пересечения: (−2; −1) и (1; 2). Проверка: 2/(−2) = −1, 2/1 = 2.
б) −2x − 2 = 1/x, умножим на x: −2x² − 2x = 1, 2x² + 2x + 1 = 0, D = 4 − 8 = −4 < 0. Корней нет, значит, прямая и гипербола не пересекаются.
Ответ: а) пересекаются в точках (−2; −1) и (1; 2); б) не пересекаются.
Оговорка: в ответах учебника для пункта а) указана точка (−2; 1); перепроверено: при x = −2 получаем y = x + 1 = −1 и y = 2/x = −1.
а) x + 1 = 2/x, умножим на x: x² + x = 2, x² + x − 2 = 0, по теореме Виета x = −2 или x = 1. Тогда y = x + 1: при x = −2 y = −1, при x = 1 y = 2. Точки пересечения: (−2; −1) и (1; 2). Проверка: 2/(−2) = −1, 2/1 = 2.
б) −2x − 2 = 1/x, умножим на x: −2x² − 2x = 1, 2x² + 2x + 1 = 0, D = 4 − 8 = −4 < 0. Корней нет, значит, прямая и гипербола не пересекаются.
Ответ: а) пересекаются в точках (−2; −1) и (1; 2); б) не пересекаются.
Оговорка: в ответах учебника для пункта а) указана точка (−2; 1); перепроверено: при x = −2 получаем y = x + 1 = −1 и y = 2/x = −1.
1110. Найдите, при каких значениях x значения функции y = 2x − 3 удовлетворяют неравенству −3 < y ≤ 5.
Подставим y = 2x − 3: −3 < 2x − 3 ≤ 5. Прибавим 3 ко всем частям: 0 < 2x ≤ 8. Разделим на 2: 0 < x ≤ 4.
Ответ: при 0 < x ≤ 4, то есть x ∈ (0; 4].
Ответ: при 0 < x ≤ 4, то есть x ∈ (0; 4].
1111. Докажите тождество:
а) ((a + 1)/(a² + 1 − 2a) + 1/(a − 1)) · (a − 1)/a − 2/(a − 1) = 0;
б) ((1 + x)/(x² − xy) − (1 − y)/(y² − xy)) · (x²y − y²x)/(x + y) = 1;
в) 3a(1/(a − c) − c/(a³ − c³) · (a² + c² + ac)/(a + c)) − 3c²/(a² − c²) = 3.
а) ((a + 1)/(a² + 1 − 2a) + 1/(a − 1)) · (a − 1)/a − 2/(a − 1) = 0;
б) ((1 + x)/(x² − xy) − (1 − y)/(y² − xy)) · (x²y − y²x)/(x + y) = 1;
в) 3a(1/(a − c) − c/(a³ − c³) · (a² + c² + ac)/(a + c)) − 3c²/(a² − c²) = 3.
а) a² + 1 − 2a = (a − 1)². В скобках: (a + 1)/(a − 1)² + 1/(a − 1) = (a + 1 + a − 1)/(a − 1)² = 2a/(a − 1)². Умножим на (a − 1)/a: 2a(a − 1)/((a − 1)² · a) = 2/(a − 1). Тогда 2/(a − 1) − 2/(a − 1) = 0. Левая часть равна правой, тождество доказано.
б) x² − xy = x(x − y), y² − xy = −y(x − y). В скобках: (1 + x)/(x(x − y)) + (1 − y)/(y(x − y)) = (y(1 + x) + x(1 − y))/(xy(x − y)) = (y + xy + x − xy)/(xy(x − y)) = (x + y)/(xy(x − y)). Второй множитель: x²y − y²x = xy(x − y). Произведение: (x + y)/(xy(x − y)) · xy(x − y)/(x + y) = 1. Тождество доказано.
в) a³ − c³ = (a − c)(a² + ac + c²), поэтому c/(a³ − c³) · (a² + c² + ac)/(a + c) = c/((a − c)(a + c)). В скобках: 1/(a − c) − c/((a − c)(a + c)) = (a + c − c)/((a − c)(a + c)) = a/(a² − c²). Далее 3a · a/(a² − c²) − 3c²/(a² − c²) = (3a² − 3c²)/(a² − c²) = 3(a² − c²)/(a² − c²) = 3. Тождество доказано.
б) x² − xy = x(x − y), y² − xy = −y(x − y). В скобках: (1 + x)/(x(x − y)) + (1 − y)/(y(x − y)) = (y(1 + x) + x(1 − y))/(xy(x − y)) = (y + xy + x − xy)/(xy(x − y)) = (x + y)/(xy(x − y)). Второй множитель: x²y − y²x = xy(x − y). Произведение: (x + y)/(xy(x − y)) · xy(x − y)/(x + y) = 1. Тождество доказано.
в) a³ − c³ = (a − c)(a² + ac + c²), поэтому c/(a³ − c³) · (a² + c² + ac)/(a + c) = c/((a − c)(a + c)). В скобках: 1/(a − c) − c/((a − c)(a + c)) = (a + c − c)/((a − c)(a + c)) = a/(a² − c²). Далее 3a · a/(a² − c²) − 3c²/(a² − c²) = (3a² − 3c²)/(a² − c²) = 3(a² − c²)/(a² − c²) = 3. Тождество доказано.
1112. Найдите значение выражения (9 − 4a²)(4a/(2a − 3) − 1) при a = −1,2.
Упростим: 9 − 4a² = (3 − 2a)(3 + 2a) = −(2a − 3)(2a + 3). Выражение в скобках: 4a/(2a − 3) − 1 = (4a − 2a + 3)/(2a − 3) = (2a + 3)/(2a − 3).
Произведение: −(2a − 3)(2a + 3) · (2a + 3)/(2a − 3) = −(2a + 3)².
При a = −1,2: 2a + 3 = −2,4 + 3 = 0,6, значит, −(0,6)² = −0,36.
Ответ: −0,36.
Произведение: −(2a − 3)(2a + 3) · (2a + 3)/(2a − 3) = −(2a + 3)².
При a = −1,2: 2a + 3 = −2,4 + 3 = 0,6, значит, −(0,6)² = −0,36.
Ответ: −0,36.
1113. Сравните числа: а) 5/7 и 4/9; б) 38/39 и 11/12; в) 3,12 и 3 1/8; г) 17,2(7) и 17,27.
а) Приведём к общему знаменателю 63: 5/7 = 45/63, 4/9 = 28/63. Так как 45 > 28, то 5/7 > 4/9.
б) 38/39 = 1 − 1/39, 11/12 = 1 − 1/12. Поскольку 1/39 < 1/12, вычитаем меньшее число, поэтому 38/39 > 11/12.
в) 3 1/8 = 3,125. Так как 3,12 < 3,125, то 3,12 < 3 1/8.
г) 17,2(7) = 17,2777… Сравним с 17,27 = 17,2700…: на третьем знаке после запятой 7 > 0, поэтому 17,2(7) > 17,27.
Ответ: а) 5/7 > 4/9; б) 38/39 > 11/12; в) 3,12 < 3 1/8; г) 17,2(7) > 17,27.
б) 38/39 = 1 − 1/39, 11/12 = 1 − 1/12. Поскольку 1/39 < 1/12, вычитаем меньшее число, поэтому 38/39 > 11/12.
в) 3 1/8 = 3,125. Так как 3,12 < 3,125, то 3,12 < 3 1/8.
г) 17,2(7) = 17,2777… Сравним с 17,27 = 17,2700…: на третьем знаке после запятой 7 > 0, поэтому 17,2(7) > 17,27.
Ответ: а) 5/7 > 4/9; б) 38/39 > 11/12; в) 3,12 < 3 1/8; г) 17,2(7) > 17,27.