Глава V. §13. п.43 Свойства функции — с. 247
1102. На рисунке 66 изображён график функции y = g(x), где −10 ≤ x ≤ 10. Сколько нулей имеет функция?
Укажите:
а) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;
б) промежутки, на которых функция убывает.
[рисунок 66: график y = g(x) на [−10; 10] через точки (−10; −8), (−5; 4), (0; −7), (6; 6), (10; −5)]
а) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;
б) промежутки, на которых функция убывает.
[рисунок 66: график y = g(x) на [−10; 10] через точки (−10; −8), (−5; 4), (0; −7), (6; 6), (10; −5)]
График пересекает ось x в точках с абсциссами −8, −3, 4 и 8, поэтому функция имеет 4 нуля.
а) График лежит ниже оси x на промежутках [−10; −8), (−3; 4) и (8; 10].
б) Функция убывает там, где график идёт вниз слева направо: на промежутках [−5; 0] и [6; 10] (на [−10; −5] и [0; 6] она возрастает).
Ответ: 4 нуля; а) [−10; −8), (−3; 4), (8; 10]; б) [−5; 0], [6; 10].
а) График лежит ниже оси x на промежутках [−10; −8), (−3; 4) и (8; 10].
б) Функция убывает там, где график идёт вниз слева направо: на промежутках [−5; 0] и [6; 10] (на [−10; −5] и [0; 6] она возрастает).
Ответ: 4 нуля; а) [−10; −8), (−3; 4), (8; 10]; б) [−5; 0], [6; 10].
1103. Для функции y = f(x), график которой изображён на рисунке 67, укажите:
1) D(f); 2. E(f); 3) нули функции;
4) промежутки знакопостоянства;
5) промежутки монотонности;
6) f(−3) и f(1).
[рисунок 67: три графика а), б), в)]
1) D(f); 2. E(f); 3) нули функции;
4) промежутки знакопостоянства;
5) промежутки монотонности;
6) f(−3) и f(1).
[рисунок 67: три графика а), б), в)]
Значения считываем по клеткам сетки (клетка равна единице).
График а): ломаная-кривая от точки (−6; −3) вверх до точки (−2; 6), затем вниз до точки (4; −6) и вверх до точки (6; −5).
1) D(f) = [−6; 6]. 2. E(f) = [−6; 6]. 3. Нули: −5 и 1.
4) f(x) > 0 на (−5; 1); f(x) < 0 на [−6; −5) и (1; 6].
5) Возрастает на [−6; −2] и [4; 6]; убывает на [−2; 4].
6) f(−3) = 5, f(1) = 0.
График б): от точки (−6; 2) вверх до точки (−4; 6), вниз до точки (−1; −4), вверх до точки (3; 3) и вниз до точки (5; −3).
1) D(f) = [−6; 5]. 2. E(f) = [−4; 6]. 3. Нули: −3, 2 и 4.
4) f(x) > 0 на [−6; −3) и (2; 4); f(x) < 0 на (−3; 2) и (4; 5].
5) Возрастает на [−6; −4] и [−1; 3]; убывает на [−4; −1] и [3; 5].
6) f(−3) = 0, f(1) = −2.
График в): от точки (−6; −5) вверх до точки (−3; 3), вниз до точки (0; −2), затем отрезком вверх до точки (6; 4).
1) D(f) = [−6; 6]. 2. E(f) = [−5; 4]. 3. Нули: −5, −1 и 2.
4) f(x) > 0 на (−5; −1) и (2; 6]; f(x) < 0 на [−6; −5) и (−1; 2).
5) Возрастает на [−6; −3] и [0; 6]; убывает на [−3; 0].
6) f(−3) = 3, f(1) = −1.
Оговорка: координаты точек и значения f(1) для графика б) считаны с рисунка по клеткам сетки, поэтому нули и границы промежутков монотонности — целые значения, наиболее близкие к рисунку.
График а): ломаная-кривая от точки (−6; −3) вверх до точки (−2; 6), затем вниз до точки (4; −6) и вверх до точки (6; −5).
1) D(f) = [−6; 6]. 2. E(f) = [−6; 6]. 3. Нули: −5 и 1.
4) f(x) > 0 на (−5; 1); f(x) < 0 на [−6; −5) и (1; 6].
5) Возрастает на [−6; −2] и [4; 6]; убывает на [−2; 4].
6) f(−3) = 5, f(1) = 0.
График б): от точки (−6; 2) вверх до точки (−4; 6), вниз до точки (−1; −4), вверх до точки (3; 3) и вниз до точки (5; −3).
1) D(f) = [−6; 5]. 2. E(f) = [−4; 6]. 3. Нули: −3, 2 и 4.
4) f(x) > 0 на [−6; −3) и (2; 4); f(x) < 0 на (−3; 2) и (4; 5].
5) Возрастает на [−6; −4] и [−1; 3]; убывает на [−4; −1] и [3; 5].
6) f(−3) = 0, f(1) = −2.
График в): от точки (−6; −5) вверх до точки (−3; 3), вниз до точки (0; −2), затем отрезком вверх до точки (6; 4).
1) D(f) = [−6; 6]. 2. E(f) = [−5; 4]. 3. Нули: −5, −1 и 2.
4) f(x) > 0 на (−5; −1) и (2; 6]; f(x) < 0 на [−6; −5) и (−1; 2).
5) Возрастает на [−6; −3] и [0; 6]; убывает на [−3; 0].
6) f(−3) = 3, f(1) = −1.
Оговорка: координаты точек и значения f(1) для графика б) считаны с рисунка по клеткам сетки, поэтому нули и границы промежутков монотонности — целые значения, наиболее близкие к рисунку.
1104. Начертите график какой-либо функции с областью определения [−3; 4] так, чтобы эта функция:
а) возрастала на промежутке [−3; 0] и убывала на промежутке [0; 4];
б) убывала на промежутке [−3; 1] и возрастала на промежутке [1; 4].
а) возрастала на промежутке [−3; 0] и убывала на промежутке [0; 4];
б) убывала на промежутке [−3; 1] и возрастала на промежутке [1; 4].
Подходит любой график, имеющий нужный вид; приведём примеры.
а) y = 3,5 − x²/4, где −3 ≤ x ≤ 4. Это часть параболы с вершиной (0; 3,5) и ветвями вниз: при движении от x = −3 к x = 0 значения растут (от 1,25 до 3,5), а от x = 0 к x = 4 — убывают (от 3,5 до −0,5).
б) y = (x − 1)²/4 − 1, где −3 ≤ x ≤ 4. Это часть параболы с вершиной (1; −1) и ветвями вверх: на [−3; 1] значения убывают (от 3 до −1), на [1; 4] — возрастают (от −1 до 1,25).
Графики показаны на рисунке.
а) y = 3,5 − x²/4, где −3 ≤ x ≤ 4. Это часть параболы с вершиной (0; 3,5) и ветвями вниз: при движении от x = −3 к x = 0 значения растут (от 1,25 до 3,5), а от x = 0 к x = 4 — убывают (от 3,5 до −0,5).
б) y = (x − 1)²/4 − 1, где −3 ≤ x ≤ 4. Это часть параболы с вершиной (1; −1) и ветвями вверх: на [−3; 1] значения убывают (от 3 до −1), на [1; 4] — возрастают (от −1 до 1,25).
Графики показаны на рисунке.
1105. Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой служат числа:
а) −3 и 3; б) −4, 0 и 2; в) −3, 2, 1 и 5.
а) −3 и 3; б) −4, 0 и 2; в) −3, 2, 1 и 5.
Нуль функции — это абсцисса точки пересечения графика с осью x. Поэтому график должен пересекать (или касаться) ось x ровно в указанных точках и не иметь других общих точек с этой осью.
а) y = (x² − 9)/3 = (x − 3)(x + 3)/3: парабола, пересекающая ось x в точках −3 и 3.
б) ломаная через точки (−5; −2), (−4; 0), (−2; 2), (0; 0), (1; −1), (2; 0), (3; 2): она пересекает ось x в точках −4, 0 и 2.
в) ломаная через точки (−4; −1), (−3; 0), (−1; 2), (1; 0), (1,5; −1), (2; 0), (3,5; 2), (5; 0), (6; −1): она пересекает ось x в точках −3, 1, 2 и 5.
Графики показаны на рисунке (нули отмечены точками).
а) y = (x² − 9)/3 = (x − 3)(x + 3)/3: парабола, пересекающая ось x в точках −3 и 3.
б) ломаная через точки (−5; −2), (−4; 0), (−2; 2), (0; 0), (1; −1), (2; 0), (3; 2): она пересекает ось x в точках −4, 0 и 2.
в) ломаная через точки (−4; −1), (−3; 0), (−1; 2), (1; 0), (1,5; −1), (2; 0), (3,5; 2), (5; 0), (6; −1): она пересекает ось x в точках −3, 1, 2 и 5.
Графики показаны на рисунке (нули отмечены точками).