Глава V. §13. п.43 Свойства функции — с. 246
1098. На рисунке 62 изображён график температуры воды в сосуде. Опишите, как изменялась температура, и укажите промежуток времени, в течение которого проводилось наблюдение. Каково было наибольшее значение температуры?
[рисунок 62: график T (°C) от t (мин): начинается в точке (0; 20), быстро растёт, достигает наибольшего значения около 100 °C, затем медленно убывает до 70 °C]
[рисунок 62: график T (°C) от t (мин): начинается в точке (0; 20), быстро растёт, достигает наибольшего значения около 100 °C, затем медленно убывает до 70 °C]
Одна клетка сетки по горизонтали — 2 мин, по вертикали — 10 °C.
График начинается в точке с t = 0, T = 20 °C и заканчивается в точке с t = 28 мин, T = 70 °C, поэтому наблюдение проводилось в течение 28 мин (промежуток от 0 до 28 мин).
Сначала температура росла: за первые 4 мин — с 20 °C примерно до 70 °C, затем рост замедлялся, и примерно к 12–14 мин температура достигла наибольшего значения 100 °C. После этого температура медленно убывала и к концу наблюдения стала равна 70 °C.
Ответ: наблюдение длилось 28 мин; температура росла от 20 °C до 100 °C, затем убывала до 70 °C; наибольшее значение — 100 °C.
Оговорка: моменты времени и значения температуры считаны с рисунка по клеткам сетки, поэтому время достижения максимума указано приближённо (12–14 мин).
График начинается в точке с t = 0, T = 20 °C и заканчивается в точке с t = 28 мин, T = 70 °C, поэтому наблюдение проводилось в течение 28 мин (промежуток от 0 до 28 мин).
Сначала температура росла: за первые 4 мин — с 20 °C примерно до 70 °C, затем рост замедлялся, и примерно к 12–14 мин температура достигла наибольшего значения 100 °C. После этого температура медленно убывала и к концу наблюдения стала равна 70 °C.
Ответ: наблюдение длилось 28 мин; температура росла от 20 °C до 100 °C, затем убывала до 70 °C; наибольшее значение — 100 °C.
Оговорка: моменты времени и значения температуры считаны с рисунка по клеткам сетки, поэтому время достижения максимума указано приближённо (12–14 мин).
1099. Кусок льда, имеющий температуру −5 °C, нагревали в течение 16 мин. Результат нагревания показан на графике (рис. 63). Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс на каждом из промежутков [0; 4], (4; 10), [10; 16]?
[рисунок 63: график T (°C) от t (мин): ломаная через точки (0; −5), (4; 0), (10; 0), (16; 3)]
[рисунок 63: график T (°C) от t (мин): ломаная через точки (0; −5), (4; 0), (10; 0), (16; 3)]
По графику: на [0; 4] температура растёт от −5 °C до 0 °C; на (4; 10) она равна 0 °C и не меняется; на [10; 16] растёт от 0 °C до 3 °C.
На промежутке [0; 4] лёд нагревается до температуры плавления 0 °C.
На промежутке (4; 10) лёд плавится: температура остаётся равной 0 °C, пока весь лёд не превратится в воду (подводимая теплота расходуется на плавление).
На промежутке [10; 16] нагревается образовавшаяся вода — от 0 °C до 3 °C.
На промежутке [0; 4] лёд нагревается до температуры плавления 0 °C.
На промежутке (4; 10) лёд плавится: температура остаётся равной 0 °C, пока весь лёд не превратится в воду (подводимая теплота расходуется на плавление).
На промежутке [10; 16] нагревается образовавшаяся вода — от 0 °C до 3 °C.
1100. (Для работы в парах.) На рисунке 64 изображён график функции y = f(x), где −7 ≤ x ≤ 5. Укажите:
а) нули функции;
б) промежутки, на которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);
в) промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых она убывает;
г) наибольшее и наименьшее значения функции.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
2) Объясните, как вы рассуждали при выполнении задания.
3) Исправьте допущенные ошибки, если они обнаружатся.
[рисунок 64: график y = f(x) на [−7; 5] через точки (−7; 6), (−4; −2), (−1; 4), (2; −4), (5; 2)]
а) нули функции;
б) промежутки, на которых функция принимает значения одного и того же знака (положительные или отрицательные);
в) промежутки, на которых функция возрастает, и промежутки, на которых она убывает;
г) наибольшее и наименьшее значения функции.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
2) Объясните, как вы рассуждали при выполнении задания.
3) Исправьте допущенные ошибки, если они обнаружатся.
[рисунок 64: график y = f(x) на [−7; 5] через точки (−7; 6), (−4; −2), (−1; 4), (2; −4), (5; 2)]
Одна клетка сетки равна единице по обеим осям. График начинается в точке (−7; 6), опускается до точки (−4; −2), поднимается до точки (−1; 4), опускается до точки (2; −4) и поднимается до точки (5; 2).
а) Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью x: −5, −3, 1 и 4.
б) График лежит выше оси x (f(x) > 0) на промежутках [−7; −5), (−3; 1), (4; 5]; ниже оси x (f(x) < 0) — на промежутках (−5; −3) и (1; 4).
в) Функция убывает на промежутках [−7; −4] и [−1; 2]; возрастает на промежутках [−4; −1] и [2; 5].
г) Наибольшее значение функции равно 6 (при x = −7), наименьшее равно −4 (при x = 2).
Рассуждение: для нулей ищем точки на оси x; для знака смотрим, где график выше или ниже оси; для монотонности — где при движении слева направо график идёт вверх или вниз; для наибольшего и наименьшего значений — самая высокая и самая низкая точки графика (локальный максимум 4 в точке x = −1 меньше значения 6 в начале графика, а локальный минимум −2 в точке x = −4 больше значения −4).
а) Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью x: −5, −3, 1 и 4.
б) График лежит выше оси x (f(x) > 0) на промежутках [−7; −5), (−3; 1), (4; 5]; ниже оси x (f(x) < 0) — на промежутках (−5; −3) и (1; 4).
в) Функция убывает на промежутках [−7; −4] и [−1; 2]; возрастает на промежутках [−4; −1] и [2; 5].
г) Наибольшее значение функции равно 6 (при x = −7), наименьшее равно −4 (при x = 2).
Рассуждение: для нулей ищем точки на оси x; для знака смотрим, где график выше или ниже оси; для монотонности — где при движении слева направо график идёт вверх или вниз; для наибольшего и наименьшего значений — самая высокая и самая низкая точки графика (локальный максимум 4 в точке x = −1 меньше значения 6 в начале графика, а локальный минимум −2 в точке x = −4 больше значения −4).
1101. Перечислите свойства функции y = g(x), где −5 ≤ x ≤ 5, график которой изображён на рисунке 65.
[рисунок 65: график y = g(x) на [−5; 5] через точки (−5; −4), (−3; 0), (0; 3), (2; 1), (5; 6)]
[рисунок 65: график y = g(x) на [−5; 5] через точки (−5; −4), (−3; 0), (0; 3), (2; 1), (5; 6)]
Читаем график (клетка равна единице): он идёт от точки (−5; −4) вверх до точки (0; 3), затем вниз до точки (2; 1), затем вверх до точки (5; 6).
1) Область определения: D(g) = [−5; 5].
2) Множество значений: E(g) = [−4; 6].
3) Нуль функции: x = −3 (единственная точка пересечения с осью x).
4) g(x) < 0 на промежутке [−5; −3); g(x) > 0 на промежутке (−3; 5].
5) Функция возрастает на промежутках [−5; 0] и [2; 5]; убывает на промежутке [0; 2].
6) Наибольшее значение равно 6 (при x = 5), наименьшее равно −4 (при x = −5).
7) g(0) = 3 — точка пересечения графика с осью y.
1) Область определения: D(g) = [−5; 5].
2) Множество значений: E(g) = [−4; 6].
3) Нуль функции: x = −3 (единственная точка пересечения с осью x).
4) g(x) < 0 на промежутке [−5; −3); g(x) > 0 на промежутке (−3; 5].
5) Функция возрастает на промежутках [−5; 0] и [2; 5]; убывает на промежутке [0; 2].
6) Наибольшее значение равно 6 (при x = 5), наименьшее равно −4 (при x = −5).
7) g(0) = 3 — точка пересечения графика с осью y.