Глава V. §13. п.42 Функция. Область определения и множество значений функции — с. 243
1093. Зависимость расстояния s (км), которое велосипедист проехал от турбазы, от времени его движения t (ч) задана следующим образом: s = 15t, если 0 ≤ t < 7/6; s = 17,5, если 7/6 ≤ t < 3/2; s = −12t + 35,5, если 3/2 < t ≤ 5/2. Найдите s(0); s(1); s(1,4); s(2). Постройте график функции s = f(t) (масштаб по оси t: 1 ед. — 6 клеточек; по оси s: 10 ед. — 4 клеточки). Опишите, как происходило движение велосипедиста.
Находим значения, выбирая нужную формулу.
s(0): 0 ≤ 0 < 7/6, s = 15 · 0 = 0.
s(1): 1 < 7/6, s = 15 · 1 = 15.
s(1,4): 7/6 ≈ 1,17 ≤ 1,4 < 3/2, поэтому s = 17,5.
s(2): 3/2 < 2 ≤ 5/2, s = −12 · 2 + 35,5 = 11,5.
График: первая часть — отрезок прямой s = 15t от (0; 0) до (7/6; 17,5) (15 · 7/6 = 17,5); вторая — горизонтальный отрезок на уровне 17,5 от t = 7/6 до t = 3/2; третья — отрезок прямой s = −12t + 35,5 от (3/2; 17,5) (−18 + 35,5 = 17,5) до (5/2; 5,5) (−30 + 35,5 = 5,5). Масштаб: по оси t одна клетка равна 1/6 ч, по оси s одна клетка равна 2,5 км.
Движение: первые 7/6 ч (1 ч 10 мин) велосипедист удалялся от турбазы со скоростью 15 км/ч и отъехал на 17,5 км; затем 20 минут (от 7/6 до 3/2 ч) стоял на месте; потом возвращался к турбазе со скоростью 12 км/ч и к моменту 5/2 ч (2 ч 30 мин) находился в 5,5 км от неё.
Ответ: s(0) = 0; s(1) = 15; s(1,4) = 17,5; s(2) = 11,5; график на рисунке.
s(0): 0 ≤ 0 < 7/6, s = 15 · 0 = 0.
s(1): 1 < 7/6, s = 15 · 1 = 15.
s(1,4): 7/6 ≈ 1,17 ≤ 1,4 < 3/2, поэтому s = 17,5.
s(2): 3/2 < 2 ≤ 5/2, s = −12 · 2 + 35,5 = 11,5.
График: первая часть — отрезок прямой s = 15t от (0; 0) до (7/6; 17,5) (15 · 7/6 = 17,5); вторая — горизонтальный отрезок на уровне 17,5 от t = 7/6 до t = 3/2; третья — отрезок прямой s = −12t + 35,5 от (3/2; 17,5) (−18 + 35,5 = 17,5) до (5/2; 5,5) (−30 + 35,5 = 5,5). Масштаб: по оси t одна клетка равна 1/6 ч, по оси s одна клетка равна 2,5 км.
Движение: первые 7/6 ч (1 ч 10 мин) велосипедист удалялся от турбазы со скоростью 15 км/ч и отъехал на 17,5 км; затем 20 минут (от 7/6 до 3/2 ч) стоял на месте; потом возвращался к турбазе со скоростью 12 км/ч и к моменту 5/2 ч (2 ч 30 мин) находился в 5,5 км от неё.
Ответ: s(0) = 0; s(1) = 15; s(1,4) = 17,5; s(2) = 11,5; график на рисунке.
1094. Решите уравнение: а) −0,5(3x − 4) + 15x = 4(1,5x + 1) + 3; б) (2x − 3)(2x + 3) − x² = 12x − 69 + 3x².
а) −1,5x + 2 + 15x = 6x + 4 + 3; 13,5x + 2 = 6x + 7; 7,5x = 5; x = 5/7,5 = 2/3.
б) 4x² − 9 − x² = 12x − 69 + 3x²; 3x² − 9 = 3x² + 12x − 69; −9 = 12x − 69; 12x = 60; x = 5.
Ответ: а) 2/3; б) 5.
б) 4x² − 9 − x² = 12x − 69 + 3x²; 3x² − 9 = 3x² + 12x − 69; −9 = 12x − 69; 12x = 60; x = 5.
Ответ: а) 2/3; б) 5.
1095. Решите неполное квадратное уравнение: а) 6x² − 3x = 0; б) x² + 9x = 0; в) x² − 36 = 0; г) 5x² + 1 = 0; д) 0,5x² − 1 = 0; е) 0,6x + 9x² = 0.
а) 3x(2x − 1) = 0; x = 0 или x = 1/2.
б) x(x + 9) = 0; x = 0 или x = −9.
в) x² = 36; x = 6 или x = −6.
г) 5x² = −1: квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.
д) 0,5x² = 1; x² = 2; x = √2 или x = −√2.
е) x(0,6 + 9x) = 0; x = 0 или 9x = −0,6, x = −0,6/9 = −1/15.
Ответ: а) 0; 1/2; б) 0; −9; в) ±6; г) корней нет; д) ±√2; е) 0; −1/15.
б) x(x + 9) = 0; x = 0 или x = −9.
в) x² = 36; x = 6 или x = −6.
г) 5x² = −1: квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.
д) 0,5x² = 1; x² = 2; x = √2 или x = −√2.
е) x(0,6 + 9x) = 0; x = 0 или 9x = −0,6, x = −0,6/9 = −1/15.
Ответ: а) 0; 1/2; б) 0; −9; в) ±6; г) корней нет; д) ±√2; е) 0; −1/15.
1096. Решите квадратное уравнение: а) x² + 7x + 12 = 0; б) x² − 2x − 35 = 0; в) 2x² − 5x − 3 = 0; г) 3x² − 8x + 5 = 0.
а) D = 49 − 48 = 1; x = (−7 ± 1)/2; x = −3 или x = −4.
б) D = 4 + 140 = 144; x = (2 ± 12)/2; x = 7 или x = −5.
в) D = 25 + 24 = 49; x = (5 ± 7)/4; x = 3 или x = −1/2.
г) D = 64 − 60 = 4; x = (8 ± 2)/6; x = 5/3 = 1 2/3 или x = 1.
Ответ: а) −3; −4; б) 7; −5; в) 3; −1/2; г) 1; 1 2/3.
б) D = 4 + 140 = 144; x = (2 ± 12)/2; x = 7 или x = −5.
в) D = 25 + 24 = 49; x = (5 ± 7)/4; x = 3 или x = −1/2.
г) D = 64 − 60 = 4; x = (8 ± 2)/6; x = 5/3 = 1 2/3 или x = 1.
Ответ: а) −3; −4; б) 7; −5; в) 3; −1/2; г) 1; 1 2/3.