Глава V. §13. п.42 Функция. Область определения и множество значений функции — с. 242
1091. На рисунке 57 изображён график изменения уровня воды в реке относительно нулевой отметки. Опишите, как происходило изменение уровня воды. [рисунок 57: график h (дм) в зависимости от времени t (дни), t от 0 до 12]
По графику видно: в начале наблюдения (t = 0) уровень воды был на нулевой отметке. Первые 2 дня он медленно повышался — до 1,5 дм. Затем от 2-го до 4-го дня подъём стал быстрым: к 4-му дню уровень достиг примерно 5,5 дм. Далее подъём замедлился, и примерно на 6-й день уровень достиг наибольшего значения — около 6 дм (чуть выше 6). После этого уровень воды начал медленно понижаться и к 12-му дню опустился примерно до 4 дм.
Ответ: уровень воды вначале повышался (сначала медленно, потом быстро, потом снова медленно) до максимума около 6 дм на 6-й день, а затем медленно понижался до 4 дм к концу наблюдений.
Оговорка: числовые значения сняты с графика приближённо.
Ответ: уровень воды вначале повышался (сначала медленно, потом быстро, потом снова медленно) до максимума около 6 дм на 6-й день, а затем медленно понижался до 4 дм к концу наблюдений.
Оговорка: числовые значения сняты с графика приближённо.
1092. (Задача-исследование.) Изменение температуры воды p (°C) в баке как функции времени t (мин) описано с помощью формулы: p = 2t + 20, если 0 ≤ t < 40; p = 100, если 40 ≤ t ≤ 60; p = −(2/3)t + 140, если 60 < t ≤ 150. 1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени. 2) Постройте график функции p = f(t). 3) Обсудите, какой физический смысл имеет процесс, описанный функцией p = f(t), в каждом из промежутков времени [0; 40); [40; 60]; (60; 150].
1) На промежутке [0; 40) p = 2t + 20: функция линейная с k = 2 > 0, температура растёт на 2 °C в минуту от 20 °C (при t = 0) до 100 °C (при t, приближающемся к 40).
На промежутке [40; 60] p = 100: температура постоянна и равна 100 °C.
На промежутке (60; 150] p = −(2/3)t + 140: функция убывает (k = −2/3 < 0), температура падает на 2/3 °C в минуту: при t = 60 значение 100 °C, при t = 150 значение −100 + 140 = 40 °C.
2) График состоит из трёх частей: отрезка от точки (0; 20) до точки (40; 100), горизонтального отрезка от (40; 100) до (60; 100) и отрезка от (60; 100) до (150; 40). Концы частей совпадают, поэтому график — непрерывная ломаная (см. рисунок).
3) [0; 40): вода нагревается с постоянной скоростью 2 °C в минуту от комнатной температуры 20 °C до температуры кипения 100 °C. [40; 60]: вода кипит, и её температура не меняется — 100 °C (подведённая энергия идёт на парообразование). (60; 150]: нагрев выключен, вода остывает, охлаждаясь с постоянной скоростью 2/3 °C в минуту, до 40 °C.
Ответ: сначала температура растёт от 20 °C до 100 °C, затем 20 минут равна 100 °C, затем убывает до 40 °C; график построен на рисунке.
На промежутке [40; 60] p = 100: температура постоянна и равна 100 °C.
На промежутке (60; 150] p = −(2/3)t + 140: функция убывает (k = −2/3 < 0), температура падает на 2/3 °C в минуту: при t = 60 значение 100 °C, при t = 150 значение −100 + 140 = 40 °C.
2) График состоит из трёх частей: отрезка от точки (0; 20) до точки (40; 100), горизонтального отрезка от (40; 100) до (60; 100) и отрезка от (60; 100) до (150; 40). Концы частей совпадают, поэтому график — непрерывная ломаная (см. рисунок).
3) [0; 40): вода нагревается с постоянной скоростью 2 °C в минуту от комнатной температуры 20 °C до температуры кипения 100 °C. [40; 60]: вода кипит, и её температура не меняется — 100 °C (подведённая энергия идёт на парообразование). (60; 150]: нагрев выключен, вода остывает, охлаждаясь с постоянной скоростью 2/3 °C в минуту, до 40 °C.
Ответ: сначала температура растёт от 20 °C до 100 °C, затем 20 минут равна 100 °C, затем убывает до 40 °C; график построен на рисунке.