Глава V. §13. п.42 Функция. Область определения и множество значений функции — с. 241
1088. На рисунке 56 изображены графики функций, заданных формулами y = x/2, y = 2/x, y = 2 − x/2, y = −2/x. Для каждой функции укажите соответствующий график. [рисунок 56: 1 — гипербола в I и III четвертях; 2 — гипербола во II и IV четвертях; 3 — возрастающая прямая через начало координат; 4 — убывающая прямая, пересекающая ось y выше точки 1]
y = x/2 — прямая пропорциональность с k = 1/2 > 0: прямая через начало координат, идущая вверх. Это график 3.
y = 2/x — обратная пропорциональность с k = 2 > 0: гипербола, ветви в I и III четвертях. Это график 1.
y = 2 − x/2 — линейная функция с k = −1/2 < 0 и b = 2: убывающая прямая, пересекающая ось y в точке (0; 2). Это график 4.
y = −2/x — гипербола с k = −2 < 0, ветви во II и IV четвертях. Это график 2.
Ответ: y = x/2 — график 3; y = 2/x — график 1; y = 2 − x/2 — график 4; y = −2/x — график 2.
y = 2/x — обратная пропорциональность с k = 2 > 0: гипербола, ветви в I и III четвертях. Это график 1.
y = 2 − x/2 — линейная функция с k = −1/2 < 0 и b = 2: убывающая прямая, пересекающая ось y в точке (0; 2). Это график 4.
y = −2/x — гипербола с k = −2 < 0, ветви во II и IV четвертях. Это график 2.
Ответ: y = x/2 — график 3; y = 2/x — график 1; y = 2 − x/2 — график 4; y = −2/x — график 2.
1089. По графику функции y = |x| (см. рис. 52) найдите, при каких значениях x: а) |x| = 3,5; б) |x| < 2; в) |x| ≥ 4. Каково наименьшее значение функции?
Имеет ли она наибольшее значение?
Каково множество значений функции?
График y = |x| состоит из двух лучей: y = −x при x ≤ 0 и y = x при x ≥ 0, вершина в начале координат.
а) Прямая y = 3,5 пересекает график в точках с абсциссами −3,5 и 3,5: x = −3,5 или x = 3,5.
б) Точки графика, лежащие ниже прямой y = 2, имеют абсциссы между −2 и 2: −2 < x < 2.
в) Точки графика на прямой y = 4 и выше — те, у которых x ≤ −4 или x ≥ 4: x ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞).
Наименьшее значение функции равно 0 (при x = 0). Наибольшего значения нет: |x| неограниченно растёт при росте |x|. Множество значений E = [0; +∞).
а) Прямая y = 3,5 пересекает график в точках с абсциссами −3,5 и 3,5: x = −3,5 или x = 3,5.
б) Точки графика, лежащие ниже прямой y = 2, имеют абсциссы между −2 и 2: −2 < x < 2.
в) Точки графика на прямой y = 4 и выше — те, у которых x ≤ −4 или x ≥ 4: x ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞).
Наименьшее значение функции равно 0 (при x = 0). Наибольшего значения нет: |x| неограниченно растёт при росте |x|. Множество значений E = [0; +∞).
1090. Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой: а) y = x³ − 8x, где −3 ≤ x ≤ 3; б) y = 4/(x + 2), где −1,5 ≤ x ≤ 6. Каково множество значений функции?
а) Таблица: [x: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; y = x³ − 8x: −3, 8, 7, 0, −7, −8, 3]. Например, y(−3) = −27 + 24 = −3, y(−2) = −8 + 16 = 8, y(−1) = −1 + 8 = 7, y(2) = 8 − 16 = −8, y(3) = 27 − 24 = 3. Функция нечётна, график симметричен относительно начала координат. Для уточнения вблизи наибольшего и наименьшего значений добавим точки: y(1,5) = 3,375 − 12 = −8,625; y(1,6) = 4,096 − 12,8 = −8,704; y(1,7) = 4,913 − 13,6 = −8,687. Значит, наименьшее значение примерно −8,7 (при x ≈ 1,6), наибольшее примерно 8,7 (при x ≈ −1,6). Множество значений: примерно [−8,7; 8,7].
б) Таблица: [x: −1,5, −1, 0, 1, 2, 4, 6; y = 4/(x + 2): 8, 4, 2, 4/3 ≈ 1,3, 1, 2/3 ≈ 0,7, 0,5]. На отрезке функция убывает, график — часть гиперболы y = 4/x, сдвинутой на 2 влево. Наибольшее значение y(−1,5) = 8, наименьшее y(6) = 0,5, все значения между ними принимаются. Множество значений: [0,5; 8].
Ответ: а) примерно [−8,7; 8,7]; б) [0,5; 8]. Графики на рисунке.
Оговорка: границы множества значений в пункте а) найдены по таблице и графику приближённо.
б) Таблица: [x: −1,5, −1, 0, 1, 2, 4, 6; y = 4/(x + 2): 8, 4, 2, 4/3 ≈ 1,3, 1, 2/3 ≈ 0,7, 0,5]. На отрезке функция убывает, график — часть гиперболы y = 4/x, сдвинутой на 2 влево. Наибольшее значение y(−1,5) = 8, наименьшее y(6) = 0,5, все значения между ними принимаются. Множество значений: [0,5; 8].
Ответ: а) примерно [−8,7; 8,7]; б) [0,5; 8]. Графики на рисунке.
Оговорка: границы множества значений в пункте а) найдены по таблице и графику приближённо.