Алгебра · 8 КЛАСС

Упражнения 1080–1087 — Глава V. §13. п.42 Функция. Область…

Страница 240 · Алгебра Макарычев 8 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 16-е издание, переработанное

Оглавление

Глава V. §13. п.42 Функция. Область определения и множество значений функции — с. 240

1080. Постройте график функции, заданной формулой: а) f(x) = 1,5 − 3x; б) f(x) = 4,5x; в) f(x) = 10/x; г) f(x) = −1/x. Укажите область определения и множество значений функции.
а) f(x) = 1,5 − 3x — линейная функция, график — прямая. Точки: x = 0, y = 1,5; x = 0,5, y = 0. D(f) — все числа; так как k = −3 ≠ 0, E(f) — все числа.
б) f(x) = 4,5x — прямая пропорциональность, прямая через начало координат и точку (1; 4,5), в том числе (−1; −4,5). D(f) — все числа, E(f) — все числа.
в) f(x) = 10/x — гипербола, ветви в I и III четвертях. Таблица: x: 1, 2, 5, 10, −1, −2, −5, −10; y: 10, 5, 2, 1, −10, −5, −2, −1. Знаменатель не равен нулю: D(f) — все числа, кроме 0. Дробь 10/x нулю не равна, значит E(f) — все числа, кроме 0.
г) f(x) = −1/x — гипербола, ветви во II и IV четвертях. Таблица: x: 1, 2, −1, −2; y: −1, −0,5, 1, 0,5. D(f) — все числа, кроме 0; E(f) — все числа, кроме 0.
Ответ: а) и б) D и E — все числа; в) и г) D и E — все числа, кроме 0. Графики на рисунке.
Графики к упражнению 1080а) y = 1,5 − 3xxy−2−1123−4−3−2−112340б) y = 4,5xxy−2−112−5−4−3−2−1123450в) y = 10/xxy−10−5510−10−55100г) y = −1/xxy−4−3−2−11234−4−3−2−112340
1081. Найдите множество значений функции: а) f(x) = 2x − 1, где 1 ≤ x ≤ 4; б) g(x) = −3x + 8, где −2 ≤ x ≤ 5.
а) Функция f(x) = 2x − 1 возрастает (k = 2 > 0), поэтому наименьшее значение на отрезке — при x = 1, наибольшее — при x = 4: f(1) = 1, f(4) = 7. Множество значений: [1; 7], то есть 1 ≤ f(x) ≤ 7.
б) Функция g(x) = −3x + 8 убывает (k = −3 < 0), поэтому наибольшее значение — при x = −2, наименьшее — при x = 5: g(−2) = 6 + 8 = 14, g(5) = −15 + 8 = −7. Множество значений: [−7; 14].
Ответ: а) [1; 7]; б) [−7; 14].
1082. Используя рисунок 52 на с. 237, укажите область определения и множество значений каждой из функций y = x², y = x³, y = √x, y = |x|.
y = x²: график — парабола, расположенная в верхней полуплоскости; x может быть любым, y ≥ 0. D = (−∞; +∞), E = [0; +∞).
y = x³: график уходит и вниз, и вверх. D = (−∞; +∞), E = (−∞; +∞).
y = √x: график начинается в начале координат и идёт вправо и вверх. D = [0; +∞), E = [0; +∞).
y = |x|: график — «галочка» с вершиной в начале координат. D = (−∞; +∞), E = [0; +∞).
1083. Найдите область определения и множество значений функции, заданной формулой y = x²/(x² + 1).
Знаменатель x² + 1 ≥ 1, он не обращается в нуль, поэтому D(y) — все числа.
Преобразуем: y = (x² + 1 − 1)/(x² + 1) = 1 − 1/(x² + 1).
Так как x² ≥ 0, то x² + 1 ≥ 1 и 0 < 1/(x² + 1) ≤ 1. Отсюда 0 ≤ y < 1: значение 0 достигается при x = 0, а значение 1 не достигается никогда (1/(x² + 1) ≠ 0). Все значения от 0 до 1 принимаются, так как 1/(x² + 1) при росте |x| непрерывно убывает от 1 к 0.
Ответ: D(y) — все числа; E(y) = [0; 1).
1084. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 20 см зависит от длины x (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит 100 см. Укажите область определения и множество значений этой функции.
Периметр: P = 20 + 2x. Формула: P = 2x + 20.
Треугольник существует, если сумма боковых сторон больше основания: 2x > 20, x > 10. Периметр не больше 100: 2x + 20 ≤ 100, x ≤ 40.
Область определения: 10 < x ≤ 40, то есть (10; 40].
Функция возрастает: при x = 10 (не включается) P = 40, при x = 40 P = 100. Множество значений: (40; 100].
Ответ: P = 2x + 20; D = (10; 40]; E = (40; 100].
1085. Постройте график функции f(x) = −x². Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от −∞ до 0 (увеличиваются или уменьшаются)? Укажите область определения и множество значений данной функции.
Составим таблицу: x: 0, ±1, ±2, ±3; f(x): 0, −1, −4, −9. Соединяем точки плавной линией — получаем параболу (график y = x², симметрично отражённый относительно оси x), ветви направлены вниз, вершина в начале координат.
При увеличении x от −∞ до 0 значения функции увеличиваются (от очень малых отрицательных значений до 0). Например, f(−3) = −9 < f(−2) = −4 < f(−1) = −1 < f(0) = 0.
D(f) — все числа. Так как x² ≥ 0, то −x² ≤ 0, и значение 0 достигается; E(f) = (−∞; 0].
Ответ: значения функции увеличиваются; D(f) = (−∞; +∞), E(f) = (−∞; 0].
График функции y = −x²xy−5−4−3−2−112345−9−8−7−6−5−4−3−2−110y = −x²
1086. Постройте график функции f(x) = −2√x. Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от 0 до +∞ (увеличиваются или уменьшаются)? Укажите область определения и множество значений данной функции.
Таблица: x: 0, 1, 4, 9; f(x): 0, −2, −4, −6. График — ветвь параболы, лежащая под осью x: график y = √x, растянутый вдвое вдоль оси y и отражённый относительно оси x; начинается в точке (0; 0) и идёт вправо и вниз.
С увеличением x от 0 до +∞ значения √x растут, поэтому значения −2√x уменьшаются.
D(f) = [0; +∞). Так как √x ≥ 0, то −2√x ≤ 0 и принимаются все значения от 0 вниз до −∞: E(f) = (−∞; 0].
Ответ: значения функции уменьшаются; D(f) = [0; +∞), E(f) = (−∞; 0].
График функции y = −2√xxy−1123456789−6−5−4−3−2−110y = −2√x
1087. На рисунке 55 изображён график одной из функций, заданных формулами y = x − 1, y = 1 + x, y = 2x − 1, y = 1 − 2x. Выясните, какой именно. [рисунок 55: возрастающая прямая, пересекающая ось y ниже начала координат в точке (0; −1) и ось x левее точки 1, примерно в точке (0,5; 0)]
График — прямая, которая идёт вверх (функция возрастает), поэтому k > 0; формулы y = 1 − 2x (k = −2) не подходит.
Прямая пересекает ось y в точке (0; −1), значит b = −1; формула y = 1 + x (b = 1) не подходит.
Остаются y = x − 1 и y = 2x − 1. Прямая y = x − 1 пересекает ось x в точке (1; 0), а на рисунке пересечение с осью x лежит левее единицы, примерно в точке 0,5. Для y = 2x − 1 при y = 0 получаем x = 0,5; кроме того, при x = 1 значение y = 1, и прямая проходит выше точки (1; 0), как на рисунке.
Ответ: y = 2x − 1.