Глава V. §13. п.42 Функция. Область определения и множество значений функции — с. 238
1069. Существует ли значение x, при котором значение функции, заданной формулой φ(x) = 4/(6 + x), равно: а) 1; б) −0,5; в) 0?
В случае утвердительного ответа укажите это значение.
а) 4/(6 + x) = 1; 6 + x = 4; x = −2. Значение существует: x = −2.
б) 4/(6 + x) = −0,5; 6 + x = 4 : (−0,5) = −8; x = −14. Значение существует: x = −14.
в) 4/(6 + x) = 0: дробь с числителем 4 нулю не равна ни при каком x. Такого значения нет.
Ответ: а) да, x = −2; б) да, x = −14; в) нет.
б) 4/(6 + x) = −0,5; 6 + x = 4 : (−0,5) = −8; x = −14. Значение существует: x = −14.
в) 4/(6 + x) = 0: дробь с числителем 4 нулю не равна ни при каком x. Такого значения нет.
Ответ: а) да, x = −2; б) да, x = −14; в) нет.
1070. Найдите значение x, при котором функция, заданная формулой f(x) = 0,5x − 4, принимает значение, равное: а) −5; б) 0; в) 2,5.
а) 0,5x − 4 = −5; 0,5x = −1; x = −2.
б) 0,5x − 4 = 0; 0,5x = 4; x = 8.
в) 0,5x − 4 = 2,5; 0,5x = 6,5; x = 13.
Ответ: а) −2; б) 8; в) 13.
б) 0,5x − 4 = 0; 0,5x = 4; x = 8.
в) 0,5x − 4 = 2,5; 0,5x = 6,5; x = 13.
Ответ: а) −2; б) 8; в) 13.
1071. Найдите область определения функции, заданной формулой: а) y = 4x − 8; б) y = x² − 5x + 1; в) y = 2x/(5 − x); г) y = 3/((x − 4)(x + 1)); д) y = 1/(x² + 1); е) y = √(x − 5).
а) и б) Выражения 4x − 8 и x² − 5x + 1 имеют смысл при любом x. D(y) — все числа.
в) Знаменатель не равен нулю: 5 − x ≠ 0, x ≠ 5. D(y) — все числа, кроме 5.
г) (x − 4)(x + 1) ≠ 0, значит x ≠ 4 и x ≠ −1. D(y) — все числа, кроме 4 и −1.
д) x² + 1 ≥ 1 > 0 при любом x, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. D(y) — все числа.
е) Подкоренное выражение неотрицательно: x − 5 ≥ 0, x ≥ 5. D(y) = [5; +∞).
Ответ: а), б), д) — все числа; в) все числа, кроме 5; г) все числа, кроме −1 и 4; е) x ≥ 5.
в) Знаменатель не равен нулю: 5 − x ≠ 0, x ≠ 5. D(y) — все числа, кроме 5.
г) (x − 4)(x + 1) ≠ 0, значит x ≠ 4 и x ≠ −1. D(y) — все числа, кроме 4 и −1.
д) x² + 1 ≥ 1 > 0 при любом x, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. D(y) — все числа.
е) Подкоренное выражение неотрицательно: x − 5 ≥ 0, x ≥ 5. D(y) = [5; +∞).
Ответ: а), б), д) — все числа; в) все числа, кроме 5; г) все числа, кроме −1 и 4; е) x ≥ 5.
1072. Приведите пример функции, область определения которой: а) множество всех чисел; б) множество всех чисел, кроме 7.
а) Например, y = 3x − 1 (или y = x²): выражение имеет смысл при любом x.
б) Например, y = 1/(x − 7): знаменатель обращается в нуль только при x = 7, значит D(y) — все числа, кроме 7. Подойдёт и y = 5/(x − 7) или y = (x + 1)/(x − 7).
б) Например, y = 1/(x − 7): знаменатель обращается в нуль только при x = 7, значит D(y) — все числа, кроме 7. Подойдёт и y = 5/(x − 7) или y = (x + 1)/(x − 7).
1073. Какова область определения функции, заданной формулой: а) y = x² + 2x; б) y = (x − 1)/(1 + x); в) y = √(9 + x); г) y = √(3 − x)?
а) Многочлен определён при любом x: D(y) — все числа.
б) 1 + x ≠ 0, x ≠ −1: D(y) — все числа, кроме −1.
в) 9 + x ≥ 0, x ≥ −9: D(y) = [−9; +∞).
г) 3 − x ≥ 0, x ≤ 3: D(y) = (−∞; 3].
Ответ: а) все числа; б) все числа, кроме −1; в) x ≥ −9; г) x ≤ 3.
б) 1 + x ≠ 0, x ≠ −1: D(y) — все числа, кроме −1.
в) 9 + x ≥ 0, x ≥ −9: D(y) = [−9; +∞).
г) 3 − x ≥ 0, x ≤ 3: D(y) = (−∞; 3].
Ответ: а) все числа; б) все числа, кроме −1; в) x ≥ −9; г) x ≤ 3.
1074. Найдите область определения функции и постройте её график: а) y = (x² − 9)/(6 + 2x); б) y = (4 − x²)/(x² + 2x).
а) Знаменатель не равен нулю: 6 + 2x ≠ 0, x ≠ −3. D(y) — все числа, кроме −3.
При x ≠ −3: y = (x − 3)(x + 3)/(2(x + 3)) = (x − 3)/2. График — прямая y = (x − 3)/2 без точки с абсциссой −3, то есть без точки (−3; −3) (она выколота). Прямая проходит через точки (3; 0) и (0; −1,5).
б) Знаменатель x² + 2x = x(x + 2) ≠ 0, значит x ≠ 0 и x ≠ −2. D(y) — все числа, кроме 0 и −2.
При допустимых x: y = (2 − x)(2 + x)/(x(x + 2)) = (2 − x)/x = 2/x − 1. График — гипербола y = 2/x − 1 (график y = 2/x, сдвинутый на 1 вниз) без точки с абсциссой −2: y(−2) = 2/(−2) − 1 = −2, точка (−2; −2) выколота. График пересекает ось x в точке (2; 0).
Ответ: а) все числа, кроме −3; б) все числа, кроме 0 и −2; графики построены на рисунке.
При x ≠ −3: y = (x − 3)(x + 3)/(2(x + 3)) = (x − 3)/2. График — прямая y = (x − 3)/2 без точки с абсциссой −3, то есть без точки (−3; −3) (она выколота). Прямая проходит через точки (3; 0) и (0; −1,5).
б) Знаменатель x² + 2x = x(x + 2) ≠ 0, значит x ≠ 0 и x ≠ −2. D(y) — все числа, кроме 0 и −2.
При допустимых x: y = (2 − x)(2 + x)/(x(x + 2)) = (2 − x)/x = 2/x − 1. График — гипербола y = 2/x − 1 (график y = 2/x, сдвинутый на 1 вниз) без точки с абсциссой −2: y(−2) = 2/(−2) − 1 = −2, точка (−2; −2) выколота. График пересекает ось x в точке (2; 0).
Ответ: а) все числа, кроме −3; б) все числа, кроме 0 и −2; графики построены на рисунке.
1075. Пассажир метро, вставший на эскалатор, сошёл с него через t с. Глубина спуска h м. Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости 30°. Выразите формулой зависимость h от t, если скорость движения эскалатора равна 0,75 м/с. Найдите: а) h, если t = 2,25 мин; б) t, если h = 60 м.
За t секунд пассажир проходит вдоль эскалатора путь l = 0,75t м. Глубина спуска — катет, лежащий против угла 30° в прямоугольном треугольнике с гипотенузой l, поэтому h = l/2 = 0,375t.
Формула: h = 0,375t.
а) t = 2,25 мин = 135 с; h = 0,375 · 135 = 50,625 м ≈ 50,6 м.
б) h = 60: 0,375t = 60; t = 60 : 0,375 = 160 с.
Ответ: h = 0,375t; а) ≈ 50,6 м; б) 160 с (2 мин 40 с).
Формула: h = 0,375t.
а) t = 2,25 мин = 135 с; h = 0,375 · 135 = 50,625 м ≈ 50,6 м.
б) h = 60: 0,375t = 60; t = 60 : 0,375 = 160 с.
Ответ: h = 0,375t; а) ≈ 50,6 м; б) 160 с (2 мин 40 с).
1076. Дальность полёта s м снаряда (без учёта сопротивления воздуха), выпущенного из орудия под углом 45° к горизонту, зависит только от начальной скорости снаряда v₀ м/с и может быть найдена по формуле s = v₀²/g (g ≈ 10 м/с²). Найдите: а) s, если v₀ = 600 м/с; б) v₀, если s = 24 км.
Формула при g = 10: s = v₀²/10.
а) s = 600²/10 = 360 000/10 = 36 000 м = 36 км.
б) s = 24 км = 24 000 м. v₀² = 10 · 24 000 = 240 000; v₀ = √240 000 = 200√6 ≈ 490 м/с.
Ответ: а) 36 км; б) примерно 490 м/с.
а) s = 600²/10 = 360 000/10 = 36 000 м = 36 км.
б) s = 24 км = 24 000 м. v₀² = 10 · 24 000 = 240 000; v₀ = √240 000 = 200√6 ≈ 490 м/с.
Ответ: а) 36 км; б) примерно 490 м/с.
1077. (Для работы в парах.) Укажите область определения функции, заданной формулой: а) y = 5/(|x + 1| + 4); б) y = 48/(|x| − 2); в) y = x² + √(|x| − 1); г) y = √(|2 − x| − 3x).
1. Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
2. Объясните друг другу, как вы рассуждали при нахождении области определения функции.
3. Исправьте ошибки, если они допущены.
а) Знаменатель |x + 1| + 4 ≥ 4 > 0 при любом x, поэтому выражение имеет смысл всегда. D(y) — все числа.
б) Знаменатель не равен нулю: |x| − 2 ≠ 0, |x| ≠ 2, x ≠ 2 и x ≠ −2. D(y) — все числа, кроме −2 и 2.
в) Нужно, чтобы |x| − 1 ≥ 0, то есть |x| ≥ 1: x ≤ −1 или x ≥ 1. D(y) = (−∞; −1] ∪ [1; +∞).
г) Нужно |2 − x| − 3x ≥ 0, то есть |2 − x| ≥ 3x.
Если x ≤ 2, то |2 − x| = 2 − x: 2 − x ≥ 3x; 4x ≤ 2; x ≤ 0,5. С учётом x ≤ 2: x ≤ 0,5.
Если x > 2, то |2 − x| = x − 2: x − 2 ≥ 3x; −2x ≥ 2; x ≤ −1, что противоречит x > 2, решений нет.
D(y) = (−∞; 0,5].
Пункты 2) и 3) — обсуждение в паре: в каждом случае рассуждение одно: ищем значения x, при которых знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение неотрицательно; выражение с модулем раскрываем отдельно на каждом промежутке знакопостоянства подмодульного выражения. Проверить найденную область можно подстановкой чисел (например, для г) x = 0 подходит, x = 1 не подходит: |2 − 1| − 3 = −2 < 0).
Ответ: а) все числа; б) все числа, кроме ±2; в) |x| ≥ 1; г) x ≤ 0,5.
б) Знаменатель не равен нулю: |x| − 2 ≠ 0, |x| ≠ 2, x ≠ 2 и x ≠ −2. D(y) — все числа, кроме −2 и 2.
в) Нужно, чтобы |x| − 1 ≥ 0, то есть |x| ≥ 1: x ≤ −1 или x ≥ 1. D(y) = (−∞; −1] ∪ [1; +∞).
г) Нужно |2 − x| − 3x ≥ 0, то есть |2 − x| ≥ 3x.
Если x ≤ 2, то |2 − x| = 2 − x: 2 − x ≥ 3x; 4x ≤ 2; x ≤ 0,5. С учётом x ≤ 2: x ≤ 0,5.
Если x > 2, то |2 − x| = x − 2: x − 2 ≥ 3x; −2x ≥ 2; x ≤ −1, что противоречит x > 2, решений нет.
D(y) = (−∞; 0,5].
Пункты 2) и 3) — обсуждение в паре: в каждом случае рассуждение одно: ищем значения x, при которых знаменатель не равен нулю, а подкоренное выражение неотрицательно; выражение с модулем раскрываем отдельно на каждом промежутке знакопостоянства подмодульного выражения. Проверить найденную область можно подстановкой чисел (например, для г) x = 0 подходит, x = 1 не подходит: |2 − 1| − 3 = −2 < 0).
Ответ: а) все числа; б) все числа, кроме ±2; в) |x| ≥ 1; г) x ≤ 0,5.