Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV — с. 233
1057. Найдите положительные значения y, удовлетворяющие системе неравенств: а) {3(y − 1) − 4(y + 8) < 5(y + 5); 1,2(1 + 5y) − 0,2 < 5(1 − 3y) − 3y}; б) {15(y − 4) − 14(y − 3) < y(y − 9) − y²; (5 − y)/3 − y > 14 − (2 − y)/6}; в) {(2y − 1)(3y + 2) − 6y(y − 4) < 48; (y − 1)/8 − (6y + 1)/4 − 1 < 0}.
а) Первое неравенство: 3y − 3 − 4y − 32 < 5y + 25; −y − 35 < 5y + 25; −60 < 6y; y > −10.
Второе: 1,2 + 6y − 0,2 < 5 − 15y − 3y; 1 + 6y < 5 − 18y; 24y < 4; y < 1/6.
Решение системы: −10 < y < 1/6. Положительные значения: 0 < y < 1/6.
Ответ: 0 < y < 1/6, то есть y ∈ (0; 1/6).
б) Первое неравенство: 15y − 60 − 14y + 42 < y² − 9y − y²; y − 18 < −9y; 10y < 18; y < 1,8.
Второе: умножим на 6: 2(5 − y) − 6y > 84 − (2 − y); 10 − 2y − 6y > 82 + y; −72 > 9y; y < −8.
Решение системы: y < −8, среди таких чисел положительных нет.
Ответ: положительных значений y нет.
в) Первое неравенство: 6y² + 4y − 3y − 2 − 6y² + 24y < 48; 25y − 2 < 48; y < 2.
Второе: умножим на 8: (y − 1) − 2(6y + 1) − 8 < 0; y − 1 − 12y − 2 − 8 < 0; −11y < 11; y > −1.
Решение системы: −1 < y < 2. Положительные: 0 < y < 2.
Ответ: 0 < y < 2, то есть y ∈ (0; 2).
Второе: 1,2 + 6y − 0,2 < 5 − 15y − 3y; 1 + 6y < 5 − 18y; 24y < 4; y < 1/6.
Решение системы: −10 < y < 1/6. Положительные значения: 0 < y < 1/6.
Ответ: 0 < y < 1/6, то есть y ∈ (0; 1/6).
б) Первое неравенство: 15y − 60 − 14y + 42 < y² − 9y − y²; y − 18 < −9y; 10y < 18; y < 1,8.
Второе: умножим на 6: 2(5 − y) − 6y > 84 − (2 − y); 10 − 2y − 6y > 82 + y; −72 > 9y; y < −8.
Решение системы: y < −8, среди таких чисел положительных нет.
Ответ: положительных значений y нет.
в) Первое неравенство: 6y² + 4y − 3y − 2 − 6y² + 24y < 48; 25y − 2 < 48; y < 2.
Второе: умножим на 8: (y − 1) − 2(6y + 1) − 8 < 0; y − 1 − 12y − 2 − 8 < 0; −11y < 11; y > −1.
Решение системы: −1 < y < 2. Положительные: 0 < y < 2.
Ответ: 0 < y < 2, то есть y ∈ (0; 2).
1058. Найдите отрицательные значения y, удовлетворяющие системе неравенств: а) {(5y − 1)/6 − (2y − 1)/2 > 0; 1 − (y + 4)/3 < 0}; б) {(y + 6)(5 − y) + y(y − 1) > 0; 0,3y(10y + 20) − 3y² + 30 > 0}.
а) Первое: умножим на 6: 5y − 1 − 3(2y − 1) > 0; 5y − 1 − 6y + 3 > 0; −y + 2 > 0; y < 2.
Второе: умножим на 3: 3 − (y + 4) < 0; −y − 1 < 0; y > −1.
Решение системы: −1 < y < 2. Отрицательные значения: −1 < y < 0.
Ответ: y ∈ (−1; 0).
б) Первое: 5y − y² + 30 − 6y + y² − y > 0; −2y + 30 > 0; y < 15.
Второе: 3y² + 6y − 3y² + 30 > 0; 6y + 30 > 0; y > −5.
Решение системы: −5 < y < 15. Отрицательные значения: −5 < y < 0.
Ответ: y ∈ (−5; 0).
Второе: умножим на 3: 3 − (y + 4) < 0; −y − 1 < 0; y > −1.
Решение системы: −1 < y < 2. Отрицательные значения: −1 < y < 0.
Ответ: y ∈ (−1; 0).
б) Первое: 5y − y² + 30 − 6y + y² − y > 0; −2y + 30 > 0; y < 15.
Второе: 3y² + 6y − 3y² + 30 > 0; 6y + 30 > 0; y > −5.
Решение системы: −5 < y < 15. Отрицательные значения: −5 < y < 0.
Ответ: y ∈ (−5; 0).
1059. При каких значениях a уравнение x² − 4ax + 4a² − 25 = 0 имеет два корня, каждый из которых больше 2?
Левая часть: x² − 4ax + 4a² − 25 = (x − 2a)² − 25 = (x − 2a − 5)(x − 2a + 5).
Корни: x₁ = 2a − 5 и x₂ = 2a + 5; они различны при любом a (разность равна 10).
Меньший корень 2a − 5 должен быть больше 2: 2a − 5 > 2; 2a > 7; a > 3,5. Тогда и больший корень больше 2.
Ответ: при a > 3,5.
Корни: x₁ = 2a − 5 и x₂ = 2a + 5; они различны при любом a (разность равна 10).
Меньший корень 2a − 5 должен быть больше 2: 2a − 5 > 2; 2a > 7; a > 3,5. Тогда и больший корень больше 2.
Ответ: при a > 3,5.
1060. При каких значениях b уравнение x² − (2b − 2)x + b² − 2b = 0 имеет два корня, принадлежащие интервалу (−5; 5)?
Дискриминант: D = (2b − 2)² − 4(b² − 2b) = 4b² − 8b + 4 − 4b² + 8b = 4 > 0, поэтому два корня есть при любом b.
x = (2b − 2 ± 2)/2, то есть x₁ = b − 2, x₂ = b.
Оба корня должны лежать в (−5; 5): −5 < b − 2 < 5 и −5 < b < 5, то есть −3 < b < 7 и −5 < b < 5. Общая часть: −3 < b < 5.
Ответ: при −3 < b < 5.
x = (2b − 2 ± 2)/2, то есть x₁ = b − 2, x₂ = b.
Оба корня должны лежать в (−5; 5): −5 < b − 2 < 5 и −5 < b < 5, то есть −3 < b < 7 и −5 < b < 5. Общая часть: −3 < b < 5.
Ответ: при −3 < b < 5.
1061. Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, чем сейчас, то они пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы?
Пусть туристы проходят в день x км.
Первое условие: 6(x + 5) > 90; x + 5 > 15; x > 10.
Второе условие: 8(x − 5) < 90; x − 5 < 11,25; x < 16,25.
Ответ: туристы проходят в день больше 10 км, но меньше 16,25 км (10 < x < 16,25).
Первое условие: 6(x + 5) > 90; x + 5 > 15; x > 10.
Второе условие: 8(x − 5) < 90; x − 5 < 11,25; x < 16,25.
Ответ: туристы проходят в день больше 10 км, но меньше 16,25 км (10 < x < 16,25).
1062. Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч?
Пусть весь путь равен 2S км, скорость на второй половине v км/ч, причём v > 60 (скорость увеличили).
Время: S/60 + S/v. Средняя скорость: 2S/(S/60 + S/v) = 2/(1/60 + 1/v) = 120v/(v + 60).
По условию 120v/(v + 60) ≤ 72. Так как v + 60 > 0: 120v ≤ 72v + 4320; 48v ≤ 4320; v ≤ 90.
С учётом v > 60 получаем 60 < v ≤ 90.
Ответ: скорость на второй половине пути больше 60 км/ч, но не больше 90 км/ч.
Время: S/60 + S/v. Средняя скорость: 2S/(S/60 + S/v) = 2/(1/60 + 1/v) = 120v/(v + 60).
По условию 120v/(v + 60) ≤ 72. Так как v + 60 > 0: 120v ≤ 72v + 4320; 48v ≤ 4320; v ≤ 90.
С учётом v > 60 получаем 60 < v ≤ 90.
Ответ: скорость на второй половине пути больше 60 км/ч, но не больше 90 км/ч.