Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 12 — с. 232
1053. Решите систему неравенств: а) {0,3x − 1 < x + 0,4, 2 − 3x < 5x + 1; б) {2,5x − 0,12 > 0,6x + 0,07, 1 − 2x > −x − 4; в) {2x + 1,4 < (3x − 7)/5, 2x > 3 − 2x/5; г) {3(x − 2)(x + 2) − 3x² < x, 5x − 4 > 4 − 5x; д) {(x − 4)(5x − 1) − 5x² > x + 1, 3x − 0,4 < 2x − 0,6; е) {1 + (1 + x)/3 > (2x − 1)/6 − 2, 3x − x/4 > 4.
а) 0,3x − 1 < x + 0,4 ⇒ −1,4 < 0,7x ⇒ x > −2. 2 − 3x < 5x + 1 ⇒ 1 < 8x ⇒ x > 1/8. Общая часть: x > 1/8.
б) 1,9x > 0,19 ⇒ x > 0,1. 1 − 2x > −x − 4 ⇒ 5 > x ⇒ x < 5. Решение: 0,1 < x < 5.
в) Первое умножим на 5: 10x + 7 < 3x − 7 ⇒ 7x < −14 ⇒ x < −2. Второе: 2x + 2x/5 > 3 ⇒ 12x/5 > 3 ⇒ x > 1,25. Условия x < −2 и x > 1,25 несовместны: решений нет.
г) 3(x² − 4) − 3x² < x ⇒ −12 < x ⇒ x > −12. 5x − 4 > 4 − 5x ⇒ 10x > 8 ⇒ x > 0,8. Решение: x > 0,8.
д) (x − 4)(5x − 1) = 5x² − 21x + 4, поэтому −21x + 4 > x + 1 ⇒ 3 > 22x ⇒ x < 3/22. Второе: 3x − 2x < 0,4 − 0,6 ⇒ x < −0,2. Так как −0,2 < 3/22, общая часть: x < −0,2.
е) Первое умножим на 6: 6 + 2(1 + x) > 2x − 1 − 12 ⇒ 8 + 2x > 2x − 13 ⇒ 8 > −13 — верно при любом x. Второе умножим на 4: 12x − x > 16 ⇒ x > 16/11 = 1 5/11. Решение: x > 1 5/11.
Ответ: а) (1/8; +∞); б) (0,1; 5); в) решений нет; г) (0,8; +∞); д) (−∞; −0,2); е) (1 5/11; +∞).
б) 1,9x > 0,19 ⇒ x > 0,1. 1 − 2x > −x − 4 ⇒ 5 > x ⇒ x < 5. Решение: 0,1 < x < 5.
в) Первое умножим на 5: 10x + 7 < 3x − 7 ⇒ 7x < −14 ⇒ x < −2. Второе: 2x + 2x/5 > 3 ⇒ 12x/5 > 3 ⇒ x > 1,25. Условия x < −2 и x > 1,25 несовместны: решений нет.
г) 3(x² − 4) − 3x² < x ⇒ −12 < x ⇒ x > −12. 5x − 4 > 4 − 5x ⇒ 10x > 8 ⇒ x > 0,8. Решение: x > 0,8.
д) (x − 4)(5x − 1) = 5x² − 21x + 4, поэтому −21x + 4 > x + 1 ⇒ 3 > 22x ⇒ x < 3/22. Второе: 3x − 2x < 0,4 − 0,6 ⇒ x < −0,2. Так как −0,2 < 3/22, общая часть: x < −0,2.
е) Первое умножим на 6: 6 + 2(1 + x) > 2x − 1 − 12 ⇒ 8 + 2x > 2x − 13 ⇒ 8 > −13 — верно при любом x. Второе умножим на 4: 12x − x > 16 ⇒ x > 16/11 = 1 5/11. Решение: x > 1 5/11.
Ответ: а) (1/8; +∞); б) (0,1; 5); в) решений нет; г) (0,8; +∞); д) (−∞; −0,2); е) (1 5/11; +∞).
1054. Найдите целые решения системы неравенств: а) {6x(x − 1) − 3x(2x − 1) < x, 0,5x − 3,7 < 0,2x − 0,7; б) {0,7x − 3(0,2x + 1) ≤ 0,5x + 1, 0,3(1 − x) + 0,8x ≥ x + 5,3; в) {(1/3)(3x − 2) + (1/6)(12x + 1) > 0, (1/7)(14x − 21) + (2/9)(9x − 6) < 0; г) {0,2(5x − 1) + (1/3)(3x + 1) < x + 5,8, 8x − 7 − (1/6)(6x − 2) > x; д) {(z − 1)/2 − (z − 4)/3 > 2z − 1, 2z − (z − 5)/3 > 0; е) {3y − (1 + 5y)/4 < y, (4 − y)/5 − y − 1 < 0.
а) 6x² − 6x − 6x² + 3x = −3x < x ⇒ x > 0. 0,3x < 3 ⇒ x < 10. Целые: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
б) 0,7x − 0,6x − 3 ≤ 0,5x + 1 ⇒ −4 ≤ 0,4x ⇒ x ≥ −10. 0,3 − 0,3x + 0,8x ≥ x + 5,3 ⇒ −5 ≥ 0,5x ⇒ x ≤ −10. Остаётся x = −10.
в) x − 2/3 + 2x + 1/6 > 0 ⇒ 3x > 1/2 ⇒ x > 1/6. 2x − 3 + 2x − 4/3 < 0 ⇒ 4x < 13/3 ⇒ x < 13/12. Решение: 1/6 < x < 1 1/12, целое: 1.
г) x − 0,2 + x + 1/3 < x + 5,8 ⇒ x < 5,8 − 2/15 = 17/3 = 5 2/3. 8x − 7 − x + 1/3 > x ⇒ 6x > 20/3 ⇒ x > 10/9. Решение: 1 1/9 < x < 5 2/3, целые: 2, 3, 4, 5.
д) Первое умножим на 6: 3(z − 1) − 2(z − 4) > 12z − 6 ⇒ z + 5 > 12z − 6 ⇒ z < 1. Второе умножим на 3: 6z − z + 5 > 0 ⇒ z > −1. Решение: −1 < z < 1, целое: 0.
е) Первое умножим на 4: 12y − 1 − 5y < 4y ⇒ 3y < 1 ⇒ y < 1/3. Второе умножим на 5: 4 − y − 5y − 5 < 0 ⇒ −6y < 1 ⇒ y > −1/6. Решение: −1/6 < y < 1/3, целое: 0.
Ответ: а) 1, 2, …, 9; б) −10; в) 1; г) 2, 3, 4, 5; д) 0; е) 0.
б) 0,7x − 0,6x − 3 ≤ 0,5x + 1 ⇒ −4 ≤ 0,4x ⇒ x ≥ −10. 0,3 − 0,3x + 0,8x ≥ x + 5,3 ⇒ −5 ≥ 0,5x ⇒ x ≤ −10. Остаётся x = −10.
в) x − 2/3 + 2x + 1/6 > 0 ⇒ 3x > 1/2 ⇒ x > 1/6. 2x − 3 + 2x − 4/3 < 0 ⇒ 4x < 13/3 ⇒ x < 13/12. Решение: 1/6 < x < 1 1/12, целое: 1.
г) x − 0,2 + x + 1/3 < x + 5,8 ⇒ x < 5,8 − 2/15 = 17/3 = 5 2/3. 8x − 7 − x + 1/3 > x ⇒ 6x > 20/3 ⇒ x > 10/9. Решение: 1 1/9 < x < 5 2/3, целые: 2, 3, 4, 5.
д) Первое умножим на 6: 3(z − 1) − 2(z − 4) > 12z − 6 ⇒ z + 5 > 12z − 6 ⇒ z < 1. Второе умножим на 3: 6z − z + 5 > 0 ⇒ z > −1. Решение: −1 < z < 1, целое: 0.
е) Первое умножим на 4: 12y − 1 − 5y < 4y ⇒ 3y < 1 ⇒ y < 1/3. Второе умножим на 5: 4 − y − 5y − 5 < 0 ⇒ −6y < 1 ⇒ y > −1/6. Решение: −1/6 < y < 1/3, целое: 0.
Ответ: а) 1, 2, …, 9; б) −10; в) 1; г) 2, 3, 4, 5; д) 0; е) 0.
1055. Решите двойное неравенство: а) −9 < 3x < 18; б) 1 < (2x − 1)/2 < 2; в) 3 ≤ 5x − 1 ≤ 4; г) 0 ≤ (1 − x)/3 ≤ 1.
а) Разделим на 3: −3 < x < 6.
б) Умножим на 2: 2 < 2x − 1 < 4. Прибавим 1: 3 < 2x < 5. Разделим на 2: 1,5 < x < 2,5.
в) Прибавим 1: 4 ≤ 5x ≤ 5. Разделим на 5: 0,8 ≤ x ≤ 1.
г) Умножим на 3: 0 ≤ 1 − x ≤ 3. Вычтем 1: −1 ≤ −x ≤ 2. Умножим на −1: −2 ≤ x ≤ 1.
Ответ: а) (−3; 6); б) (1,5; 2,5); в) [0,8; 1]; г) [−2; 1].
б) Умножим на 2: 2 < 2x − 1 < 4. Прибавим 1: 3 < 2x < 5. Разделим на 2: 1,5 < x < 2,5.
в) Прибавим 1: 4 ≤ 5x ≤ 5. Разделим на 5: 0,8 ≤ x ≤ 1.
г) Умножим на 3: 0 ≤ 1 − x ≤ 3. Вычтем 1: −1 ≤ −x ≤ 2. Умножим на −1: −2 ≤ x ≤ 1.
Ответ: а) (−3; 6); б) (1,5; 2,5); в) [0,8; 1]; г) [−2; 1].
1056. а) При каких x значение выражения 2x − 4 принадлежит интервалу (−1; 5)? б) При каких x значение дроби (x − 5)/2 принадлежит числовому отрезку [0; 5]? в) При каких x значения функции y = −(1/3)x + 8 принадлежат интервалу (−1; 1)? г) При каких x значения функции y = −2,5x + 6 принадлежат числовому отрезку [−6; −2]?
а) −1 < 2x − 4 < 5 ⇒ 3 < 2x < 9 ⇒ 1,5 < x < 4,5.
б) 0 ≤ (x − 5)/2 ≤ 5 ⇒ 0 ≤ x − 5 ≤ 10 ⇒ 5 ≤ x ≤ 15.
в) −1 < −x/3 + 8 < 1 ⇒ −9 < −x/3 < −7 ⇒ умножим на −3: 21 < x < 27.
г) −6 ≤ −2,5x + 6 ≤ −2 ⇒ −12 ≤ −2,5x ≤ −8 ⇒ разделим на −2,5: 3,2 ≤ x ≤ 4,8.
Ответ: а) (1,5; 4,5); б) [5; 15]; в) (21; 27); г) [3,2; 4,8].
б) 0 ≤ (x − 5)/2 ≤ 5 ⇒ 0 ≤ x − 5 ≤ 10 ⇒ 5 ≤ x ≤ 15.
в) −1 < −x/3 + 8 < 1 ⇒ −9 < −x/3 < −7 ⇒ умножим на −3: 21 < x < 27.
г) −6 ≤ −2,5x + 6 ≤ −2 ⇒ −12 ≤ −2,5x ≤ −8 ⇒ разделим на −2,5: 3,2 ≤ x ≤ 4,8.
Ответ: а) (1,5; 4,5); б) [5; 15]; в) (21; 27); г) [3,2; 4,8].