Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 12 — с. 230
1036. Найдите пересечение и объединение: а) множества целых чисел и множества положительных чисел; б) множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел.
а) Пересечение — числа, которые одновременно целые и положительные: это все натуральные числа 1, 2, 3, … (множество N). Объединение — все целые числа и все положительные числа: это числа 0, −1, −2, −3, … вместе со всеми положительными числами (интервал (0; +∞)).
б) Пересечение — числа, одновременно простые и нечётные: все простые числа, кроме 2, то есть 3, 5, 7, 11, 13, … Объединение — число 2 и все нечётные натуральные числа: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
б) Пересечение — числа, одновременно простые и нечётные: все простые числа, кроме 2, то есть 3, 5, 7, 11, 13, … Объединение — число 2 и все нечётные натуральные числа: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
1037. Является ли число √19 решением неравенства x < 5?
Укажите какое-нибудь число, большее √19, удовлетворяющее этому неравенству.
Так как 19 < 25, то √19 < √25 = 5, то есть √19 < 5 — верное неравенство, и число √19 является решением.
Число, большее √19 и меньшее 5: например 4,5. Проверка: 4,5² = 20,25 > 19, значит, 4,5 > √19, и 4,5 < 5.
Ответ: да; например, 4,5.
Число, большее √19 и меньшее 5: например 4,5. Проверка: 4,5² = 20,25 > 19, значит, 4,5 > √19, и 4,5 < 5.
Ответ: да; например, 4,5.
1038. Является ли число √11 решением неравенства x > 3?
Укажите какое-нибудь число, меньшее √11, удовлетворяющее этому неравенству.
Так как 11 > 9, то √11 > √9 = 3, то есть √11 > 3 — верное неравенство, и число √11 является решением.
Число, меньшее √11 и большее 3: например 3,2. Проверка: 3,2² = 10,24 < 11, значит, 3,2 < √11, и 3,2 > 3.
Ответ: да; например, 3,2.
Число, меньшее √11 и большее 3: например 3,2. Проверка: 3,2² = 10,24 < 11, значит, 3,2 < √11, и 3,2 > 3.
Ответ: да; например, 3,2.
1039. Решите неравенство: а) 0,01(1 − 3x) > 0,02x + 3,01; б) 12(1 − 12x) + 100x > 36 − 49x; в) (0,6y − 1) − 0,2(3y + 1) < 5y − 4; г) (2/3)(6x + 4) − (1/6)(12x − 5) ≤ 4 − 6x; д) (3a + 1)(a − 1) − 3a² > 6a + 7; е) 15x² − (5x − 2)(3x + 1) < 7x − 8.
а) Умножим на 100: 1 − 3x > 2x + 301 ⇒ −5x > 300 ⇒ x < −60.
б) 12 − 144x + 100x > 36 − 49x ⇒ 12 − 44x > 36 − 49x ⇒ 5x > 24 ⇒ x > 4,8.
в) 0,6y − 1 − 0,6y − 0,2 < 5y − 4 ⇒ −1,2 < 5y − 4 ⇒ 5y > 2,8 ⇒ y > 0,56.
г) 4x + 8/3 − 2x + 5/6 ≤ 4 − 6x ⇒ 2x + 3,5 ≤ 4 − 6x ⇒ 8x ≤ 0,5 ⇒ x ≤ 1/16.
д) 3a² − 3a + a − 1 − 3a² > 6a + 7 ⇒ −2a − 1 > 6a + 7 ⇒ −8 > 8a ⇒ a < −1.
е) (5x − 2)(3x + 1) = 15x² − x − 2, поэтому 15x² − 15x² + x + 2 < 7x − 8 ⇒ x + 2 < 7x − 8 ⇒ 10 < 6x ⇒ x > 5/3 = 1 2/3.
Ответ: а) (−∞; −60); б) (4,8; +∞); в) (0,56; +∞); г) (−∞; 1/16]; д) (−∞; −1); е) (1 2/3; +∞).
б) 12 − 144x + 100x > 36 − 49x ⇒ 12 − 44x > 36 − 49x ⇒ 5x > 24 ⇒ x > 4,8.
в) 0,6y − 1 − 0,6y − 0,2 < 5y − 4 ⇒ −1,2 < 5y − 4 ⇒ 5y > 2,8 ⇒ y > 0,56.
г) 4x + 8/3 − 2x + 5/6 ≤ 4 − 6x ⇒ 2x + 3,5 ≤ 4 − 6x ⇒ 8x ≤ 0,5 ⇒ x ≤ 1/16.
д) 3a² − 3a + a − 1 − 3a² > 6a + 7 ⇒ −2a − 1 > 6a + 7 ⇒ −8 > 8a ⇒ a < −1.
е) (5x − 2)(3x + 1) = 15x² − x − 2, поэтому 15x² − 15x² + x + 2 < 7x − 8 ⇒ x + 2 < 7x − 8 ⇒ 10 < 6x ⇒ x > 5/3 = 1 2/3.
Ответ: а) (−∞; −60); б) (4,8; +∞); в) (0,56; +∞); г) (−∞; 1/16]; д) (−∞; −1); е) (1 2/3; +∞).
1040. При каких значениях a верно неравенство: а) (a − 1)/4 − 1 > (a + 1)/3 + 8; б) (3a − 1)/2 − (a − 1)/4 > 0; в) (1 − 2a)/4 − 2 < (1 − 5a)/8; г) 5a/6 − (3a − 1)/3 + (2a − 1)/2 < 1?
а) Умножим на 12: 3(a − 1) − 12 > 4(a + 1) + 96 ⇒ 3a − 15 > 4a + 100 ⇒ −a > 115 ⇒ a < −115.
б) Умножим на 4: 2(3a − 1) − (a − 1) > 0 ⇒ 6a − 2 − a + 1 > 0 ⇒ 5a > 1 ⇒ a > 0,2.
в) Умножим на 8: 2(1 − 2a) − 16 < 1 − 5a ⇒ −14 − 4a < 1 − 5a ⇒ a < 15.
г) Умножим на 6: 5a − 2(3a − 1) + 3(2a − 1) < 6 ⇒ 5a − 6a + 2 + 6a − 3 < 6 ⇒ 5a − 1 < 6 ⇒ a < 1,4.
Ответ: а) a < −115; б) a > 0,2; в) a < 15; г) a < 1,4.
б) Умножим на 4: 2(3a − 1) − (a − 1) > 0 ⇒ 6a − 2 − a + 1 > 0 ⇒ 5a > 1 ⇒ a > 0,2.
в) Умножим на 8: 2(1 − 2a) − 16 < 1 − 5a ⇒ −14 − 4a < 1 − 5a ⇒ a < 15.
г) Умножим на 6: 5a − 2(3a − 1) + 3(2a − 1) < 6 ⇒ 5a − 6a + 2 + 6a − 3 < 6 ⇒ 5a − 1 < 6 ⇒ a < 1,4.
Ответ: а) a < −115; б) a > 0,2; в) a < 15; г) a < 1,4.
1041. Решите неравенство: а) (x − 0,5)/4 + (x − 0,25)/4 + (x − 0,125)/8 < 0; б) (5 − x)/3 − (1 − x)/2 > 1.
а) Умножим на 8: 2(x − 0,5) + 2(x − 0,25) + (x − 0,125) < 0 ⇒ 2x − 1 + 2x − 0,5 + x − 0,125 < 0 ⇒ 5x < 1,625 ⇒ x < 0,325.
б) Умножим на 6: 2(5 − x) − 3(1 − x) > 6 ⇒ 10 − 2x − 3 + 3x > 6 ⇒ x + 7 > 6 ⇒ x > −1.
Ответ: а) (−∞; 0,325); б) (−1; +∞).
б) Умножим на 6: 2(5 − x) − 3(1 − x) > 6 ⇒ 10 − 2x − 3 + 3x > 6 ⇒ x + 7 > 6 ⇒ x > −1.
Ответ: а) (−∞; 0,325); б) (−1; +∞).
1042. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: а) 3(5 − 4x) + 2(14 + x) > 0; б) (x + 1)(x − 1) − (x² − 3x) ≤ 14.
а) 15 − 12x + 28 + 2x > 0 ⇒ 43 > 10x ⇒ x < 4,3. Натуральные числа: 1, 2, 3, 4.
б) x² − 1 − x² + 3x ≤ 14 ⇒ 3x ≤ 15 ⇒ x ≤ 5. Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 3, 4, 5.
б) x² − 1 − x² + 3x ≤ 14 ⇒ 3x ≤ 15 ⇒ x ≤ 5. Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 3, 4, 5.
1043. При каких значениях x: а) значение дроби (3x − 8)/12 больше соответствующего значения дроби (x − 1)/4; б) значение дроби (x + 1)/3 меньше соответствующего значения дроби (2x + 3)/6?
а) Нужно решить неравенство (3x − 8)/12 > (x − 1)/4. Умножим на 12: 3x − 8 > 3(x − 1) ⇒ 3x − 8 > 3x − 3 ⇒ −8 > −3 — неверно при любом x. Таких x нет.
б) (x + 1)/3 < (2x + 3)/6. Умножим на 6: 2(x + 1) < 2x + 3 ⇒ 2x + 2 < 2x + 3 ⇒ 2 < 3 — верно при любом x.
Ответ: а) ни при каких значениях x; б) при любом x, то есть x ∈ (−∞; +∞).
б) (x + 1)/3 < (2x + 3)/6. Умножим на 6: 2(x + 1) < 2x + 3 ⇒ 2x + 2 < 2x + 3 ⇒ 2 < 3 — верно при любом x.
Ответ: а) ни при каких значениях x; б) при любом x, то есть x ∈ (−∞; +∞).