Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 11 — с. 229
1026. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство: а) ac + b/c ≥ 2√(ab); б) (1 + a²/(bc))(1 + b²/(ac))(1 + c²/(ab)) ≥ 8.
а) Числа ac и b/c положительны, поэтому ac + b/c ≥ 2√(ac · b/c) = 2√(ab).
б) 1 + a²/(bc) ≥ 2√(a²/(bc)) = 2a/√(bc). Аналогично 1 + b²/(ac) ≥ 2b/√(ac), 1 + c²/(ab) ≥ 2c/√(ab). Перемножим (все части положительны): произведение ≥ 8abc/√(bc · ac · ab) = 8abc/√(a²b²c²) = 8abc/(abc) = 8.
б) 1 + a²/(bc) ≥ 2√(a²/(bc)) = 2a/√(bc). Аналогично 1 + b²/(ac) ≥ 2b/√(ac), 1 + c²/(ab) ≥ 2c/√(ab). Перемножим (все части положительны): произведение ≥ 8abc/√(bc · ac · ab) = 8abc/√(a²b²c²) = 8abc/(abc) = 8.
1027. Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если a — наибольшее число в пропорции a/b = c/d, где a, b, c, d — положительные числа, то верно неравенство a + d > b + c.
Из пропорции a/b = c/d следует ad = bc. Так как a — наибольшее из четырёх чисел, a > b и a > c, поэтому (a − b)(a − c) > 0.
Раскроем скобки и используем bc = ad: (a − b)(a − c) = a² − ab − ac + bc = a² − ab − ac + ad = a(a − b − c + d).
Так как a > 0 и произведение положительно, a − b − c + d > 0, то есть a + d > b + c. Что и требовалось доказать.
Раскроем скобки и используем bc = ad: (a − b)(a − c) = a² − ab − ac + bc = a² − ab − ac + ad = a(a − b − c + d).
Так как a > 0 и произведение положительно, a − b − c + d > 0, то есть a + d > b + c. Что и требовалось доказать.
1028. Известно, что 12 ≤ y ≤ 16. Оцените значение выражения: а) −0,5y; б) 42 − 2y; в) 1/y + 2.
а) Умножим 12 ≤ y ≤ 16 на −0,5 (знаки меняются): −8 ≤ −0,5y ≤ −6.
б) Умножим на −2: −32 ≤ −2y ≤ −24; прибавим 42: 10 ≤ 42 − 2y ≤ 18.
в) Для положительных чисел при переходе к обратным знаки меняются: 1/16 ≤ 1/y ≤ 1/12; прибавим 2: 2 1/16 ≤ 1/y + 2 ≤ 2 1/12.
Ответ: а) −8 ≤ −0,5y ≤ −6; б) 10 ≤ 42 − 2y ≤ 18; в) 2 1/16 ≤ 1/y + 2 ≤ 2 1/12.
б) Умножим на −2: −32 ≤ −2y ≤ −24; прибавим 42: 10 ≤ 42 − 2y ≤ 18.
в) Для положительных чисел при переходе к обратным знаки меняются: 1/16 ≤ 1/y ≤ 1/12; прибавим 2: 2 1/16 ≤ 1/y + 2 ≤ 2 1/12.
Ответ: а) −8 ≤ −0,5y ≤ −6; б) 10 ≤ 42 − 2y ≤ 18; в) 2 1/16 ≤ 1/y + 2 ≤ 2 1/12.
1029. Оцените значение выражения: а) a + 2b, если 0 < a < 1 и −3 < b < −2; б) (1/2)a − b, если 7 < a < 10 и 14 < b < 15.
а) Из −3 < b < −2 получаем −6 < 2b < −4. Сложим с 0 < a < 1: −6 < a + 2b < −3.
б) Из 7 < a < 10 получаем 3,5 < a/2 < 5. Из 14 < b < 15 получаем −15 < −b < −14. Сложим: 3,5 − 15 < a/2 − b < 5 − 14, то есть −11,5 < a/2 − b < −9.
Ответ: а) −6 < a + 2b < −3; б) −11,5 < a/2 − b < −9.
б) Из 7 < a < 10 получаем 3,5 < a/2 < 5. Из 14 < b < 15 получаем −15 < −b < −14. Сложим: 3,5 − 15 < a/2 − b < 5 − 14, то есть −11,5 < a/2 − b < −9.
Ответ: а) −6 < a + 2b < −3; б) −11,5 < a/2 − b < −9.
1030. Оцените длину средней линии треугольника ABC, которая параллельна стороне AB, если 10,4 < AB < 10,5.
Средняя линия, параллельная стороне AB, равна половине этой стороны: MN = AB/2. Разделим двойное неравенство на 2: 5,2 < AB/2 < 5,25.
Ответ: 5,2 < MN < 5,25.
Ответ: 5,2 < MN < 5,25.
1031. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями a см и c см, если 3,4 ≤ a ≤ 3,5 и 6,2 ≤ c ≤ 6,3.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (a + c)/2. Сложим неравенства: 3,4 + 6,2 ≤ a + c ≤ 3,5 + 6,3, то есть 9,6 ≤ a + c ≤ 9,8. Разделим на 2: 4,8 ≤ m ≤ 4,9.
Ответ: от 4,8 см до 4,9 см, 4,8 ≤ m ≤ 4,9.
Ответ: от 4,8 см до 4,9 см, 4,8 ≤ m ≤ 4,9.
1032. а) Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,9?
Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку? б) Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число; наименьшее число?
Промежуток [8; 41) состоит из чисел x, для которых 8 ≤ x < 41.
а) 8 ≤ 40,9 < 41, значит, число 40,9 принадлежит промежутку. Числа, большие 40,9 и меньшие 41, тоже принадлежат ему, например 40,99 или 40,999.
б) Наименьшее число — 8 (оно входит в промежуток). Наибольшего числа нет: какое бы число a < 41 мы ни взяли, число (a + 41)/2 больше a и тоже меньше 41, то есть принадлежит промежутку.
Ответ: а) принадлежит; да, можно, например 40,99; б) наименьшее есть (8), наибольшего нет.
а) 8 ≤ 40,9 < 41, значит, число 40,9 принадлежит промежутку. Числа, большие 40,9 и меньшие 41, тоже принадлежат ему, например 40,99 или 40,999.
б) Наименьшее число — 8 (оно входит в промежуток). Наибольшего числа нет: какое бы число a < 41 мы ни взяли, число (a + 41)/2 больше a и тоже меньше 41, то есть принадлежит промежутку.
Ответ: а) принадлежит; да, можно, например 40,99; б) наименьшее есть (8), наибольшего нет.
1033. а) Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01?
Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку? б) Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число; наибольшее число?
Промежуток (7; 17] состоит из чисел x, для которых 7 < x ≤ 17.
а) 7 < 7,01 ≤ 17, значит, 7,01 принадлежит промежутку. Числа между 7 и 7,01 тоже принадлежат ему, например 7,001.
б) Наибольшее число — 17 (входит в промежуток). Наименьшего числа нет: для любого a > 7 число (a + 7)/2 меньше a и больше 7.
Ответ: а) принадлежит; да, можно, например 7,001; б) наименьшего нет, наибольшее — 17.
а) 7 < 7,01 ≤ 17, значит, 7,01 принадлежит промежутку. Числа между 7 и 7,01 тоже принадлежат ему, например 7,001.
б) Наибольшее число — 17 (входит в промежуток). Наименьшего числа нет: для любого a > 7 число (a + 7)/2 меньше a и больше 7.
Ответ: а) принадлежит; да, можно, например 7,001; б) наименьшего нет, наибольшее — 17.
1034. Укажите, если это возможно, наименьшее и наибольшее числа, принадлежащие промежутку: а) [12; 37]; б) [8; 13); в) (11; 14); г) (3; 19].
Наименьшее (наибольшее) число есть, только если соответствующий конец входит в промежуток.
а) [12; 37]: наименьшее 12, наибольшее 37.
б) [8; 13): наименьшее 8, наибольшего нет.
в) (11; 14): ни наименьшего, ни наибольшего нет.
г) (3; 19]: наименьшего нет, наибольшее 19.
а) [12; 37]: наименьшее 12, наибольшее 37.
б) [8; 13): наименьшее 8, наибольшего нет.
в) (11; 14): ни наименьшего, ни наибольшего нет.
г) (3; 19]: наименьшего нет, наибольшее 19.
1035. Верно ли, что: а) (−5; 5) ∩ (−3; 2) = (−3; 2); б) (4; 11) ∪ (0; 6) = (4; 6); в) (−∞; 4) ∪ (1; +∞) = (−∞; +∞); г) (−∞; 2) ∩ (−2; +∞) = (−2; 2)?
а) Общая часть интервалов (−5; 5) и (−3; 2) — интервал (−3; 2), так как он целиком лежит в (−5; 5). Верно.
б) Объединение (4; 11) ∪ (0; 6) = (0; 11), а не (4; 6. (интервал (4; 6) — это пересечение). Неверно.
в) Интервалы (−∞; 4) и (1; +∞) перекрываются на (1; 4), и вместе покрывают всю прямую: любое число либо меньше 4, либо больше 1. Верно.
г) Пересечение: x < 2 и x > −2, то есть (−2; 2). Верно.
Ответ: а) верно; б) неверно; в) верно; г) верно.
б) Объединение (4; 11) ∪ (0; 6) = (0; 11), а не (4; 6. (интервал (4; 6) — это пересечение). Неверно.
в) Интервалы (−∞; 4) и (1; +∞) перекрываются на (1; 4), и вместе покрывают всю прямую: любое число либо меньше 4, либо больше 1. Верно.
г) Пересечение: x < 2 и x > −2, то есть (−2; 2). Верно.
Ответ: а) верно; б) неверно; в) верно; г) верно.