Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 11 — с. 228
1019. В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?
Пусть v км/ч — собственная скорость катера, u км/ч — скорость течения, 0 < u < v. Время для первого случая: 20/(v + u) + 20/(v − u) = 20 · 2v/(v² − u²) = 40v/(v² − u²) ч. Время для второго случая: 40/v ч.
Сравним: 40v/(v² − u²) − 40/v = 40(v² − (v² − u²))/(v(v² − u²)) = 40u²/(v(v² − u²)) > 0.
Ответ: больше времени катер затратит, если пройдёт 20 км по течению и 20 км против течения.
Сравним: 40v/(v² − u²) − 40/v = 40(v² − (v² − u²))/(v(v² − u²)) = 40u²/(v(v² − u²)) > 0.
Ответ: больше времени катер затратит, если пройдёт 20 км по течению и 20 км против течения.
1020. (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?
1. Выскажите предположение об ожидаемом ответе.
2. Введите обозначения: x км/ч — скорость лодки в стоячей воде; y км/ч и z км/ч — скорости течения первой и второй рек; s км — расстояние, на которое отплывала лодка.
3. Запишите формулы для вычисления времени t₁ ч и t₂ ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.
4. Найдите разность t₁ − t₂ и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.
5. Подтвердилось ли ваше предположение?
1) Предположение: на более быстрой реке лодка затратит больше времени, потому что течение сильнее замедляет движение против течения, чем ускоряет по течению.
2) Обозначения даны в условии: x > z > y > 0.
3) t₁ = s/(x + y) + s/(x − y) = 2sx/(x² − y²); t₂ = s/(x + z) + s/(x − z) = 2sx/(x² − z²).
4) t₁ − t₂ = 2sx(1/(x² − y²) − 1/(x² − z²)) = 2sx((x² − z²) − (x² − y²))/((x² − y²)(x² − z²)) = 2sx(y² − z²)/((x² − y²)(x² − z²)). Так как z > y > 0, имеем y² − z² < 0, а x² − y² > 0 и x² − z² > 0 (скорость лодки больше скорости течения). Значит, t₁ − t₂ < 0, то есть t₁ < t₂.
Больше времени лодка затратила во второй день, на более быстрой реке.
5) Предположение подтвердилось.
2) Обозначения даны в условии: x > z > y > 0.
3) t₁ = s/(x + y) + s/(x − y) = 2sx/(x² − y²); t₂ = s/(x + z) + s/(x − z) = 2sx/(x² − z²).
4) t₁ − t₂ = 2sx(1/(x² − y²) − 1/(x² − z²)) = 2sx((x² − z²) − (x² − y²))/((x² − y²)(x² − z²)) = 2sx(y² − z²)/((x² − y²)(x² − z²)). Так как z > y > 0, имеем y² − z² < 0, а x² − y² > 0 и x² − z² > 0 (скорость лодки больше скорости течения). Значит, t₁ − t₂ < 0, то есть t₁ < t₂.
Больше времени лодка затратила во второй день, на более быстрой реке.
5) Предположение подтвердилось.
1021. Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью 15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?
Пусть расстояние от посёлка до города s км. Время в пути у Смирнова: 2s/15 ч. У Антонова скорости 16 км/ч и 14 км/ч, время: s/16 + s/14 = s(14 + 16)/(16 · 14) = 30s/224 = 15s/112 ч.
Сравним 2/15 и 15/112: приведём к общему знаменателю 15 · 112 = 1680: 2/15 = 224/1680, 15/112 = 225/1680. Так как 224 < 225, то 2s/15 < 15s/112.
Время в городе у обоих одинаково, выехали одновременно, поэтому Смирнов затратил меньше времени.
Ответ: раньше вернулся Смирнов.
Сравним 2/15 и 15/112: приведём к общему знаменателю 15 · 112 = 1680: 2/15 = 224/1680, 15/112 = 225/1680. Так как 224 < 225, то 2s/15 < 15s/112.
Время в городе у обоих одинаково, выехали одновременно, поэтому Смирнов затратил меньше времени.
Ответ: раньше вернулся Смирнов.
1022. Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
Пусть стороны треугольника a, b, c, полупериметр p = (a + b + c)/2. По неравенству треугольника сторона меньше суммы двух других: a < b + c. Тогда p − a = (a + b + c)/2 − a = (b + c − a)/2 > 0, то есть p > a. Аналогично b < a + c ⇒ p − b = (a + c − b)/2 > 0 и c < a + b ⇒ p − c = (a + b − c)/2 > 0. Значит, p больше каждой стороны.
1023. Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.
Пусть стороны прямоугольника a и b, периметр P = 2(a + b). Квадрат с тем же периметром имеет сторону P/4 = (a + b)/2, а его площадь равна ((a + b)/2)². Площадь прямоугольника ab.
Разность: ((a + b)/2)² − ab = (a² + 2ab + b² − 4ab)/4 = (a − b)²/4 ≥ 0.
Ответ: площадь квадрата не меньше площади прямоугольника с тем же периметром; они равны только если a = b, то есть прямоугольник — квадрат.
Разность: ((a + b)/2)² − ab = (a² + 2ab + b² − 4ab)/4 = (a − b)²/4 ≥ 0.
Ответ: площадь квадрата не меньше площади прямоугольника с тем же периметром; они равны только если a = b, то есть прямоугольник — квадрат.
1024. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство: а) a² + ab + b² ≥ 0; б) a² − ab + b² ≥ 0.
а) a² + ab + b² = (a² + 2 · a · (b/2) + b²/4) + 3b²/4 = (a + b/2)² + 3b²/4 ≥ 0, так как оба слагаемых неотрицательны.
б) a² − ab + b² = (a² − 2 · a · (b/2) + b²/4) + 3b²/4 = (a − b/2)² + 3b²/4 ≥ 0.
Равенство в обоих случаях только при a = b = 0.
б) a² − ab + b² = (a² − 2 · a · (b/2) + b²/4) + 3b²/4 = (a − b/2)² + 3b²/4 ≥ 0.
Равенство в обоих случаях только при a = b = 0.
1025. Докажите, что при a > 0 и b > 0 верно неравенство: а) (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4; б) a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b.
а) (a + b)(1/a + 1/b) = 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + (a² + b²)/(ab). Так как a² + b² ≥ 2ab, то (a² + b²)/(ab) ≥ 2, и выражение не меньше 4. Равенство при a = b.
б) a/b² + b/a² − 1/a − 1/b = (a/b² − 1/b) + (b/a² − 1/a) = (a − b)/b² + (b − a)/a² = (a − b)(1/b² − 1/a²) = (a − b)(a² − b²)/(a²b²) = (a − b)²(a + b)/(a²b²) ≥ 0. Неравенство доказано.
б) a/b² + b/a² − 1/a − 1/b = (a/b² − 1/b) + (b/a² − 1/a) = (a − b)/b² + (b − a)/a² = (a − b)(1/b² − 1/a²) = (a − b)(a² − b²)/(a²b²) = (a − b)²(a + b)/(a²b²) ≥ 0. Неравенство доказано.