Глава IV. § 12. п. 41 Доказательство неравенств — с. 227
1011. Докажите, что если x + y + z = 1, то √(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 5.
Для любого числа u ≥ 0 верно √u ≤ (u + 1)/2, так как (√u − 1)² ≥ 0 ⇒ u + 1 ≥ 2√u.
Положим u = 4x + 1 (выражение имеет смысл, когда 4x + 1 ≥ 0): √(4x + 1) ≤ (4x + 2)/2 = 2x + 1. Аналогично √(4y + 1) ≤ 2y + 1, √(4z + 1) ≤ 2z + 1.
Сложим: √(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 2(x + y + z) + 3 = 2 + 3 = 5. Что и требовалось доказать.
Положим u = 4x + 1 (выражение имеет смысл, когда 4x + 1 ≥ 0): √(4x + 1) ≤ (4x + 2)/2 = 2x + 1. Аналогично √(4y + 1) ≤ 2y + 1, √(4z + 1) ≤ 2z + 1.
Сложим: √(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 2(x + y + z) + 3 = 2 + 3 = 5. Что и требовалось доказать.
1012. Докажите, что при любом a, большем 1, верно неравенство 1/√a < √(a + 1) − √(a − 1).
Преобразуем разность, избавившись от иррациональности в числителе: √(a + 1) − √(a − 1) = ((a + 1) − (a − 1))/(√(a + 1) + √(a − 1)) = 2/(√(a + 1) + √(a − 1)).
Нужно показать, что 1/√a < 2/(√(a + 1) + √(a − 1)). Все величины положительны, поэтому неравенство равносильно √(a + 1) + √(a − 1) < 2√a.
Возведём в квадрат (обе части положительны): 2a + 2√(a² − 1) < 4a ⇔ √(a² − 1) < a ⇔ a² − 1 < a² — верно. Поскольку все переходы равносильны, исходное неравенство верно.
Нужно показать, что 1/√a < 2/(√(a + 1) + √(a − 1)). Все величины положительны, поэтому неравенство равносильно √(a + 1) + √(a − 1) < 2√a.
Возведём в квадрат (обе части положительны): 2a + 2√(a² − 1) < 4a ⇔ √(a² − 1) < a ⇔ a² − 1 < a² — верно. Поскольку все переходы равносильны, исходное неравенство верно.
1013. Велосипедист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из посёлка в город и обратно, чтобы, пробыв в городе полчаса, вернуться в посёлок к намеченному сроку. Однако на пути из посёлка в город он ехал со скоростью, на 2 км/ч меньшей намеченной, а спустя полчаса возвращался из города в посёлок со скоростью, на 2 км/ч большей намеченной. Успел ли велосипедист вернуться в посёлок к назначенному сроку? [фотография велосипедиста]
Пусть намеченная скорость v км/ч (v > 2), расстояние до города s км. По плану время в пути равно 2s/v ч (плюс полчаса в городе).
Фактически: s/(v − 2) ч в город, полчаса в городе, s/(v + 2) ч обратно. Время в движении: s/(v − 2) + s/(v + 2) = 2sv/(v² − 4).
Сравним с планом: 2sv/(v² − 4) − 2s/v = 2s(v² − (v² − 4))/(v(v² − 4)) = 8s/(v(v² − 4)) > 0.
Фактическое время движения больше запланированного, а стоянка в городе по длительности та же. Значит, велосипедист опоздал.
Ответ: не успел.
Фактически: s/(v − 2) ч в город, полчаса в городе, s/(v + 2) ч обратно. Время в движении: s/(v − 2) + s/(v + 2) = 2sv/(v² − 4).
Сравним с планом: 2sv/(v² − 4) − 2s/v = 2s(v² − (v² − 4))/(v(v² − 4)) = 8s/(v(v² − 4)) > 0.
Фактическое время движения больше запланированного, а стоянка в городе по длительности та же. Значит, велосипедист опоздал.
Ответ: не успел.
1014. Докажите неравенство: а) (6y − 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1); б) (3y − 1)(2y + 1) > (2y − 1)(2 + 3y).
а) (6y − 1)(y + 2) = 6y² + 12y − y − 2 = 6y² + 11y − 2. (3y + 4)(2y + 1) = 6y² + 3y + 8y + 4 = 6y² + 11y + 4. Разность правой и левой частей: (6y² + 11y + 4) − (6y² + 11y − 2) = 6 > 0. Неравенство верно.
б) (3y − 1)(2y + 1) = 6y² + 3y − 2y − 1 = 6y² + y − 1. (2y − 1)(2 + 3y) = 4y + 6y² − 2 − 3y = 6y² + y − 2. Разность левой и правой частей: (6y² + y − 1) − (6y² + y − 2) = 1 > 0. Неравенство верно.
б) (3y − 1)(2y + 1) = 6y² + 3y − 2y − 1 = 6y² + y − 1. (2y − 1)(2 + 3y) = 4y + 6y² − 2 − 3y = 6y² + y − 2. Разность левой и правой частей: (6y² + y − 1) − (6y² + y − 2) = 1 > 0. Неравенство верно.
1015. Докажите неравенство: а) (x + 1)² ≥ 4x; б) (3b + 1)² > 6b; в) 4(x + 2) < (x + 3)² − 2x; г) 1 + (m + 2)² > 3(2m − 1).
а) (x + 1)² − 4x = x² + 2x + 1 − 4x = x² − 2x + 1 = (x − 1)² ≥ 0.
б) (3b + 1)² − 6b = 9b² + 6b + 1 − 6b = 9b² + 1 > 0.
в) (x + 3)² − 2x − 4(x + 2) = x² + 6x + 9 − 2x − 4x − 8 = x² + 1 > 0.
г) 1 + (m + 2)² − 3(2m − 1) = 1 + m² + 4m + 4 − 6m + 3 = m² − 2m + 8 = (m − 1)² + 7 > 0.
Во всех случаях разность левой и правой частей имеет нужный знак, значит, неравенства доказаны.
б) (3b + 1)² − 6b = 9b² + 6b + 1 − 6b = 9b² + 1 > 0.
в) (x + 3)² − 2x − 4(x + 2) = x² + 6x + 9 − 2x − 4x − 8 = x² + 1 > 0.
г) 1 + (m + 2)² − 3(2m − 1) = 1 + m² + 4m + 4 − 6m + 3 = m² − 2m + 8 = (m − 1)² + 7 > 0.
Во всех случаях разность левой и правой частей имеет нужный знак, значит, неравенства доказаны.
1016. Верно ли неравенство: а) √7 + 2√5 < 2 + √35; б) 4√6 + 2 > 2√3 + 4√2?
а) Найдём разность: (2 + √35) − (√7 + 2√5) = 2 + √5·√7 − √7 − 2√5 = (√5 − 1)(√7 − 2). Так как √5 > 1 и √7 > 2, разность положительна. Неравенство верно.
б) (4√6 + 2) − (2√3 + 4√2) = 4√2·√3 − 4√2 − 2√3 + 2 = 4√2(√3 − 1) − 2(√3 − 1) = (√3 − 1)(4√2 − 2). Так как √3 > 1 и 4√2 > 2, разность положительна. Неравенство верно.
Ответ: а) верно; б) верно.
б) (4√6 + 2) − (2√3 + 4√2) = 4√2·√3 − 4√2 − 2√3 + 2 = 4√2(√3 − 1) − 2(√3 − 1) = (√3 − 1)(4√2 − 2). Так как √3 > 1 и 4√2 > 2, разность положительна. Неравенство верно.
Ответ: а) верно; б) верно.
1017. Докажите неравенство: а) a² + b² + 2 ≥ 2(a + b); б) a² + b² + c² + 5 > 2(a + b + c).
а) a² + b² + 2 − 2a − 2b = (a² − 2a + 1) + (b² − 2b + 1) = (a − 1)² + (b − 1)² ≥ 0.
б) a² + b² + c² + 5 − 2a − 2b − 2c = (a − 1)² + (b − 1)² + (c − 1)² + 2 ≥ 2 > 0.
Неравенства доказаны.
б) a² + b² + c² + 5 − 2a − 2b − 2c = (a − 1)² + (b − 1)² + (c − 1)² + 2 ≥ 2 > 0.
Неравенства доказаны.
1018. а) Докажите, что при a > 3 значение выражения ((a − 3)/(a + 3) − (a + 3)/(a − 3))(1 + 3/a) отрицательно. б) Докажите, что при y > 1 значение выражения (y² + 3)/(y − 1) − 2/y : (1/(y² − y) + (y − 3)/(y² − 1)) положительно.
а) Первая скобка: ((a − 3)² − (a + 3)²)/((a + 3)(a − 3)) = (−12a)/((a + 3)(a − 3)). Вторая скобка: (a + 3)/a. Произведение: −12a(a + 3)/((a + 3)(a − 3)a) = −12/(a − 3). При a > 3 знаменатель a − 3 > 0, значит, выражение отрицательно.
б) Скобка: 1/(y(y − 1)) + (y − 3)/((y − 1)(y + 1)) = ((y + 1) + y(y − 3))/(y(y − 1)(y + 1)) = (y² − 2y + 1)/(y(y − 1)(y + 1)) = (y − 1)/(y(y + 1)).
Деление: (2/y) : ((y − 1)/(y(y + 1))) = 2(y + 1)/(y − 1). Всё выражение: (y² + 3)/(y − 1) − 2(y + 1)/(y − 1) = (y² − 2y + 1)/(y − 1) = (y − 1)²/(y − 1) = y − 1. При y > 1 значение y − 1 > 0, то есть выражение положительно.
б) Скобка: 1/(y(y − 1)) + (y − 3)/((y − 1)(y + 1)) = ((y + 1) + y(y − 3))/(y(y − 1)(y + 1)) = (y² − 2y + 1)/(y(y − 1)(y + 1)) = (y − 1)/(y(y + 1)).
Деление: (2/y) : ((y − 1)/(y(y + 1))) = 2(y + 1)/(y − 1). Всё выражение: (y² + 3)/(y − 1) − 2(y + 1)/(y − 1) = (y² − 2y + 1)/(y − 1) = (y − 1)²/(y − 1) = y − 1. При y > 1 значение y − 1 > 0, то есть выражение положительно.