Глава IV. § 12. Упражнения для повторения — с. 223
1000. Укажите допустимые значения переменной: а) √(12 − 25x)/6; б) 1/√(5x − 11); в) 4x/√((3x − 2)²).
а) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: 12 − 25x ≥ 0 ⇒ 25x ≤ 12 ⇒ x ≤ 0,48.
б) Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным: 5x − 11 > 0 ⇒ x > 2,2.
в) √((3x − 2)²) = |3x − 2|; знаменатель не должен быть равен нулю: 3x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2/3.
Ответ: а) x ≤ 0,48; б) x > 2,2; в) x ≠ 2/3.
б) Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным: 5x − 11 > 0 ⇒ x > 2,2.
в) √((3x − 2)²) = |3x − 2|; знаменатель не должен быть равен нулю: 3x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2/3.
Ответ: а) x ≤ 0,48; б) x > 2,2; в) x ≠ 2/3.
1001. Найдите все натуральные значения n, при которых значение дроби (9n² + 12n + 12)/n — натуральное число.
Разделим почленно: (9n² + 12n + 12)/n = 9n + 12 + 12/n. Числа 9n и 12 натуральны, поэтому дробь будет натуральным числом тогда и только тогда, когда 12/n — натуральное число, то есть n — делитель числа 12.
Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ответ: n = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ответ: n = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
1002. а) Выразите переменную h через S и a, если S = (1/2)ah. б) Выразите переменную p через s и m, если s/p = 0,5m. в) Выразите переменную t через s и a, если s = at²/2 и t > 0.
а) S = ah/2 ⇒ 2S = ah ⇒ h = 2S/a (a ≠ 0).
б) s/p = 0,5m ⇒ p · 0,5m = s ⇒ p = s/(0,5m) = 2s/m (m ≠ 0).
в) s = at²/2 ⇒ 2s = at² ⇒ t² = 2s/a. Так как t > 0, t = √(2s/a).
Ответ: а) h = 2S/a; б) p = 2s/m; в) t = √(2s/a).
б) s/p = 0,5m ⇒ p · 0,5m = s ⇒ p = s/(0,5m) = 2s/m (m ≠ 0).
в) s = at²/2 ⇒ 2s = at² ⇒ t² = 2s/a. Так как t > 0, t = √(2s/a).
Ответ: а) h = 2S/a; б) p = 2s/m; в) t = √(2s/a).
1003. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности?
Пусть по ровной местности велосипедист ехал со скоростью x км/ч, тогда в гору — (x − 5) км/ч, причём x > 5. Время в гору 20/(x − 5) ч, по ровной местности 60/x ч. Всего 6 ч:
20/(x − 5) + 60/x = 6.
Умножим на x(x − 5): 20x + 60(x − 5) = 6x(x − 5) ⇒ 80x − 300 = 6x² − 30x ⇒ 6x² − 110x + 300 = 0 ⇒ 3x² − 55x + 150 = 0.
D = 55² − 4 · 3 · 150 = 3025 − 1800 = 1225 = 35². x = (55 ± 35)/6: x₁ = 15, x₂ = 10/3. Условию x > 5 удовлетворяет только x = 15.
Скорость в гору: 15 − 5 = 10 км/ч. Проверка: 20/10 + 60/15 = 2 + 4 = 6 ч.
Ответ: 10 км/ч в гору и 15 км/ч по ровной местности.
20/(x − 5) + 60/x = 6.
Умножим на x(x − 5): 20x + 60(x − 5) = 6x(x − 5) ⇒ 80x − 300 = 6x² − 30x ⇒ 6x² − 110x + 300 = 0 ⇒ 3x² − 55x + 150 = 0.
D = 55² − 4 · 3 · 150 = 3025 − 1800 = 1225 = 35². x = (55 ± 35)/6: x₁ = 15, x₂ = 10/3. Условию x > 5 удовлетворяет только x = 15.
Скорость в гору: 15 − 5 = 10 км/ч. Проверка: 20/10 + 60/15 = 2 + 4 = 6 ч.
Ответ: 10 км/ч в гору и 15 км/ч по ровной местности.
Вопрос 1. Что называется пересечением двух множеств? объединением двух множеств?
Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно (то есть из их общих элементов). Обозначение: A ∩ B.
Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (первому, второму или обоим). Обозначение: A ∪ B.
Пример: для A = {1; 2; 3} и B = {2; 3; 4} имеем A ∩ B = {2; 3}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4}.
Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (первому, второму или обоим). Обозначение: A ∪ B.
Пример: для A = {1; 2; 3} и B = {2; 3; 4} имеем A ∩ B = {2; 3}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4}.
Вопрос 2. Изобразите на координатной прямой известные вам виды числовых промежутков. Назовите и обозначьте их.
Пусть a < b. Числовые промежутки (закрашенная точка — конец входит в промежуток, пустая — не входит):
1) вся числовая прямая (−∞; +∞) — все числа;
2) интервал (a; b) — числа x, для которых a < x < b;
3) отрезок [a; b] — числа x, для которых a ≤ x ≤ b;
4) полуинтервалы [a; b) (a ≤ x < b) и (a; b] (a < x ≤ b);
5) числовые лучи [a; +∞) (x ≥ a) и (−∞; a] (x ≤ a);
6) открытые числовые лучи (a; +∞) (x > a) и (−∞; a) (x < a).
Интервалы, полуинтервалы и отрезки задают ограниченные промежутки, а лучи и вся прямая — неограниченные. Знаки −∞ и +∞ читаются «минус бесконечность» и «плюс бесконечность»; рядом с ними всегда ставится круглая скобка.
1) вся числовая прямая (−∞; +∞) — все числа;
2) интервал (a; b) — числа x, для которых a < x < b;
3) отрезок [a; b] — числа x, для которых a ≤ x ≤ b;
4) полуинтервалы [a; b) (a ≤ x < b) и (a; b] (a < x ≤ b);
5) числовые лучи [a; +∞) (x ≥ a) и (−∞; a] (x ≤ a);
6) открытые числовые лучи (a; +∞) (x > a) и (−∞; a) (x < a).
Интервалы, полуинтервалы и отрезки задают ограниченные промежутки, а лучи и вся прямая — неограниченные. Знаки −∞ и +∞ читаются «минус бесконечность» и «плюс бесконечность»; рядом с ними всегда ставится круглая скобка.
Вопрос 3. Что называется решением неравенства?
Является ли решением неравенства 3x − 11 > 1 число 5? число 2?
Что значит решить неравенство?
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого получается верное числовое неравенство.
Число 5: 3 · 5 − 11 = 4, 4 > 1 — верно, значит, 5 является решением.
Число 2: 3 · 2 − 11 = −5, −5 > 1 — неверно, значит, 2 не является решением.
Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. (Для данного неравенства: 3x > 12, x > 4.)
Число 5: 3 · 5 − 11 = 4, 4 > 1 — верно, значит, 5 является решением.
Число 2: 3 · 2 − 11 = −5, −5 > 1 — неверно, значит, 2 не является решением.
Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. (Для данного неравенства: 3x > 12, x > 4.)
Вопрос 4. Что называется решением системы неравенств?
Является ли решением системы неравенств {2x + 1 > 3, 3x < 10 число 3? число 5?
Что значит решить систему неравенств?
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Число 3: 2 · 3 + 1 = 7 > 3 — верно; 3 · 3 = 9 < 10 — верно. Оба неравенства верны, значит, 3 является решением системы.
Число 5: 2 · 5 + 1 = 11 > 3 — верно; 3 · 5 = 15 < 10 — неверно. Значит, 5 не является решением системы.
Решить систему неравенств — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. (Для данной системы: x > 1 и x < 10/3, то есть 1 < x < 3 1/3.)
Число 3: 2 · 3 + 1 = 7 > 3 — верно; 3 · 3 = 9 < 10 — верно. Оба неравенства верны, значит, 3 является решением системы.
Число 5: 2 · 5 + 1 = 11 > 3 — верно; 3 · 5 = 15 < 10 — неверно. Значит, 5 не является решением системы.
Решить систему неравенств — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. (Для данной системы: x > 1 и x < 10/3, то есть 1 < x < 3 1/3.)