Глава IV. § 12. п. 40 Решение систем неравенств с одной переменной — с. 221
986. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями: а) {3 − 2a < 13, 5a < 17; б) {12 − 6x ≤ 0, 3x + 1 ≤ 25 − x; в) {2 − 6y < 14, 1 < 21 − 5y; г) {3 − 4x < 15, 1 − 2x > 0.
Решаем каждое неравенство системы и находим общую часть решений.
а) 3 − 2a < 13 ⇒ −2a < 10 ⇒ a > −5. 5a < 17 ⇒ a < 3,4. Решение системы: −5 < a < 3,4. Целые числа: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
б) 12 − 6x ≤ 0 ⇒ x ≥ 2. 3x + 1 ≤ 25 − x ⇒ 4x ≤ 24 ⇒ x ≤ 6. Решение: 2 ≤ x ≤ 6. Целые числа: 2, 3, 4, 5, 6.
в) 2 − 6y < 14 ⇒ −6y < 12 ⇒ y > −2. 1 < 21 − 5y ⇒ 5y < 20 ⇒ y < 4. Решение: −2 < y < 4. Целые числа: −1, 0, 1, 2, 3.
г) 3 − 4x < 15 ⇒ −4x < 12 ⇒ x > −3. 1 − 2x > 0 ⇒ x < 0,5. Решение: −3 < x < 0,5. Целые числа: −2, −1, 0.
Ответ: а) (−5; 3,4), целые −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; б) [2; 6], целые 2, 3, 4, 5, 6; в) (−2; 4), целые −1, 0, 1, 2, 3; г) (−3; 0,5), целые −2, −1, 0.
а) 3 − 2a < 13 ⇒ −2a < 10 ⇒ a > −5. 5a < 17 ⇒ a < 3,4. Решение системы: −5 < a < 3,4. Целые числа: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
б) 12 − 6x ≤ 0 ⇒ x ≥ 2. 3x + 1 ≤ 25 − x ⇒ 4x ≤ 24 ⇒ x ≤ 6. Решение: 2 ≤ x ≤ 6. Целые числа: 2, 3, 4, 5, 6.
в) 2 − 6y < 14 ⇒ −6y < 12 ⇒ y > −2. 1 < 21 − 5y ⇒ 5y < 20 ⇒ y < 4. Решение: −2 < y < 4. Целые числа: −1, 0, 1, 2, 3.
г) 3 − 4x < 15 ⇒ −4x < 12 ⇒ x > −3. 1 − 2x > 0 ⇒ x < 0,5. Решение: −3 < x < 0,5. Целые числа: −2, −1, 0.
Ответ: а) (−5; 3,4), целые −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; б) [2; 6], целые 2, 3, 4, 5, 6; в) (−2; 4), целые −1, 0, 1, 2, 3; г) (−3; 0,5), целые −2, −1, 0.
987. Найдите целые решения системы неравенств: а) {y ≥ 0, 7,2 − y ≥ 4; б) {12a − 37 > 0, 6a ≤ 42; в) {6 − 4b > 0, 3b − 1 > 0; г) {3 − 18x < 0, 0,2 − 0,1x > 0.
а) 7,2 − y ≥ 4 ⇒ y ≤ 3,2. Вместе с y ≥ 0: 0 ≤ y ≤ 3,2. Целые: 0, 1, 2, 3.
б) 12a > 37 ⇒ a > 37/12 = 3 1/12. 6a ≤ 42 ⇒ a ≤ 7. Решение: 3 1/12 < a ≤ 7. Целые: 4, 5, 6, 7.
в) 6 − 4b > 0 ⇒ b < 1,5. 3b − 1 > 0 ⇒ b > 1/3. Решение: 1/3 < b < 1,5. Целое: 1.
г) 3 − 18x < 0 ⇒ x > 1/6. 0,2 − 0,1x > 0 ⇒ x < 2. Решение: 1/6 < x < 2. Целое: 1.
Ответ: а) 0, 1, 2, 3; б) 4, 5, 6, 7; в) 1; г) 1.
б) 12a > 37 ⇒ a > 37/12 = 3 1/12. 6a ≤ 42 ⇒ a ≤ 7. Решение: 3 1/12 < a ≤ 7. Целые: 4, 5, 6, 7.
в) 6 − 4b > 0 ⇒ b < 1,5. 3b − 1 > 0 ⇒ b > 1/3. Решение: 1/3 < b < 1,5. Целое: 1.
г) 3 − 18x < 0 ⇒ x > 1/6. 0,2 − 0,1x > 0 ⇒ x < 2. Решение: 1/6 < x < 2. Целое: 1.
Ответ: а) 0, 1, 2, 3; б) 4, 5, 6, 7; в) 1; г) 1.
988. Решите систему неравенств: а) {2,5a − 0,5(8 − a) < a + 1,6, 1,5(2a − 1) − 2a < a + 2,9; б) {0,7(5a + 1) − 0,5(1 + a) < 3a, 2a − (a − 1,7) > 6,7.
а) Первое неравенство: 2,5a − 4 + 0,5a < a + 1,6 ⇒ 3a − 4 < a + 1,6 ⇒ 2a < 5,6 ⇒ a < 2,8.
Второе: 3a − 1,5 − 2a < a + 2,9 ⇒ a − 1,5 < a + 2,9 ⇒ −1,5 < 2,9 — верно при любом a. Значит, система равносильна первому неравенству: a < 2,8.
б) Первое неравенство: 3,5a + 0,7 − 0,5 − 0,5a < 3a ⇒ 3a + 0,2 < 3a ⇒ 0,2 < 0 — неверно ни при каком a. Следовательно, у системы нет решений (второе неравенство можно не решать: 2a − a + 1,7 > 6,7 ⇒ a > 5, но оно не спасает систему).
Ответ: а) (−∞; 2,8); б) решений нет.
Второе: 3a − 1,5 − 2a < a + 2,9 ⇒ a − 1,5 < a + 2,9 ⇒ −1,5 < 2,9 — верно при любом a. Значит, система равносильна первому неравенству: a < 2,8.
б) Первое неравенство: 3,5a + 0,7 − 0,5 − 0,5a < 3a ⇒ 3a + 0,2 < 3a ⇒ 0,2 < 0 — неверно ни при каком a. Следовательно, у системы нет решений (второе неравенство можно не решать: 2a − a + 1,7 > 6,7 ⇒ a > 5, но оно не спасает систему).
Ответ: а) (−∞; 2,8); б) решений нет.
989. Решите систему неравенств: а) {x/3 + x/4 < 7, 1 − x/6 > 0; б) {y − (y − 1)/2 > 1, y/3 < 5; в) {(3x − 1)/2 − x ≤ 2, 2x − x/3 ≥ 1; г) {2p − (p − 2)/5 > 4, p/2 − p/8 ≤ 6.
а) x/3 + x/4 = 7x/12 < 7 ⇒ x < 12. 1 − x/6 > 0 ⇒ x < 6. Общая часть: x < 6.
б) Умножим первое на 2: 2y − (y − 1) > 2 ⇒ y + 1 > 2 ⇒ y > 1. Второе: y < 15. Решение: 1 < y < 15.
в) Первое умножим на 2: 3x − 1 − 2x ≤ 4 ⇒ x ≤ 5. Второе: 5x/3 ≥ 1 ⇒ x ≥ 0,6. Решение: 0,6 ≤ x ≤ 5.
г) Первое умножим на 5: 10p − (p − 2) > 20 ⇒ 9p > 18 ⇒ p > 2. Второе умножим на 8: 4p − p ≤ 48 ⇒ p ≤ 16. Решение: 2 < p ≤ 16.
Ответ: а) (−∞; 6); б) (1; 15); в) [0,6; 5]; г) (2; 16].
б) Умножим первое на 2: 2y − (y − 1) > 2 ⇒ y + 1 > 2 ⇒ y > 1. Второе: y < 15. Решение: 1 < y < 15.
в) Первое умножим на 2: 3x − 1 − 2x ≤ 4 ⇒ x ≤ 5. Второе: 5x/3 ≥ 1 ⇒ x ≥ 0,6. Решение: 0,6 ≤ x ≤ 5.
г) Первое умножим на 5: 10p − (p − 2) > 20 ⇒ 9p > 18 ⇒ p > 2. Второе умножим на 8: 4p − p ≤ 48 ⇒ p ≤ 16. Решение: 2 < p ≤ 16.
Ответ: а) (−∞; 6); б) (1; 15); в) [0,6; 5]; г) (2; 16].
990. Решите систему неравенств: а) {(x − 1)/2 − (x − 3)/3 < 2, (13x − 1)/2 > 0; б) {(3x + 1)/2 < −1, x/2 − 1 < x; в) {4 − (y − 1)/3 ≥ y, (7y − 1)/8 ≥ 6; г) {(5a + 8)/3 − a ≥ 2a, 1 − (6 − 15a)/4 ≥ a.
а) Первое умножим на 6: 3(x − 1) − 2(x − 3) < 12 ⇒ x + 3 < 12 ⇒ x < 9. Второе: 13x − 1 > 0 ⇒ x > 1/13. Решение: 1/13 < x < 9.
б) 3x + 1 < −2 ⇒ x < −1. x/2 − 1 < x ⇒ −1 < x/2 ⇒ x > −2. Решение: −2 < x < −1.
в) Первое умножим на 3: 12 − (y − 1) ≥ 3y ⇒ 13 ≥ 4y ⇒ y ≤ 3,25. Второе: 7y − 1 ≥ 48 ⇒ y ≥ 7. Условия y ≤ 3,25 и y ≥ 7 несовместны: решений нет.
г) Первое умножим на 3: 5a + 8 − 3a ≥ 6a ⇒ 8 ≥ 4a ⇒ a ≤ 2. Второе умножим на 4: 4 − 6 + 15a ≥ 4a ⇒ 11a ≥ 2 ⇒ a ≥ 2/11. Решение: 2/11 ≤ a ≤ 2.
Ответ: а) (1/13; 9); б) (−2; −1); в) решений нет; г) [2/11; 2].
б) 3x + 1 < −2 ⇒ x < −1. x/2 − 1 < x ⇒ −1 < x/2 ⇒ x > −2. Решение: −2 < x < −1.
в) Первое умножим на 3: 12 − (y − 1) ≥ 3y ⇒ 13 ≥ 4y ⇒ y ≤ 3,25. Второе: 7y − 1 ≥ 48 ⇒ y ≥ 7. Условия y ≤ 3,25 и y ≥ 7 несовместны: решений нет.
г) Первое умножим на 3: 5a + 8 − 3a ≥ 6a ⇒ 8 ≥ 4a ⇒ a ≤ 2. Второе умножим на 4: 4 − 6 + 15a ≥ 4a ⇒ 11a ≥ 2 ⇒ a ≥ 2/11. Решение: 2/11 ≤ a ≤ 2.
Ответ: а) (1/13; 9); б) (−2; −1); в) решений нет; г) [2/11; 2].
991. Решите двойное неравенство: а) −3 < 2x − 1 < 3; б) −12 < 5 − x < 17; в) 2 < 6 − 2y < 5; г) −1 < 5y + 4 < 19.
К каждой части двойного неравенства применяем одни и те же преобразования.
а) −3 < 2x − 1 < 3. Прибавим 1: −2 < 2x < 4. Разделим на 2: −1 < x < 2.
б) −12 < 5 − x < 17. Вычтем 5: −17 < −x < 12. Умножим на −1 и поменяем знаки неравенств: −12 < x < 17.
в) 2 < 6 − 2y < 5. Вычтем 6: −4 < −2y < −1. Разделим на −2 (знаки меняются): 0,5 < y < 2.
г) −1 < 5y + 4 < 19. Вычтем 4: −5 < 5y < 15. Разделим на 5: −1 < y < 3.
Ответ: а) (−1; 2); б) (−12; 17); в) (0,5; 2); г) (−1; 3).
а) −3 < 2x − 1 < 3. Прибавим 1: −2 < 2x < 4. Разделим на 2: −1 < x < 2.
б) −12 < 5 − x < 17. Вычтем 5: −17 < −x < 12. Умножим на −1 и поменяем знаки неравенств: −12 < x < 17.
в) 2 < 6 − 2y < 5. Вычтем 6: −4 < −2y < −1. Разделим на −2 (знаки меняются): 0,5 < y < 2.
г) −1 < 5y + 4 < 19. Вычтем 4: −5 < 5y < 15. Разделим на 5: −1 < y < 3.
Ответ: а) (−1; 2); б) (−12; 17); в) (0,5; 2); г) (−1; 3).