Глава IV. § 12. п. 40 Решение систем неравенств с одной переменной — с. 222
992. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями: а) −6,5 < (7x − 6)/2 ≤ 20,5; б) −1 < (4 − a)/3 ≤ 5; в) −2 ≤ (3x − 1)/8 ≤ 0; г) −2,5 ≤ (1 − 3y)/2 ≤ 1,5.
а) Умножим все части на 2: −13 < 7x − 6 ≤ 41. Прибавим 6: −7 < 7x ≤ 47. Разделим на 7: −1 < x ≤ 47/7 = 6 5/7. Например, подходят 0; 1; 5.
б) Умножим на 3: −3 < 4 − a ≤ 15. Вычтем 4: −7 < −a ≤ 11. Умножим на −1: −11 ≤ a < 7. Например, подходят −11; 0; 6.
в) Умножим на 8: −16 ≤ 3x − 1 ≤ 0. Прибавим 1: −15 ≤ 3x ≤ 1. Разделим на 3: −5 ≤ x ≤ 1/3. Например, подходят −5; −1; 0.
г) Умножим на 2: −5 ≤ 1 − 3y ≤ 3. Вычтем 1: −6 ≤ −3y ≤ 2. Разделим на −3: −2/3 ≤ y ≤ 2. Например, подходят −2/3; 0; 2.
Ответ: а) (−1; 6 5/7]; б) [−11; 7); в) [−5; 1/3]; г) [−2/3; 2].
Оговорка: в условии напечатано 7x − 6; для него получается (−1; 6 5/7]. В ответах учебника указан промежуток (−2 5/7; 5], который соответствует выражению (7x + 6)/2; скорее всего, в тексте задачи опечатка.
б) Умножим на 3: −3 < 4 − a ≤ 15. Вычтем 4: −7 < −a ≤ 11. Умножим на −1: −11 ≤ a < 7. Например, подходят −11; 0; 6.
в) Умножим на 8: −16 ≤ 3x − 1 ≤ 0. Прибавим 1: −15 ≤ 3x ≤ 1. Разделим на 3: −5 ≤ x ≤ 1/3. Например, подходят −5; −1; 0.
г) Умножим на 2: −5 ≤ 1 − 3y ≤ 3. Вычтем 1: −6 ≤ −3y ≤ 2. Разделим на −3: −2/3 ≤ y ≤ 2. Например, подходят −2/3; 0; 2.
Ответ: а) (−1; 6 5/7]; б) [−11; 7); в) [−5; 1/3]; г) [−2/3; 2].
Оговорка: в условии напечатано 7x − 6; для него получается (−1; 6 5/7]. В ответах учебника указан промежуток (−2 5/7; 5], который соответствует выражению (7x + 6)/2; скорее всего, в тексте задачи опечатка.
993. Решите двойное неравенство: а) −1 ≤ 15x + 14 < 44; б) −1 ≤ (6 − a)/3 ≤ 1; в) −1,2 < 1 − 2y < 2,4; г) −2 < (4x − 1)/3 ≤ 0.
а) Вычтем 14: −15 ≤ 15x < 30. Разделим на 15: −1 ≤ x < 2.
б) Умножим на 3: −3 ≤ 6 − a ≤ 3. Вычтем 6: −9 ≤ −a ≤ −3. Умножим на −1: 3 ≤ a ≤ 9.
в) Вычтем 1: −2,2 < −2y < 1,4. Разделим на −2: −0,7 < y < 1,1.
г) Умножим на 3: −6 < 4x − 1 ≤ 0. Прибавим 1: −5 < 4x ≤ 1. Разделим на 4: −1,25 < x ≤ 0,25.
Ответ: а) [−1; 2); б) [3; 9]; в) (−0,7; 1,1); г) (−1,25; 0,25].
б) Умножим на 3: −3 ≤ 6 − a ≤ 3. Вычтем 6: −9 ≤ −a ≤ −3. Умножим на −1: 3 ≤ a ≤ 9.
в) Вычтем 1: −2,2 < −2y < 1,4. Разделим на −2: −0,7 < y < 1,1.
г) Умножим на 3: −6 < 4x − 1 ≤ 0. Прибавим 1: −5 < 4x ≤ 1. Разделим на 4: −1,25 < x ≤ 0,25.
Ответ: а) [−1; 2); б) [3; 9]; в) (−0,7; 1,1); г) (−1,25; 0,25].
994. а) При каких y значения двучлена 3y − 5 принадлежат промежутку (−1; 1)? б) При каких b значения дроби (5 − 2b)/4 принадлежат промежутку [−2; 1]?
а) Условие: −1 < 3y − 5 < 1. Прибавим 5: 4 < 3y < 6. Разделим на 3: 4/3 < y < 2, то есть 1 1/3 < y < 2.
б) Условие: −2 ≤ (5 − 2b)/4 ≤ 1. Умножим на 4: −8 ≤ 5 − 2b ≤ 4. Вычтем 5: −13 ≤ −2b ≤ −1. Разделим на −2: 0,5 ≤ b ≤ 6,5.
Ответ: а) при 1 1/3 < y < 2; б) при 0,5 ≤ b ≤ 6,5.
б) Условие: −2 ≤ (5 − 2b)/4 ≤ 1. Умножим на 4: −8 ≤ 5 − 2b ≤ 4. Вычтем 5: −13 ≤ −2b ≤ −1. Разделим на −2: 0,5 ≤ b ≤ 6,5.
Ответ: а) при 1 1/3 < y < 2; б) при 0,5 ≤ b ≤ 6,5.
995. При каких значениях a уравнение x² + 2ax + a² − 4 = 0 имеет два корня, принадлежащие промежутку (−6; 6)?
Левая часть — полный квадрат суммы: x² + 2ax + a² − 4 = (x + a)² − 4 = (x + a − 2)(x + a + 2). Корни: x₁ = −a + 2 и x₂ = −a − 2; они всегда различны (разность равна 4).
Оба корня должны лежать в промежутке (−6; 6):
−6 < −a − 2 ⇒ a < 4 и −a − 2 < 6 ⇒ a > −8;
−6 < −a + 2 ⇒ a < 8 и −a + 2 < 6 ⇒ a > −4.
Общая часть условий: −4 < a < 4.
Ответ: при −4 < a < 4.
Оба корня должны лежать в промежутке (−6; 6):
−6 < −a − 2 ⇒ a < 4 и −a − 2 < 6 ⇒ a > −8;
−6 < −a + 2 ⇒ a < 8 и −a + 2 < 6 ⇒ a > −4.
Общая часть условий: −4 < a < 4.
Ответ: при −4 < a < 4.
996. При каких значениях b уравнение x² − 6bx + 9b² − 16 = 0 имеет два отрицательных корня?
x² − 6bx + 9b² − 16 = (x − 3b)² − 16 = (x − 3b − 4)(x − 3b + 4). Корни: x₁ = 3b − 4 и x₂ = 3b + 4 (различны при любом b).
Больший корень 3b + 4 должен быть отрицательным (тогда и меньший отрицателен): 3b + 4 < 0 ⇒ b < −4/3 = −1 1/3.
Ответ: при b < −1 1/3.
Больший корень 3b + 4 должен быть отрицательным (тогда и меньший отрицателен): 3b + 4 < 0 ⇒ b < −4/3 = −1 1/3.
Ответ: при b < −1 1/3.
997. Решите систему неравенств: а) {x > 8, x > 7, x > −4; б) {y < −1, y < −5, y < 4; в) {m > 9, m > 10, m < 12; г) {q < 6, q < 5, q < 1.
Общая часть решений — это значения, удовлетворяющие всем неравенствам сразу.
а) x > 8, x > 7, x > −4: наибольшая из нижних границ равна 8, значит x > 8.
б) y < −1, y < −5, y < 4: наименьшая из верхних границ равна −5, значит y < −5.
в) m > 9 и m > 10 дают m > 10; вместе с m < 12: 10 < m < 12.
г) q < 6, q < 5, q < 1: остаётся q < 1.
Ответ: а) (8; +∞); б) (−∞; −5); в) (10; 12); г) (−∞; 1).
а) x > 8, x > 7, x > −4: наибольшая из нижних границ равна 8, значит x > 8.
б) y < −1, y < −5, y < 4: наименьшая из верхних границ равна −5, значит y < −5.
в) m > 9 и m > 10 дают m > 10; вместе с m < 12: 10 < m < 12.
г) q < 6, q < 5, q < 1: остаётся q < 1.
Ответ: а) (8; +∞); б) (−∞; −5); в) (10; 12); г) (−∞; 1).
998. Решите систему неравенств: а) {x − 4 < 8, 2x + 5 < 13, 3 − x > 1; б) {2x − 1 < x + 3, 5x − 1 > 6 − 2x, x − 5 < 0.
а) x − 4 < 8 ⇒ x < 12. 2x + 5 < 13 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4. 3 − x > 1 ⇒ x < 2. Общая часть: x < 2.
б) 2x − 1 < x + 3 ⇒ x < 4. 5x − 1 > 6 − 2x ⇒ 7x > 7 ⇒ x > 1. x − 5 < 0 ⇒ x < 5. Общая часть: 1 < x < 4.
Ответ: а) (−∞; 2); б) (1; 4).
б) 2x − 1 < x + 3 ⇒ x < 4. 5x − 1 > 6 − 2x ⇒ 7x > 7 ⇒ x > 1. x − 5 < 0 ⇒ x < 5. Общая часть: 1 < x < 4.
Ответ: а) (−∞; 2); б) (1; 4).
999. Решите систему неравенств: а) {3 − 2a < 13, a − 1 > 0, 5a − 35 < 0; б) {6 − 4a < 2, 6 − a > 2, 3a − 1 < 8; в) {5a − 8 > 7, 4 − a < 3, 2 − 3a > 10.
а) 3 − 2a < 13 ⇒ a > −5. a − 1 > 0 ⇒ a > 1. 5a − 35 < 0 ⇒ a < 7. Общая часть: 1 < a < 7.
б) 6 − 4a < 2 ⇒ a > 1. 6 − a > 2 ⇒ a < 4. 3a − 1 < 8 ⇒ a < 3. Общая часть: 1 < a < 3.
в) 5a − 8 > 7 ⇒ a > 3. 4 − a < 3 ⇒ a > 1. 2 − 3a > 10 ⇒ a < −8/3. Условия a > 3 и a < −8/3 несовместны: решений нет.
Ответ: а) (1; 7); б) (1; 3); в) решений нет.
б) 6 − 4a < 2 ⇒ a > 1. 6 − a > 2 ⇒ a < 4. 3a − 1 < 8 ⇒ a < 3. Общая часть: 1 < a < 3.
в) 5a − 8 > 7 ⇒ a > 3. 4 − a < 3 ⇒ a > 1. 2 − 3a > 10 ⇒ a < −8/3. Условия a > 3 и a < −8/3 несовместны: решений нет.
Ответ: а) (1; 7); б) (1; 3); в) решений нет.