Глава V. Дополнительные упражнения к главе V — с. 259
1158. Функция задана формулой y = 3,5x − 7. Задайте формулой какую-нибудь линейную функцию, график которой пересекает график первой функции: а) в точке, расположенной в третьей координатной четверти; б) в точке, расположенной на оси x; в) в точке, расположенной на оси y.
Две прямые с разными угловыми коэффициентами пересекаются в одной точке. Берём точку на графике y = 3,5x − 7 и проводим через неё прямую с угловым коэффициентом, не равным 3,5, например 1.
а) Третья четверть: x < 0, y < 0. При x = −2 получаем y = 3,5 · (−2) − 7 = −14, точка (−2; −14). Прямая y = x + b проходит через неё при −14 = −2 + b, b = −12. Функция y = x − 12.
б) Ось x: 3,5x − 7 = 0, x = 2, точка (2; 0). Прямая y = x + b: 0 = 2 + b, b = −2. Функция y = x − 2.
в) Ось y: x = 0, y = −7, точка (0; −7). Прямая y = x − 7.
Ответ: например, а) y = x − 12; б) y = x − 2; в) y = x − 7.
Оговорка: задача имеет много решений, приведены примеры.
а) Третья четверть: x < 0, y < 0. При x = −2 получаем y = 3,5 · (−2) − 7 = −14, точка (−2; −14). Прямая y = x + b проходит через неё при −14 = −2 + b, b = −12. Функция y = x − 12.
б) Ось x: 3,5x − 7 = 0, x = 2, точка (2; 0). Прямая y = x + b: 0 = 2 + b, b = −2. Функция y = x − 2.
в) Ось y: x = 0, y = −7, точка (0; −7). Прямая y = x − 7.
Ответ: например, а) y = x − 12; б) y = x − 2; в) y = x − 7.
Оговорка: задача имеет много решений, приведены примеры.
1159. Функция задана формулой y = −2x + 6. Задайте формулой функцию, график которой параллелен графику данной функции и проходит: а) через начало координат; б) через точку (−4; 0); в) через точку (0; 3); г) через точку (−2; 2).
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, поэтому ищем функцию y = −2x + b.
а) Через (0; 0): 0 = b, y = −2x.
б) Через (−4; 0): 0 = −2 · (−4) + b = 8 + b, b = −8, y = −2x − 8.
в) Через (0; 3): b = 3, y = −2x + 3.
г) Через (−2; 2): 2 = 4 + b, b = −2, y = −2x − 2.
а) Через (0; 0): 0 = b, y = −2x.
б) Через (−4; 0): 0 = −2 · (−4) + b = 8 + b, b = −8, y = −2x − 8.
в) Через (0; 3): b = 3, y = −2x + 3.
г) Через (−2; 2): 2 = 4 + b, b = −2, y = −2x − 2.
1160. При каких значениях a функция y = (a − 2)x + 3: а) является возрастающей; б) является убывающей; в) не является ни возрастающей, ни убывающей?
Линейная функция y = kx + b возрастает при k > 0, убывает при k < 0 и является постоянной при k = 0. Здесь k = a − 2.
а) a − 2 > 0, a > 2.
б) a − 2 < 0, a < 2.
в) a − 2 = 0, a = 2 (тогда y = 3 — постоянная функция).
Ответ: а) a > 2; б) a < 2; в) a = 2.
а) a − 2 > 0, a > 2.
б) a − 2 < 0, a < 2.
в) a − 2 = 0, a = 2 (тогда y = 3 — постоянная функция).
Ответ: а) a > 2; б) a < 2; в) a = 2.
1161. Дана функция g(x) = 1 − √x. Расположите в порядке возрастания значения этой функции при: x = 0; x = 1; x = 0,25; x = 0,09; x = 36.
Вычислим значения: g(0) = 1 − 0 = 1; g(1) = 1 − 1 = 0; g(0,25) = 1 − 0,5 = 0,5; g(0,09) = 1 − 0,3 = 0,7; g(36) = 1 − 6 = −5.
Расположим по возрастанию: −5; 0; 0,5; 0,7; 1, то есть g(36) < g(1) < g(0,25) < g(0,09) < g(0).
Ответ: g(36) = −5, g(1) = 0, g(0,25) = 0,5, g(0,09) = 0,7, g(0) = 1.
Расположим по возрастанию: −5; 0; 0,5; 0,7; 1, то есть g(36) < g(1) < g(0,25) < g(0,09) < g(0).
Ответ: g(36) = −5, g(1) = 0, g(0,25) = 0,5, g(0,09) = 0,7, g(0) = 1.
1162. Какие из прямых y = 4x − 5, y = 0,5x − 2, y = −1, y = −x + 3 имеют общие точки с графиком функции y = √x?
Пусть t = √x, t ≥ 0, x = t². Общие точки соответствуют неотрицательным корням t.
y = 4x − 5: t = 4t² − 5, 4t² − t − 5 = 0, D = 1 + 80 = 81, t = (1 ± 9)/8, t = 1,25 или t = −1. Корень t = 1,25 ≥ 0 подходит (x = 1,5625). Общая точка есть.
y = 0,5x − 2: t = 0,5t² − 2, t² − 2t − 4 = 0, t = 1 ± √5; t = 1 + √5 > 0 подходит. Общая точка есть.
y = −1: √x = −1 невозможно, так как √x ≥ 0. Общих точек нет.
y = −x + 3: t = 3 − t², t² + t − 3 = 0, t = (−1 ± √13)/2; t = (−1 + √13)/2 ≈ 1,3 > 0 подходит. Общая точка есть.
Ответ: y = 4x − 5, y = 0,5x − 2 и y = −x + 3.
y = 4x − 5: t = 4t² − 5, 4t² − t − 5 = 0, D = 1 + 80 = 81, t = (1 ± 9)/8, t = 1,25 или t = −1. Корень t = 1,25 ≥ 0 подходит (x = 1,5625). Общая точка есть.
y = 0,5x − 2: t = 0,5t² − 2, t² − 2t − 4 = 0, t = 1 ± √5; t = 1 + √5 > 0 подходит. Общая точка есть.
y = −1: √x = −1 невозможно, так как √x ≥ 0. Общих точек нет.
y = −x + 3: t = 3 − t², t² + t − 3 = 0, t = (−1 ± √13)/2; t = (−1 + √13)/2 ≈ 1,3 > 0 подходит. Общая точка есть.
Ответ: y = 4x − 5, y = 0,5x − 2 и y = −x + 3.
1163. Постройте график функции y = (4x + 3)/(4x² + 3x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Разложим знаменатель: 4x² + 3x = x(4x + 3). Функция определена при x ≠ 0 и x ≠ −3/4. Сокращая на 4x + 3, получаем y = 1/x. Значит, график — гипербола y = 1/x с выколотой точкой при x = −3/4, y = −4/3 (рисунок).
Прямая y = kx проходит через начало координат. Общие точки: kx = 1/x, kx² = 1.
При k ≤ 0 уравнение корней не имеет (k = 0: 0 = 1 неверно; k < 0: x² < 0 невозможно) — общих точек нет.
При k > 0 получаем два корня x = ±1/√k, то есть две точки гиперболы. Ровно одна точка получится, если один из корней равен −3/4 (эта точка выколота): 1/√k = 3/4, √k = 4/3, k = 16/9. Тогда остаётся точка с x = 3/4, y = 4/3.
Ответ: k = 16/9.
Прямая y = kx проходит через начало координат. Общие точки: kx = 1/x, kx² = 1.
При k ≤ 0 уравнение корней не имеет (k = 0: 0 = 1 неверно; k < 0: x² < 0 невозможно) — общих точек нет.
При k > 0 получаем два корня x = ±1/√k, то есть две точки гиперболы. Ровно одна точка получится, если один из корней равен −3/4 (эта точка выколота): 1/√k = 3/4, √k = 4/3, k = 16/9. Тогда остаётся точка с x = 3/4, y = 4/3.
Ответ: k = 16/9.
1164. Постройте график функции и перечислите её свойства: а) y = x², если x ≤ 1, и y = √x, если x > 1. [фигурная скобка объединяет два выражения]
При x ≤ 1 строим ветвь параболы y = x² (точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1)); при x > 1 — ветвь y = √x (точки (1; 1), (4; 2)). Обе части сходятся в точке (1;
1. (рисунок).
Свойства: 1) область определения — все числа; 2) множество значений — [0; +∞); 3) нуль функции x = 0; 4) y > 0 при x ≠ 0; 5) на (−∞; 0] функция убывает, на [0; +∞) возрастает; 6) наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет.
Оговорка: пункт б) этого же упражнения оформлен отдельной записью.
Свойства: 1) область определения — все числа; 2) множество значений — [0; +∞); 3) нуль функции x = 0; 4) y > 0 при x ≠ 0; 5) на (−∞; 0] функция убывает, на [0; +∞) возрастает; 6) наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет.
Оговорка: пункт б) этого же упражнения оформлен отдельной записью.
1164. Постройте график функции и перечислите её свойства: б) y = (x − 1)², если x ≤ 2, и y = −2x + 5, если 2 < x ≤ 3. [фигурная скобка объединяет два выражения]
При x ≤ 2 строим параболу y = (x − 1)² с вершиной (1;
0. (точки (−1; 4), (0; 1), (2; 1)); при 2 < x ≤ 3 — отрезок прямой y = −2x + 5 от точки (2; 1) до точки (3; −1). Части стыкуются в точке (2; 1) (рисунок).
Свойства: 1) область определения — (−∞; 3]; 2) множество значений — [−1; +∞); 3) нули x = 1 и x = 2,5; 4) y > 0 при x < 1 и при 1 < x < 2,5; y < 0 при 2,5 < x ≤ 3; 5) убывает на (−∞; 1] и на [2; 3], возрастает на [1; 2]; 6) наименьшее значение −1 при x = 3, наибольшего нет.
Свойства: 1) область определения — (−∞; 3]; 2) множество значений — [−1; +∞); 3) нули x = 1 и x = 2,5; 4) y > 0 при x < 1 и при 1 < x < 2,5; y < 0 при 2,5 < x ≤ 3; 5) убывает на (−∞; 1] и на [2; 3], возрастает на [1; 2]; 6) наименьшее значение −1 при x = 3, наибольшего нет.