Глава VI. § 15. п.48 Свойства степени с целым показателем — с. 268
1202. Найдите значение выражения: а) 125^(−1) · 25²; б) 16^(−3) · 4⁶; в) (6²)⁶ : 6^14; г) 12⁰ : (12^(−1))²; д) ((2³)⁵ · (2^(−6))²)/4²; е) ((3^(−2))³ · 9⁴)/(3³)².
а) 125^(−1) · 25² = 5^(−3) · 5⁴ = 5.
б) 16^(−3) · 4⁶ = 2^(−12) · 2^12 = 1.
в) (6²)⁶ : 6^14 = 6^12 : 6^14 = 6^(−2) = 1/36.
г) 12⁰ : (12^(−1))² = 1 : 12^(−2) = 12² = 144.
д) (2^15 · 2^(−12))/2⁴ = 2³/2⁴ = 2^(−1) = 1/2.
е) (3^(−6) · 3⁸)/3⁶ = 3²/3⁶ = 3^(−4) = 1/81.
б) 16^(−3) · 4⁶ = 2^(−12) · 2^12 = 1.
в) (6²)⁶ : 6^14 = 6^12 : 6^14 = 6^(−2) = 1/36.
г) 12⁰ : (12^(−1))² = 1 : 12^(−2) = 12² = 144.
д) (2^15 · 2^(−12))/2⁴ = 2³/2⁴ = 2^(−1) = 1/2.
е) (3^(−6) · 3⁸)/3⁶ = 3²/3⁶ = 3^(−4) = 1/81.
1203. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, сократите дробь: а) 25^m/5^(2m − 1); б) 6^m/(2^(m + 1) · 3^(m − 1)).
1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.
3. Исправьте ошибки, если они допущены.
а) 25^m = (5²)^m = 5^(2m). Дробь 5^(2m)/5^(2m−1) = 5^(2m − (2m − 1)) = 5¹ = 5.
б) 6^m = 2^m · 3^m. Дробь (2^m · 3^m)/(2^(m+1) · 3^(m−1)) = 2^(m − (m+1)) · 3^(m − (m−1)) = 2^(−1) · 3¹ = 3/2 = 1,5.
Проверка работы в паре: каждый подставляет m = 1 в чужое задание. а) 25/5 = 5 — верно. б) 6/(4 · 1) = 1,5 — верно.
Оговорка: показатель 2^(m ? 1) в скане плохо читается; принят вариант m + 1. В ответах учебника для пункта б) указано 2/3, что получается при показателях 2^(m − 1) и 3^(m + 1); по виду скана показатель при 3 — m − 1, поэтому оставлен ответ 3/2.
б) 6^m = 2^m · 3^m. Дробь (2^m · 3^m)/(2^(m+1) · 3^(m−1)) = 2^(m − (m+1)) · 3^(m − (m−1)) = 2^(−1) · 3¹ = 3/2 = 1,5.
Проверка работы в паре: каждый подставляет m = 1 в чужое задание. а) 25/5 = 5 — верно. б) 6/(4 · 1) = 1,5 — верно.
Оговорка: показатель 2^(m ? 1) в скане плохо читается; принят вариант m + 1. В ответах учебника для пункта б) указано 2/3, что получается при показателях 2^(m − 1) и 3^(m + 1); по виду скана показатель при 3 — m − 1, поэтому оставлен ответ 3/2.
1204. Представьте какими-либо тремя способами выражение x^(−10) в виде произведения степеней.
Используем a^m · a^n = a^(m+n): представим −10 в виде суммы двух целых чисел.
x^(−10) = x^(−4) · x^(−6); x^(−10) = x^(−1) · x^(−9); x^(−10) = x^(−12) · x²; (или x^(−10) = x^(−5) · x^(−5)).
Проверка: например, x^(−12) · x² = x^(−12+2) = x^(−10).
Ответ: например, x^(−4) · x^(−6), x^(−1) · x^(−9), x^(−12) · x².
x^(−10) = x^(−4) · x^(−6); x^(−10) = x^(−1) · x^(−9); x^(−10) = x^(−12) · x²; (или x^(−10) = x^(−5) · x^(−5)).
Проверка: например, x^(−12) · x² = x^(−12+2) = x^(−10).
Ответ: например, x^(−4) · x^(−6), x^(−1) · x^(−9), x^(−12) · x².
1205. Представьте выражение a^12, где a ≠ 0, в виде степени: а) с основанием a⁴; б) с основанием a^(−6).
а) a^12 = a^(4 · 3) = (a⁴)³.
б) a^12 = a^((−6) · (−2)) = (a^(−6))^(−2).
б) a^12 = a^((−6) · (−2)) = (a^(−6))^(−2).
1206. Представьте в виде степени с основанием x частное: а) x^10 : x^12; б) x⁰ : x^(−5); в) x^(n − 1) : x^(−8), где n — целое число; г) x⁶ : x^(n + 2), где n — целое число.
При делении показатели вычитаются.
а) x^(10−12) = x^(−2).
б) x^(0−(−5)) = x⁵.
в) x^(n−1−(−8)) = x^(n−1+8) = x^(n+7).
г) x^(6−(n+2)) = x^(4−n).
а) x^(10−12) = x^(−2).
б) x^(0−(−5)) = x⁵.
в) x^(n−1−(−8)) = x^(n−1+8) = x^(n+7).
г) x^(6−(n+2)) = x^(4−n).
1207. Упростите выражение: а) 1,5ab^(−3) · 6a^(−2)b; б) 3/4 m^(−2)n⁴ · 8m³n^(−2); в) 0,6c²d⁴ · 1/3 c^(−2)d^(−4); г) 3,2x^(−1)y^(−5) · 5/8 xy; д) 1/2 p^(−1)q^(−3) · 1/6 p²q^(−5); е) 3 1/3 a⁵b^(−18) · 0,6a^(−1)b^20.
Перемножаем коэффициенты, а показатели одинаковых букв складываем.
а) 1,5 · 6 = 9; a^(1−2) = a^(−1); b^(−3+1) = b^(−2). Получаем 9a^(−1)b^(−2) = 9/(ab²).
б) 3/4 · 8 = 6; m^(−2+3) = m; n^(4−2) = n². Получаем 6mn².
в) 0,6 · 1/3 = 0,2; c^(2−2) = 1; d^(4−4) = 1. Получаем 0,2.
г) 3,2 · 5/8 = 2; x^(−1+1) = 1; y^(−5+1) = y^(−4). Получаем 2y^(−4) = 2/y⁴.
д) 1/2 · 1/6 = 1/12; p^(−1+2) = p; q^(−3−5) = q^(−8). Получаем (1/12)pq^(−8) = p/(12q⁸).
е) 3 1/3 · 0,6 = 10/3 · 3/5 = 2; a^(5−1) = a⁴; b^(−18+20) = b². Получаем 2a⁴b².
а) 1,5 · 6 = 9; a^(1−2) = a^(−1); b^(−3+1) = b^(−2). Получаем 9a^(−1)b^(−2) = 9/(ab²).
б) 3/4 · 8 = 6; m^(−2+3) = m; n^(4−2) = n². Получаем 6mn².
в) 0,6 · 1/3 = 0,2; c^(2−2) = 1; d^(4−4) = 1. Получаем 0,2.
г) 3,2 · 5/8 = 2; x^(−1+1) = 1; y^(−5+1) = y^(−4). Получаем 2y^(−4) = 2/y⁴.
д) 1/2 · 1/6 = 1/12; p^(−1+2) = p; q^(−3−5) = q^(−8). Получаем (1/12)pq^(−8) = p/(12q⁸).
е) 3 1/3 · 0,6 = 10/3 · 3/5 = 2; a^(5−1) = a⁴; b^(−18+20) = b². Получаем 2a⁴b².
1208. Найдите значение выражения: а) 0,2a^(−2)b⁴ · 5a³b^(−3) при a = −0,125, b = 8; б) 1/27 a^(−1)b^(−5) · 81a²b⁴ при a = 1/7, b = 1/14.
а) 0,2 · 5 = 1; a^(−2+3) = a; b^(4−3) = b. Выражение равно ab = −0,125 · 8 = −1.
б) 1/27 · 81 = 3; a^(−1+2) = a; b^(−5+4) = b^(−1). Выражение равно 3a/b = 3 · (1/7) : (1/14) = 3 · (1/7) · 14 = 6.
Ответ: а) −1; б) 6.
б) 1/27 · 81 = 3; a^(−1+2) = a; b^(−5+4) = b^(−1). Выражение равно 3a/b = 3 · (1/7) : (1/14) = 3 · (1/7) · 14 = 6.
Ответ: а) −1; б) 6.
1209. Упростите выражение и найдите его значение: а) 1,6x^(−1)y^12 · 5x³y^(−11) при x = −0,2, y = 0,7; б) 5/6 x^(−3)y³ · 30x³y^(−4) при x = 127, y = 1/5.
а) 1,6 · 5 = 8; x^(−1+3) = x²; y^(12−11) = y. Выражение равно 8x²y = 8 · 0,04 · 0,7 = 0,224.
б) 5/6 · 30 = 25; x^(−3+3) = x⁰ = 1; y^(3−4) = y^(−1). Выражение равно 25/y = 25 : (1/5) = 125 (значение x не влияет на результат).
Ответ: а) 0,224; б) 125.
б) 5/6 · 30 = 25; x^(−3+3) = x⁰ = 1; y^(3−4) = y^(−1). Выражение равно 25/y = 25 : (1/5) = 125 (значение x не влияет на результат).
Ответ: а) 0,224; б) 125.