Глава IV. §12. п.39 Решение неравенств с одной переменной — с. 215
966. Одна из переплётных мастерских берёт по 480 р. за книгу и ещё 630 р. за оформление заказа, а другая — по 485 р. за книгу и 580 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число книг, при котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской.
Пусть заказано n книг. В первой мастерской заказ стоит 480n + 630 р., во второй 485n + 580 р.
Выгоднее первая, если 480n + 630 < 485n + 580, 50 < 5n, n > 10.
При n = 10 стоимости равны (5430 р.), поэтому наименьшее целое n, при котором первая мастерская выгоднее, равно 11.
Ответ: 11 книг.
Выгоднее первая, если 480n + 630 < 485n + 580, 50 < 5n, n > 10.
При n = 10 стоимости равны (5430 р.), поэтому наименьшее целое n, при котором первая мастерская выгоднее, равно 11.
Ответ: 11 книг.
967. За денежный почтовый перевод до 1000 р. в некотором городе берётся плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель имеет 800 р. Укажите наибольшее целое число рублей, которое он может перевести.
Пусть переводится x р. Плата 7 + 0,05x р. Всего нужно x + 7 + 0,05x = 1,05x + 7 р., и это не должно превышать 800 р.
1,05x + 7 ≤ 800, 1,05x ≤ 793, x ≤ 755,23... Наибольшее целое x = 755.
Проверка: при x = 755 плата 7 + 37,75 = 44,75 р., всего 799,75 р. ≤ 800 р.; при x = 756 нужно 756 + 7 + 37,8 = 800,8 р. > 800 р.
Ответ: 755 р.
1,05x + 7 ≤ 800, 1,05x ≤ 793, x ≤ 755,23... Наибольшее целое x = 755.
Проверка: при x = 755 плата 7 + 37,75 = 44,75 р., всего 799,75 р. ≤ 800 р.; при x = 756 нужно 756 + 7 + 37,8 = 800,8 р. > 800 р.
Ответ: 755 р.
968. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?
Пусть туристы отплывают на s км. Скорость по течению 18 + 2 = 20 км/ч, против течения 18 − 2 = 16 км/ч. Время в пути s/20 + s/16 ч, оно не должно превышать 3 ч.
s/20 + s/16 ≤ 3. Умножим на 80: 4s + 5s ≤ 240, 9s ≤ 240, s ≤ 80/3 = 26 2/3.
Ответ: не более чем на 26 2/3 км.
s/20 + s/16 ≤ 3. Умножим на 80: 4s + 5s ≤ 240, 9s ≤ 240, s ≤ 80/3 = 26 2/3.
Ответ: не более чем на 26 2/3 км.
969. Найдите значение дроби (x² + x − 5)/(x − 1) при x = 1 − √3.
x − 1 = −√3. x² = (1 − √3)² = 1 − 2√3 + 3 = 4 − 2√3.
Числитель: x² + x − 5 = 4 − 2√3 + 1 − √3 − 5 = −3√3.
Дробь: −3√3/(−√3) = 3.
Ответ: 3.
Числитель: x² + x − 5 = 4 − 2√3 + 1 − √3 − 5 = −3√3.
Дробь: −3√3/(−√3) = 3.
Ответ: 3.
970. Решите уравнение: а) (x² − 4)/6 − x/2 = (x − 4)/3; б) (2x² − 1)/2 − x + 1/2 = 0.
а) Умножим обе части на 6: x² − 4 − 3x = 2(x − 4), x² − 4 − 3x = 2x − 8, x² − 5x + 4 = 0. D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3)/2, x₁ = 1, x₂ = 4.
б) Умножим обе части на 2: 2x² − 1 − 2x + 1 = 0, 2x² − 2x = 0, 2x(x − 1) = 0, x = 0 или x = 1.
Ответ: а) 1; 4; б) 0; 1.
б) Умножим обе части на 2: 2x² − 1 − 2x + 1 = 0, 2x² − 2x = 0, 2x(x − 1) = 0, x = 0 или x = 1.
Ответ: а) 1; 4; б) 0; 1.
971. Решите графически уравнение 12/x = x².
Построим в одной системе координат графики функций y = 12/x (гипербола) и y = x² (парабола). Абсциссы точек пересечения графиков — корни уравнения.
При x < 0 значения 12/x отрицательны, а x² положительно, поэтому в левой полуплоскости графики не пересекаются. При x > 0 графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой примерно 2,3 (проверка: 2,3² = 5,29, 12 : 2,3 ≈ 5,2).
Точное значение: 12/x = x², x³ = 12, x = ∛12 ≈ 2,29.
Ответ: один корень, x ≈ 2,3.
При x < 0 значения 12/x отрицательны, а x² положительно, поэтому в левой полуплоскости графики не пересекаются. При x > 0 графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой примерно 2,3 (проверка: 2,3² = 5,29, 12 : 2,3 ≈ 5,2).
Точное значение: 12/x = x², x³ = 12, x = ∛12 ≈ 2,29.
Ответ: один корень, x ≈ 2,3.
972. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
Пусть скорость лодки в стоячей воде x км/ч (x > 3). По течению она идёт со скоростью (x + 3) км/ч, против течения (x − 3) км/ч. 5 ч 20 мин = 5 1/3 ч = 16/3 ч.
Уравнение: 30/(x + 3) + 30/(x − 3) = 16/3.
Умножим на 3(x + 3)(x − 3): 90(x − 3) + 90(x + 3) = 16(x² − 9), 180x = 16x² − 144, 4x² − 45x − 36 = 0.
D = 2025 + 576 = 2601 = 51², x = (45 ± 51)/8, x₁ = 12, x₂ = −0,75 — не подходит, скорость положительна.
Проверка: 30/15 + 30/9 = 2 + 3 1/3 = 5 1/3 ч.
Ответ: 12 км/ч.
Уравнение: 30/(x + 3) + 30/(x − 3) = 16/3.
Умножим на 3(x + 3)(x − 3): 90(x − 3) + 90(x + 3) = 16(x² − 9), 180x = 16x² − 144, 4x² − 45x − 36 = 0.
D = 2025 + 576 = 2601 = 51², x = (45 ± 51)/8, x₁ = 12, x₂ = −0,75 — не подходит, скорость положительна.
Проверка: 30/15 + 30/9 = 2 + 3 1/3 = 5 1/3 ч.
Ответ: 12 км/ч.