Алгебра · 8 КЛАСС

Упражнения 951–955 — Глава IV. §12. п.39 Решение неравенств с одной…

Страница 213 · Алгебра Макарычев 8 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 16-е издание, переработанное

Оглавление

Глава IV. §12. п.39 Решение неравенств с одной переменной — с. 213

951. Решите неравенство: а) x/2 + x/3 < 5; б) 3y/2 − y/3 ≥ 2; в) x/4 − x/2 > −3; г) y + y/2 > 3; д) 2x/5 − x ≤ 1; е) 3x/4 − 2x < 0.
а) Умножим на 6: 3x + 2x < 30, 5x < 30, x < 6. Ответ: (−∞; 6).
б) Умножим на 6: 9y − 2y ≥ 12, 7y ≥ 12, y ≥ 12/7 (то есть 1 5/7). Ответ: [1 5/7; +∞).
в) Умножим на 4: x − 2x > −12, −x > −12, x < 12. Ответ: (−∞; 12).
г) Умножим на 2: 2y + y > 6, 3y > 6, y > 2. Ответ: (2; +∞).
д) Умножим на 5: 2x − 5x ≤ 5, −3x ≤ 5, x ≥ −5/3 (то есть −1 2/3). Ответ: [−1 2/3; +∞).
е) Умножим на 4: 3x − 8x < 0, −5x < 0, x > 0. Ответ: (0; +∞).
952. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений: а) (13x − 1)/2 < 4x; б) (5 − 2a)/4 ≥ 2a; в) x/4 − x/5 ≤ 2; г) 2y/5 − y/2 ≥ 1.
а) Умножим на 2: 13x − 1 < 8x, 5x < 1, x < 0,2. Ответ: (−∞; 0,2).
б) Умножим на 4: 5 − 2a ≥ 8a, 5 ≥ 10a, a ≤ 0,5. Ответ: (−∞; 0,5].
в) Умножим на 20: 5x − 4x ≤ 40, x ≤ 40. Ответ: (−∞; 40].
г) Умножим на 10: 4y − 5y ≥ 10, −y ≥ 10, y ≤ −10. Ответ: (−∞; −10].
Множества решений показаны на рисунке.
Решения неравенств № 952а)0,2б)0,5в)40г)−10
953. Решите неравенство: а) (3 + x)/4 + (2 − x)/3 < 0; б) (4 − y)/5 − 5y ≥ 0; в) y − (2y − 1)/4 ≥ 1; г) x − (x − 3)/5 + (2x − 1)/10 ≤ 4; д) (y − 1)/2 − 1 + (2y − 1)/6 > y; е) p − (p − 1)/2 − (p + 3)/4 > 2.
а) Умножим на 12: 3(3 + x) + 4(2 − x) < 0, 9 + 3x + 8 − 4x < 0, 17 − x < 0, x > 17. Ответ: (17; +∞).
б) Умножим на 5: 4 − y − 25y ≥ 0, 4 ≥ 26y, y ≤ 2/13. Ответ: (−∞; 2/13].
в) Умножим на 4: 4y − (2y − 1) ≥ 4, 2y + 1 ≥ 4, y ≥ 1,5. Ответ: [1,5; +∞).
г) Умножим на 10: 10x − 2(x − 3) + (2x − 1) ≤ 40, 10x − 2x + 6 + 2x − 1 ≤ 40, 10x + 5 ≤ 40, x ≤ 3,5. Ответ: (−∞; 3,5].
д) Умножим на 6: 3(y − 1) − 6 + (2y − 1) > 6y, 3y − 3 − 6 + 2y − 1 > 6y, 5y − 10 > 6y, y < −10. Ответ: (−∞; −10).
е) Умножим на 4: 4p − 2(p − 1) − (p + 3) > 8, 4p − 2p + 2 − p − 3 > 8, p − 1 > 8, p > 9. Ответ: (9; +∞).
954. Решите неравенство: а) (2a − 1)/2 − (3a − 3)/5 > a; б) x − (2x + 3)/2 ≤ (x − 1)/4; в) (5x − 1)/5 + (x + 1)/2 ≤ x; г) (y − 1)/2 − (2y + 3)/8 − y > 2.
а) Умножим на 10: 5(2a − 1) − 2(3a − 3) > 10a, 10a − 5 − 6a + 6 > 10a, 4a + 1 > 10a, 1 > 6a, a < 1/6. Ответ: (−∞; 1/6).
б) Умножим на 4: 4x − 2(2x + 3) ≤ x − 1, 4x − 4x − 6 ≤ x − 1, −6 ≤ x − 1, x ≥ −5. Ответ: [−5; +∞).
в) Умножим на 10: 2(5x − 1) + 5(x + 1) ≤ 10x, 10x − 2 + 5x + 5 ≤ 10x, 15x + 3 ≤ 10x, 5x ≤ −3, x ≤ −0,6. Ответ: (−∞; −0,6].
г) Умножим на 8: 4(y − 1) − (2y + 3) − 8y > 16, 4y − 4 − 2y − 3 − 8y > 16, −6y − 7 > 16, −6y > 23, y < −23/6 (то есть −3 5/6). Ответ: (−∞; −3 5/6).
955. а) При каких значениях a сумма дробей (2a − 1)/4 и (a − 1)/3 положительна?
б) При каких значениях b разность дробей (3b − 1)/2 и (1 + 5b)/4 отрицательна?
а) (2a − 1)/4 + (a − 1)/3 > 0. Умножим на 12: 3(2a − 1) + 4(a − 1) > 0, 6a − 3 + 4a − 4 > 0, 10a > 7, a > 0,7.
б) (3b − 1)/2 − (1 + 5b)/4 < 0. Умножим на 4: 2(3b − 1) − (1 + 5b) < 0, 6b − 2 − 1 − 5b < 0, b − 3 < 0, b < 3.
Ответ: а) при a > 0,7; б) при b < 3.