Глава IV. §12. п.39 Решение неравенств с одной переменной — с. 211
935. Решите неравенство: а) 3x > 15; б) −4x < −16; в) −x ≥ 1; г) 11y ≤ 33; д) 12y < 1,8; е) 27b ≥ 12; ж) −6x > 1,5; з) 15x ≤ 0; и) 0,5y > −4; к) 2,5a > 0; л) 1/3 x > 6; м) −1/7 y < −1.
Делим (или умножаем) обе части на коэффициент; при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
а) x > 15 : 3, x > 5. Ответ: (5; +∞).
б) x > −16 : (−4), x > 4. Ответ: (4; +∞).
в) −x ≥ 1, x ≤ −1. Ответ: (−∞; −1].
г) y ≤ 33 : 11, y ≤ 3. Ответ: (−∞; 3].
д) y < 1,8 : 12, y < 0,15. Ответ: (−∞; 0,15).
е) b ≥ 12/27, b ≥ 4/9. Ответ: [4/9; +∞).
ж) x < 1,5 : (−6), x < −0,25. Ответ: (−∞; −0,25).
з) x ≤ 0. Ответ: (−∞; 0].
и) y > −4 : 0,5, y > −8. Ответ: (−8; +∞).
к) a > 0. Ответ: (0; +∞).
л) умножим обе части на 3: x > 18. Ответ: (18; +∞).
м) умножим обе части на −7 и изменим знак: y > 7. Ответ: (7; +∞).
а) x > 15 : 3, x > 5. Ответ: (5; +∞).
б) x > −16 : (−4), x > 4. Ответ: (4; +∞).
в) −x ≥ 1, x ≤ −1. Ответ: (−∞; −1].
г) y ≤ 33 : 11, y ≤ 3. Ответ: (−∞; 3].
д) y < 1,8 : 12, y < 0,15. Ответ: (−∞; 0,15).
е) b ≥ 12/27, b ≥ 4/9. Ответ: [4/9; +∞).
ж) x < 1,5 : (−6), x < −0,25. Ответ: (−∞; −0,25).
з) x ≤ 0. Ответ: (−∞; 0].
и) y > −4 : 0,5, y > −8. Ответ: (−8; +∞).
к) a > 0. Ответ: (0; +∞).
л) умножим обе части на 3: x > 18. Ответ: (18; +∞).
м) умножим обе части на −7 и изменим знак: y > 7. Ответ: (7; +∞).
936. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) 2x < 17; б) 5x ≥ −3; в) −12x < −48; г) −x < −7,5; д) 30x > 40; е) −15x < −27; ж) −4x ≥ −1; з) 10x ≤ −24; и) 1/6 x < 2; к) −1/3 x < 0; л) 0,02x ≥ −0,6; м) −1,8x ≤ 36.
а) x < 17/2, x < 8,5. Ответ: (−∞; 8,5).
б) x ≥ −3/5, x ≥ −0,6. Ответ: [−0,6; +∞).
в) x > −48 : (−12), x > 4. Ответ: (4; +∞).
г) x > 7,5. Ответ: (7,5; +∞).
д) x > 40/30, x > 4/3 (то есть 1 1/3). Ответ: (4/3; +∞).
е) x > −27 : (−15), x > 1,8. Ответ: (1,8; +∞).
ж) x ≤ −1 : (−4), x ≤ 0,25. Ответ: (−∞; 0,25].
з) x ≤ −2,4. Ответ: (−∞; −2,4].
и) x < 12. Ответ: (−∞; 12).
к) умножаем на −3 и меняем знак: x > 0. Ответ: (0; +∞).
л) x ≥ −0,6 : 0,02, x ≥ −30. Ответ: [−30; +∞).
м) x ≥ 36 : (−1,8), x ≥ −20. Ответ: [−20; +∞).
Множества решений изображены на рисунке.
б) x ≥ −3/5, x ≥ −0,6. Ответ: [−0,6; +∞).
в) x > −48 : (−12), x > 4. Ответ: (4; +∞).
г) x > 7,5. Ответ: (7,5; +∞).
д) x > 40/30, x > 4/3 (то есть 1 1/3). Ответ: (4/3; +∞).
е) x > −27 : (−15), x > 1,8. Ответ: (1,8; +∞).
ж) x ≤ −1 : (−4), x ≤ 0,25. Ответ: (−∞; 0,25].
з) x ≤ −2,4. Ответ: (−∞; −2,4].
и) x < 12. Ответ: (−∞; 12).
к) умножаем на −3 и меняем знак: x > 0. Ответ: (0; +∞).
л) x ≥ −0,6 : 0,02, x ≥ −30. Ответ: [−30; +∞).
м) x ≥ 36 : (−1,8), x ≥ −20. Ответ: [−20; +∞).
Множества решений изображены на рисунке.
937. Решите неравенство 5x + 1 > 11. Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства.
5x > 11 − 1, 5x > 10, x > 2.
Решениями будут любые числа, большие 2, например 3, 4 и 10 (проверка: 5 · 3 + 1 = 16 > 11).
Ответ: x > 2; например, 3, 4, 10.
Решениями будут любые числа, большие 2, например 3, 4 и 10 (проверка: 5 · 3 + 1 = 16 > 11).
Ответ: x > 2; например, 3, 4, 10.
938. Решите неравенство 3x − 2 < 6. Является ли решением этого неравенства число: 4; 2 4/5; 2 4/7?
3x < 6 + 2, 3x < 8, x < 8/3, то есть x < 2 2/3.
Число 4 больше 2 2/3 — не является решением.
Сравним 2 4/5 и 2 2/3: 4/5 = 12/15, 2/3 = 10/15, значит 2 4/5 > 2 2/3 — не является решением.
Сравним 2 4/7 и 2 2/3: 4/7 = 12/21, 2/3 = 14/21, значит 2 4/7 < 2 2/3 — является решением.
Ответ: x < 2 2/3; решением является только число 2 4/7.
Число 4 больше 2 2/3 — не является решением.
Сравним 2 4/5 и 2 2/3: 4/5 = 12/15, 2/3 = 10/15, значит 2 4/5 > 2 2/3 — не является решением.
Сравним 2 4/7 и 2 2/3: 4/7 = 12/21, 2/3 = 14/21, значит 2 4/7 < 2 2/3 — является решением.
Ответ: x < 2 2/3; решением является только число 2 4/7.
939. Решите неравенство: а) 7x − 2,4 < 0,4; б) 1 − 5y > 3; в) 2x − 17 ≥ −27; г) 2 − 3a ≤ 1; д) 17 − x > 10 − 6x; е) 30 + 5x ≤ 18 − 7x; ж) 64 − 6y ≥ 1 − y; з) 8 + 5y ≤ 21 + 6y.
а) 7x < 0,4 + 2,4, 7x < 2,8, x < 0,4. Ответ: (−∞; 0,4).
б) −5y > 3 − 1, −5y > 2, y < −0,4. Ответ: (−∞; −0,4).
в) 2x ≥ −27 + 17, 2x ≥ −10, x ≥ −5. Ответ: [−5; +∞).
г) −3a ≤ 1 − 2, −3a ≤ −1, a ≥ 1/3. Ответ: [1/3; +∞).
д) −x + 6x > 10 − 17, 5x > −7, x > −1,4. Ответ: (−1,4; +∞).
е) 5x + 7x ≤ 18 − 30, 12x ≤ −12, x ≤ −1. Ответ: (−∞; −1].
ж) −6y + y ≥ 1 − 64, −5y ≥ −63, y ≤ 12,6. Ответ: (−∞; 12,6].
з) 5y − 6y ≤ 21 − 8, −y ≤ 13, y ≥ −13. Ответ: [−13; +∞).
б) −5y > 3 − 1, −5y > 2, y < −0,4. Ответ: (−∞; −0,4).
в) 2x ≥ −27 + 17, 2x ≥ −10, x ≥ −5. Ответ: [−5; +∞).
г) −3a ≤ 1 − 2, −3a ≤ −1, a ≥ 1/3. Ответ: [1/3; +∞).
д) −x + 6x > 10 − 17, 5x > −7, x > −1,4. Ответ: (−1,4; +∞).
е) 5x + 7x ≤ 18 − 30, 12x ≤ −12, x ≤ −1. Ответ: (−∞; −1].
ж) −6y + y ≥ 1 − 64, −5y ≥ −63, y ≤ 12,6. Ответ: (−∞; 12,6].
з) 5y − 6y ≤ 21 − 8, −y ≤ 13, y ≥ −13. Ответ: [−13; +∞).
940. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) 11x − 2 < 9; б) 2 − 3y > −4; в) 17 − x ≤ 11; г) 2 − 12x > −1; д) 3y − 1 > −1 + 6y; е) 0,2x − 2 < 7 − 0,8x; ж) 6b − 1 < 12 + 7b; з) 16x − 34 > x + 1.
а) 11x < 11, x < 1. Ответ: (−∞; 1).
б) −3y > −6, y < 2. Ответ: (−∞; 2).
в) −x ≤ 11 − 17, −x ≤ −6, x ≥ 6. Ответ: [6; +∞).
г) −12x > −3, x < 0,25. Ответ: (−∞; 0,25).
д) 3y − 6y > −1 + 1, −3y > 0, y < 0. Ответ: (−∞; 0).
е) 0,2x + 0,8x < 7 + 2, x < 9. Ответ: (−∞; 9).
ж) 6b − 7b < 12 + 1, −b < 13, b > −13. Ответ: (−13; +∞).
з) 16x − x > 1 + 34, 15x > 35, x > 7/3, то есть x > 2 1/3. Ответ: (7/3; +∞).
Множества решений изображены на рисунке.
б) −3y > −6, y < 2. Ответ: (−∞; 2).
в) −x ≤ 11 − 17, −x ≤ −6, x ≥ 6. Ответ: [6; +∞).
г) −12x > −3, x < 0,25. Ответ: (−∞; 0,25).
д) 3y − 6y > −1 + 1, −3y > 0, y < 0. Ответ: (−∞; 0).
е) 0,2x + 0,8x < 7 + 2, x < 9. Ответ: (−∞; 9).
ж) 6b − 7b < 12 + 1, −b < 13, b > −13. Ответ: (−13; +∞).
з) 16x − x > 1 + 34, 15x > 35, x > 7/3, то есть x > 2 1/3. Ответ: (7/3; +∞).
Множества решений изображены на рисунке.
941. а) При каких значениях x двучлен 2x − 1 принимает положительные значения?
б) При каких значениях y двучлен 21 − 3y принимает отрицательные значения?
в) При каких значениях c двучлен 5 − 3c принимает значения, большие 80?
б) При каких значениях y двучлен 21 − 3y принимает отрицательные значения?
в) При каких значениях c двучлен 5 − 3c принимает значения, большие 80?
а) 2x − 1 > 0, 2x > 1, x > 0,5.
б) 21 − 3y < 0, −3y < −21, y > 7.
в) 5 − 3c > 80, −3c > 75, c < −25.
Ответ: а) при x > 0,5; б) при y > 7; в) при c < −25.
б) 21 − 3y < 0, −3y < −21, y > 7.
в) 5 − 3c > 80, −3c > 75, c < −25.
Ответ: а) при x > 0,5; б) при y > 7; в) при c < −25.
942. а) При каких значениях a значения двучлена 2a − 1 меньше значений двучлена 7 − 1,2a?
б) При каких значениях p значения двучлена 1,5p − 1 больше значений двучлена 1 + 1,1p?
б) При каких значениях p значения двучлена 1,5p − 1 больше значений двучлена 1 + 1,1p?
а) 2a − 1 < 7 − 1,2a, 2a + 1,2a < 7 + 1, 3,2a < 8, a < 2,5.
б) 1,5p − 1 > 1 + 1,1p, 1,5p − 1,1p > 1 + 1, 0,4p > 2, p > 5.
Ответ: а) при a < 2,5; б) при p > 5.
б) 1,5p − 1 > 1 + 1,1p, 1,5p − 1,1p > 1 + 1, 0,4p > 2, p > 5.
Ответ: а) при a < 2,5; б) при p > 5.