Глава IV. §12. п.38 Числовые промежутки — с. 207
928. Упростите выражение: а) (1 + (a − x)/x)/(ax); б) ((a² − b²)/a² − 1)/(2a²b²).
а) Числитель: 1 + (a − x)/x = (x + a − x)/x = a/x. Делим на ax: (a/x) : (ax) = a/(x · ax) = 1/x².
б) Числитель: (a² − b²)/a² − 1 = (a² − b² − a²)/a² = −b²/a². Делим на 2a²b²: (−b²/a²) : (2a²b²) = −b²/(a² · 2a²b²) = −1/(2a⁴).
Ответ: а) 1/x²; б) −1/(2a⁴).
б) Числитель: (a² − b²)/a² − 1 = (a² − b² − a²)/a² = −b²/a². Делим на 2a²b²: (−b²/a²) : (2a²b²) = −b²/(a² · 2a²b²) = −1/(2a⁴).
Ответ: а) 1/x²; б) −1/(2a⁴).
929. Докажите неравенство a² + 5 > 2a.
Рассмотрим разность: a² + 5 − 2a = a² − 2a + 1 + 4 = (a − 1)² + 4. Так как (a − 1)² ≥ 0, то (a − 1)² + 4 ≥ 4 > 0. Значит, a² + 5 > 2a при любом a. Что и требовалось доказать.
930. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше.
Пусть скорость первого поезда x км/ч, тогда обратного x + 5 км/ч. Время в пути: 120/x ч и 120/(x + 5) ч. 20 мин = 1/3 ч.
120/x − 120/(x + 5) = 1/3.
Умножим на 3x(x + 5): 360(x + 5) − 360x = x(x + 5); 1800 = x² + 5x; x² + 5x − 1800 = 0.
D = 25 + 7200 = 7225 = 85²; x = (−5 ± 85)/2, x = 40 или x = −45. Скорость положительна, значит x = 40; обратный поезд 40 + 5 = 45 км/ч.
Проверка: 120 : 40 = 3 ч, 120 : 45 = 8/3 ч, разница 1/3 ч = 20 мин.
Ответ: 40 км/ч и 45 км/ч.
120/x − 120/(x + 5) = 1/3.
Умножим на 3x(x + 5): 360(x + 5) − 360x = x(x + 5); 1800 = x² + 5x; x² + 5x − 1800 = 0.
D = 25 + 7200 = 7225 = 85²; x = (−5 ± 85)/2, x = 40 или x = −45. Скорость положительна, значит x = 40; обратный поезд 40 + 5 = 45 км/ч.
Проверка: 120 : 40 = 3 ч, 120 : 45 = 8/3 ч, разница 1/3 ч = 20 мин.
Ответ: 40 км/ч и 45 км/ч.
931. При каком x значение функции, заданной формулой y = (3x − 1)/(x − 2), равно −1?
Решаем уравнение (3x − 1)/(x − 2) = −1, x ≠ 2.
3x − 1 = −(x − 2); 3x − 1 = −x + 2; 4x = 3; x = 3/4. Условие x ≠ 2 выполнено.
Проверка: (3 · 3/4 − 1)/(3/4 − 2) = (5/4)/(−5/4) = −1.
Ответ: 3/4.
3x − 1 = −(x − 2); 3x − 1 = −x + 2; 4x = 3; x = 3/4. Условие x ≠ 2 выполнено.
Проверка: (3 · 3/4 − 1)/(3/4 − 2) = (5/4)/(−5/4) = −1.
Ответ: 3/4.