Глава IV. §12. п.38 Числовые промежутки — с. 206
917. Какие из чисел −1,6; −1,5; −1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку: а) [−1,5; 6,5]; б) (3; +∞); в) (−∞; −1]?
а) [−1,5; 6,5]: −1,5 ≤ x ≤ 6,5. Подходят −1,5; −1; 0; 3; 5,1; 6,5 (число −1,6 меньше −1,5).
б) (3; +∞): x > 3. Подходят 5,1 и 6,5 (число 3 — граница, не входит).
в) (−∞; −1]: x ≤ −1. Подходят −1,6; −1,5; −1.
б) (3; +∞): x > 3. Подходят 5,1 и 6,5 (число 3 — граница, не входит).
в) (−∞; −1]: x ≤ −1. Подходят −1,6; −1,5; −1.
918. Принадлежит ли интервалу (1,5; 2,4) число: а) √2; б) √3; в) √5; г) √6?
Сравниваем квадраты: 1,5² = 2,25, 2,4² = 5,76. Число √a принадлежит интервалу, если 2,25 < a < 5,76.
а) a = 2 < 2,25, поэтому √2 < 1,5 — не принадлежит.
б) a = 3: 2,25 < 3 < 5,76 — принадлежит.
в) a = 5: 2,25 < 5 < 5,76 — принадлежит.
г) a = 6 > 5,76, поэтому √6 > 2,4 — не принадлежит.
Ответ: принадлежат √3 и √5.
а) a = 2 < 2,25, поэтому √2 < 1,5 — не принадлежит.
б) a = 3: 2,25 < 3 < 5,76 — принадлежит.
в) a = 5: 2,25 < 5 < 5,76 — принадлежит.
г) a = 6 > 5,76, поэтому √6 > 2,4 — не принадлежит.
Ответ: принадлежат √3 и √5.
919. Укажите все дроби вида a/54, где a ∈ N, принадлежащие промежутку [1/9; 1/6].
Приведём границы к знаменателю 54: 1/9 = 6/54, 1/6 = 9/54. Нужны дроби a/54, для которых 6/54 ≤ a/54 ≤ 9/54, то есть 6 ≤ a ≤ 9, a — натуральное: a = 6, 7, 8, 9.
Ответ: 6/54; 7/54; 8/54; 9/54.
Ответ: 6/54; 7/54; 8/54; 9/54.
920. Какие целые числа принадлежат промежутку: а) (−4; 3); б) [−3; 5]?
а) Интервал (−4; 3): −4 < x < 3, концы не входят. Целые числа: −3, −2, −1, 0, 1, 2.
б) Отрезок [−3; 5]: −3 ≤ x ≤ 5, концы входят. Целые числа: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
б) Отрезок [−3; 5]: −3 ≤ x ≤ 5, концы входят. Целые числа: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
921. Какие целые числа принадлежат промежутку: а) [0; 8]; б) (−3; 3); в) (−5; 2); г) (−4; 9]?
а) [0; 8]: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
б) (−3; 3): −2, −1, 0, 1, 2.
в) (−5; 2): −4, −3, −2, −1, 0, 1.
г) (−4; 9]: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
б) (−3; 3): −2, −1, 0, 1, 2.
в) (−5; 2): −4, −3, −2, −1, 0, 1.
г) (−4; 9]: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
922. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку: а) [−12; −9]; б) [−1; 17); в) (−∞; 31]; г) (−∞; 8).
а) [−12; −9]: правый конец −9 входит, наибольшее целое число −9.
б) [−1; 17): правый конец 17 не входит, наибольшее целое число 16.
в) (−∞; 31]: 31 входит, наибольшее целое число 31.
г) (−∞; 8): 8 не входит, наибольшее целое число 7.
Ответ: а) −9; б) 16; в) 31; г) 7.
б) [−1; 17): правый конец 17 не входит, наибольшее целое число 16.
в) (−∞; 31]: 31 входит, наибольшее целое число 31.
г) (−∞; 8): 8 не входит, наибольшее целое число 7.
Ответ: а) −9; б) 16; в) 31; г) 7.
923. Принадлежит ли промежутку (−∞; 2) число 1,98?
Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку?
Существует ли в этом промежутке наименьшее число?
Промежуток (−∞; 2) — все числа x < 2. Так как 1,98 < 2, число 1,98 принадлежит промежутку.
Два числа, большие 1,98 и меньшие 2: например, 1,99 и 1,999.
Наибольшего числа в промежутке нет: для любого числа a < 2 число (a + 2)/2 лежит между a и 2, значит, оно тоже принадлежит промежутку и больше a.
Наименьшего числа тоже нет: для любого числа a < 2 число a − 1 также меньше 2 и меньше a.
Ответ: принадлежит; например, 1,99 и 1,999; наибольшего числа нет; наименьшего числа нет.
Два числа, большие 1,98 и меньшие 2: например, 1,99 и 1,999.
Наибольшего числа в промежутке нет: для любого числа a < 2 число (a + 2)/2 лежит между a и 2, значит, оно тоже принадлежит промежутку и больше a.
Наименьшего числа тоже нет: для любого числа a < 2 число a − 1 также меньше 2 и меньше a.
Ответ: принадлежит; например, 1,99 и 1,999; наибольшего числа нет; наименьшего числа нет.
924. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1; 8) и (5; 10); б) [−4; 4] и [−6; 6]; в) (5; +∞) и (7; +∞); г) (−∞; 10) и (−∞; 6).
Пересечение — общая часть промежутков: числа, принадлежащие обоим.
а) Первый промежуток 1 < x < 8, второй 5 < x < 10. Общая часть 5 < x < 8: (5; 8).
б) Отрезок [−4; 4] целиком лежит в отрезке [−6; 6], поэтому пересечение — [−4; 4].
в) x > 5 и x > 7 одновременно: x > 7. Пересечение (7; +∞).
г) x < 10 и x < 6 одновременно: x < 6. Пересечение (−∞; 6).
Ответ: а) (5; 8); б) [−4; 4]; в) (7; +∞); г) (−∞; 6).
а) Первый промежуток 1 < x < 8, второй 5 < x < 10. Общая часть 5 < x < 8: (5; 8).
б) Отрезок [−4; 4] целиком лежит в отрезке [−6; 6], поэтому пересечение — [−4; 4].
в) x > 5 и x > 7 одновременно: x > 7. Пересечение (7; +∞).
г) x < 10 и x < 6 одновременно: x < 6. Пересечение (−∞; 6).
Ответ: а) (5; 8); б) [−4; 4]; в) (7; +∞); г) (−∞; 6).
925. Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов (−3,9; 2) и (−4,3; 1)?
Выберите верный ответ:
1. Три 2. Четыре 3. Пять 4. Шесть
Пересечение интервалов: x > −3,9 и x > −4,3 дают x > −3,9; x < 2 и x < 1 дают x < 1. Пересечение — интервал (−3,9; 1).
Целые числа в нём: −3, −2, −1, 0 — всего четыре (число 1 не входит).
Ответ: 2. Четыре.
Целые числа в нём: −3, −2, −1, 0 — всего четыре (число 1 не входит).
Ответ: 2. Четыре.
926. Покажите дугой на координатной прямой объединение промежутков: а) [−7; 0] и [−3; 5]; б) (−4; 1) и (10; 12); в) (−∞; 4) и (10; +∞); г) [3; +∞) и (8; +∞).
Объединение — все числа, принадлежащие хотя бы одному из промежутков.
а) [−7; 0] и [−3; 5] перекрываются (общая часть [−3; 0]), объединение — один отрезок [−7; 5]; дуга от −7 до 5.
б) (−4; 1) и (10; 12) не имеют общих точек, объединение состоит из двух частей: (−4; 1) ∪ (10; 12); две дуги.
в) (−∞; 4) и (10; +∞) не пересекаются: (−∞; 4) ∪ (10; +∞); две дуги — левая уходит влево, правая вправо.
г) Луч (8; +∞) лежит внутри луча [3; +∞), поэтому объединение — [3; +∞); одна дуга от 3 вправо.
а) [−7; 0] и [−3; 5] перекрываются (общая часть [−3; 0]), объединение — один отрезок [−7; 5]; дуга от −7 до 5.
б) (−4; 1) и (10; 12) не имеют общих точек, объединение состоит из двух частей: (−4; 1) ∪ (10; 12); две дуги.
в) (−∞; 4) и (10; +∞) не пересекаются: (−∞; 4) ∪ (10; +∞); две дуги — левая уходит влево, правая вправо.
г) Луч (8; +∞) лежит внутри луча [3; +∞), поэтому объединение — [3; +∞); одна дуга от 3 вправо.
927. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков: а) (−3; +∞) и (4; +∞); б) (−∞; 2) и [0; +∞); в) (−∞; 6) и (−∞; 9); г) [1; 5] и [0; 8].
а) Общая часть x > −3 и x > 4: x > 4. Пересечение (4; +∞). Второй промежуток целиком лежит в первом, поэтому объединение (−3; +∞).
б) Общая часть x < 2 и x ≥ 0: 0 ≤ x < 2. Пересечение [0; 2). Объединение покрывает всю прямую: любое число либо меньше 2, либо не меньше 0 (промежутки перекрываются на [0; 2)). Объединение (−∞; +∞).
в) Общая часть x < 6 и x < 9: x < 6. Пересечение (−∞; 6). Объединение (−∞; 9).
г) Отрезок [1; 5] лежит внутри отрезка [0; 8]: пересечение [1; 5], объединение [0; 8].
Ответ: а) (4; +∞), (−3; +∞); б) [0; 2), (−∞; +∞); в) (−∞; 6), (−∞; 9); г) [1; 5], [0; 8].
б) Общая часть x < 2 и x ≥ 0: 0 ≤ x < 2. Пересечение [0; 2). Объединение покрывает всю прямую: любое число либо меньше 2, либо не меньше 0 (промежутки перекрываются на [0; 2)). Объединение (−∞; +∞).
в) Общая часть x < 6 и x < 9: x < 6. Пересечение (−∞; 6). Объединение (−∞; 9).
г) Отрезок [1; 5] лежит внутри отрезка [0; 8]: пересечение [1; 5], объединение [0; 8].
Ответ: а) (4; +∞), (−3; +∞); б) [0; 2), (−∞; +∞); в) (−∞; 6), (−∞; 9); г) [1; 5], [0; 8].