Глава IV. §12. п.37 Пересечение и объединение множеств — с. 203
909. Решите уравнение 1 − 1/(2 − x) = (6 − x)/(3x² − 12) − 1/(x − 2).
Разложим 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2); общий знаменатель 3(x − 2)(x + 2); x ≠ 2, x ≠ −2.
Заметим, что 1/(2 − x) = −1/(x − 2). Уравнение: 1 + 1/(x − 2) = (6 − x)/(3(x − 2)(x + 2)) − 1/(x − 2), откуда 1 + 2/(x − 2) = (6 − x)/(3(x − 2)(x + 2)).
Умножим на 3(x − 2)(x + 2): 3(x − 2)(x + 2) + 6(x + 2) = 6 − x.
3x² − 12 + 6x + 12 = 6 − x; 3x² + 7x − 6 = 0.
D = 49 + 72 = 121; x = (−7 ± 11)/6, x₁ = 2/3, x₂ = −3. Оба значения удовлетворяют условию x ≠ ±2.
Ответ: −3; 2/3.
Заметим, что 1/(2 − x) = −1/(x − 2). Уравнение: 1 + 1/(x − 2) = (6 − x)/(3(x − 2)(x + 2)) − 1/(x − 2), откуда 1 + 2/(x − 2) = (6 − x)/(3(x − 2)(x + 2)).
Умножим на 3(x − 2)(x + 2): 3(x − 2)(x + 2) + 6(x + 2) = 6 − x.
3x² − 12 + 6x + 12 = 6 − x; 3x² + 7x − 6 = 0.
D = 49 + 72 = 121; x = (−7 ± 11)/6, x₁ = 2/3, x₂ = −3. Оба значения удовлетворяют условию x ≠ ±2.
Ответ: −3; 2/3.
910. В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором — только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?
Пусть урожайность в первом хозяйстве x ц/га, тогда во втором (x − 2) ц/га. Площадь под гречихой в первом хозяйстве 180/x га, во втором 160/(x − 2) га. Во втором площадь на 1 га больше:
160/(x − 2) − 180/x = 1.
Умножим на x(x − 2) (x ≠ 0, x ≠ 2): 160x − 180(x − 2) = x(x − 2); −20x + 360 = x² − 2x; x² + 18x − 360 = 0.
D = 324 + 1440 = 1764 = 42²; x = (−18 ± 42)/2, x = 12 или x = −30. Урожайность положительна, значит x = 12.
Урожайность во втором хозяйстве 12 − 2 = 10 ц/га.
Проверка: 180 : 12 = 15 га, 160 : 10 = 16 га, разница 1 га.
Ответ: 12 ц/га и 10 ц/га.
160/(x − 2) − 180/x = 1.
Умножим на x(x − 2) (x ≠ 0, x ≠ 2): 160x − 180(x − 2) = x(x − 2); −20x + 360 = x² − 2x; x² + 18x − 360 = 0.
D = 324 + 1440 = 1764 = 42²; x = (−18 ± 42)/2, x = 12 или x = −30. Урожайность положительна, значит x = 12.
Урожайность во втором хозяйстве 12 − 2 = 10 ц/га.
Проверка: 180 : 12 = 15 га, 160 : 10 = 16 га, разница 1 га.
Ответ: 12 ц/га и 10 ц/га.