Глава IV. §12. п.37 Пересечение и объединение множеств — с. 201
898. Известно, что X — множество простых чисел, не превосходящих 20, а Y — множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества X и Y перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.
Простые числа, не превосходящие 20: X = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Двузначные числа, не превосходящие 20: Y = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Пересечение — общие элементы: X ∩ Y = {11, 13, 17, 19}.
Объединение — все элементы обоих множеств: X ∪ Y = {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Двузначные числа, не превосходящие 20: Y = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
Пересечение — общие элементы: X ∩ Y = {11, 13, 17, 19}.
Объединение — все элементы обоих множеств: X ∪ Y = {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
899. Задайте путём перечисления элементов множество A двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество B двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств.
Двузначные квадраты: 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, поэтому A = {16, 25, 36, 49, 64, 81}.
Двузначные числа, кратные 16: B = {16, 32, 48, 64, 80, 96}.
A ∩ B = {16, 64}.
A ∪ B = {16, 25, 32, 36, 48, 49, 64, 80, 81, 96}.
Двузначные числа, кратные 16: B = {16, 32, 48, 64, 80, 96}.
A ∩ B = {16, 64}.
A ∪ B = {16, 25, 32, 36, 48, 49, 64, 80, 81, 96}.
900. Найдите пересечение и объединение: а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321; б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»; в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел; г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.
а) Цифры числа 11 243: {1, 2, 3, 4}; цифры числа 6321: {1, 2, 3, 6}. Пересечение: {1, 2, 3}. Объединение: {1, 2, 3, 4, 6}.
б) Буквы слова «геометрия»: {г, е, о, м, т, р, и, я}; буквы слова «география»: {г, е, о, р, а, ф, и, я}. Пересечение: {г, е, о, р, и, я}. Объединение: {а, г, е, и, м, о, р, т, ф, я}.
в) Простые числа до 40: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}. Пересечение с множеством двузначных чисел: {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}. Объединение: все двузначные числа 10, 11, …, 99 и однозначные простые числа 2, 3, 5, 7.
г) Двузначные числа, кратные 19: 19, 38, 57, 76, 95, поэтому пересечение: {19, 38, 57, 76, 95}. Объединение: все двузначные числа и все натуральные числа, кратные 19, которые больше 99 (114, 133, 152, …).
б) Буквы слова «геометрия»: {г, е, о, м, т, р, и, я}; буквы слова «география»: {г, е, о, р, а, ф, и, я}. Пересечение: {г, е, о, р, и, я}. Объединение: {а, г, е, и, м, о, р, т, ф, я}.
в) Простые числа до 40: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}. Пересечение с множеством двузначных чисел: {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}. Объединение: все двузначные числа 10, 11, …, 99 и однозначные простые числа 2, 3, 5, 7.
г) Двузначные числа, кратные 19: 19, 38, 57, 76, 95, поэтому пересечение: {19, 38, 57, 76, 95}. Объединение: все двузначные числа и все натуральные числа, кратные 19, которые больше 99 (114, 133, 152, …).
901. Пусть A — множество квадратов натуральных чисел, B — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли: а) пересечению множеств A и B число 1; 4; 64; б) объединению множеств A и B число 16; 27; 64?
Квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, … Кубы: 1, 8, 27, 64, 125, …
а) Пересечению принадлежат числа, являющиеся и квадратом, и кубом.
1 = 1² = 1³ — принадлежит.
4 = 2² — квадрат, но не куб (1³ = 1, 2³ = 8), не принадлежит.
64 = 8² = 4³ — принадлежит.
б) Объединению принадлежат числа, являющиеся квадратом или кубом.
16 = 4² — принадлежит.
27 = 3³ — принадлежит.
64 = 8² = 4³ — принадлежит.
Ответ: а) 1 — да, 4 — нет, 64 — да; б) 16, 27 и 64 принадлежат.
а) Пересечению принадлежат числа, являющиеся и квадратом, и кубом.
1 = 1² = 1³ — принадлежит.
4 = 2² — квадрат, но не куб (1³ = 1, 2³ = 8), не принадлежит.
64 = 8² = 4³ — принадлежит.
б) Объединению принадлежат числа, являющиеся квадратом или кубом.
16 = 4² — принадлежит.
27 = 3³ — принадлежит.
64 = 8² = 4³ — принадлежит.
Ответ: а) 1 — да, 4 — нет, 64 — да; б) 16, 27 и 64 принадлежат.