Глава IV. §11. п.36 Сложение и умножение числовых неравенств — с. 199
893. Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.
Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник, диагонали AC и BD пересекаются в точке O (у выпуклого четырёхугольника диагонали пересекаются внутри него). Докажем, что AB + CD < AC + BD.
В треугольнике AOB по неравенству треугольника AB < AO + OB. В треугольнике COD: CD < CO + OD.
Складываем почленно: AB + CD < (AO + OC) + (OB + OD). Так как O лежит на отрезках AC и BD, AO + OC = AC и OB + OD = BD. Следовательно, AB + CD < AC + BD.
Для другой пары противоположных сторон (BC и AD) доказательство такое же: BC < BO + OC, AD < AO + OD, и BC + AD < AC + BD. Что и требовалось доказать.
В треугольнике AOB по неравенству треугольника AB < AO + OB. В треугольнике COD: CD < CO + OD.
Складываем почленно: AB + CD < (AO + OC) + (OB + OD). Так как O лежит на отрезках AC и BD, AO + OC = AC и OB + OD = BD. Следовательно, AB + CD < AC + BD.
Для другой пары противоположных сторон (BC и AD) доказательство такое же: BC < BO + OC, AD < AO + OD, и BC + AD < AC + BD. Что и требовалось доказать.
894. (Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану BO.
2) На луче BO отложите отрезок OD = BO и соедините точку D с точками A и C. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2m_b с суммой BC + AB (m_b — медиана BO).
4) Составьте аналогичные неравенства для 2m_a и 2m_c.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму медиан треугольника m_a + m_b + m_c.
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану BO.
2) На луче BO отложите отрезок OD = BO и соедините точку D с точками A и C. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2m_b с суммой BC + AB (m_b — медиана BO).
4) Составьте аналогичные неравенства для 2m_a и 2m_c.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму медиан треугольника m_a + m_b + m_c.
1) Строим треугольник ABC; BO — медиана, значит O — середина стороны AC, AO = OC.
2) Откладываем OD = BO на луче BO. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся ею пополам (AO = OC, BO = OD). Значит, ABCD — параллелограмм, и AD = BC.
3) В треугольнике ABD BD = 2BO = 2m_b. По неравенству треугольника BD < AB + AD. Так как AD = BC, получаем 2m_b < AB + BC.
4) Аналогично для медианы m_a (проведённой из вершины A) 2m_a < AB + AC, для медианы m_c (из вершины C) 2m_c < AC + BC.
5) Складываем три неравенства почленно: 2(m_a + m_b + m_c) < 2(AB + BC + AC). Разделив на 2, получаем m_a + m_b + m_c < AB + BC + AC.
Ответ: сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.
2) Откладываем OD = BO на луче BO. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся ею пополам (AO = OC, BO = OD). Значит, ABCD — параллелограмм, и AD = BC.
3) В треугольнике ABD BD = 2BO = 2m_b. По неравенству треугольника BD < AB + AD. Так как AD = BC, получаем 2m_b < AB + BC.
4) Аналогично для медианы m_a (проведённой из вершины A) 2m_a < AB + AC, для медианы m_c (из вершины C) 2m_c < AC + BC.
5) Складываем три неравенства почленно: 2(m_a + m_b + m_c) < 2(AB + BC + AC). Разделив на 2, получаем m_a + m_b + m_c < AB + BC + AC.
Ответ: сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.
895. Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм². Каковы размеры первоначального листа жести?
Пусть сторона квадрата x дм. После отрезания полосы шириной 5 дм остался прямоугольник со сторонами x и x − 5 дм, его площадь x(x − 5) = 6.
x² − 5x − 6 = 0. По теореме Виета x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = −6, откуда x₁ = 6, x₂ = −1. Сторона не может быть отрицательной, поэтому x = 6.
Проверка: 6 · (6 − 5) = 6.
Ответ: 6 дм × 6 дм.
x² − 5x − 6 = 0. По теореме Виета x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = −6, откуда x₁ = 6, x₂ = −1. Сторона не может быть отрицательной, поэтому x = 6.
Проверка: 6 · (6 − 5) = 6.
Ответ: 6 дм × 6 дм.
896. Упростите выражение (8x/(16 − 9x²) + x/(3x − 4)) : (1 − (4 − 3x)/(4 + 3x)).
16 − 9x² = (4 − 3x)(4 + 3x), 3x − 4 = −(4 − 3x).
Первая скобка: 8x/((4 − 3x)(4 + 3x)) − x/(4 − 3x) = (8x − x(4 + 3x))/((4 − 3x)(4 + 3x)) = (4x − 3x²)/((4 − 3x)(4 + 3x)) = x(4 − 3x)/((4 − 3x)(4 + 3x)) = x/(4 + 3x).
Вторая скобка: 1 − (4 − 3x)/(4 + 3x) = (4 + 3x − 4 + 3x)/(4 + 3x) = 6x/(4 + 3x).
Деление: x/(4 + 3x) · (4 + 3x)/(6x) = 1/6.
Ответ: 1/6.
Первая скобка: 8x/((4 − 3x)(4 + 3x)) − x/(4 − 3x) = (8x − x(4 + 3x))/((4 − 3x)(4 + 3x)) = (4x − 3x²)/((4 − 3x)(4 + 3x)) = x(4 − 3x)/((4 − 3x)(4 + 3x)) = x/(4 + 3x).
Вторая скобка: 1 − (4 − 3x)/(4 + 3x) = (4 + 3x − 4 + 3x)/(4 + 3x) = 6x/(4 + 3x).
Деление: x/(4 + 3x) · (4 + 3x)/(6x) = 1/6.
Ответ: 1/6.
897. Докажите, что: а) 9a + 1/a ≥ 6 при a > 0; б) 25b + 1/b ≤ −10 при b < 0.
а) Рассмотрим разность: 9a + 1/a − 6 = (9a² − 6a + 1)/a = (3a − 1)²/a. При a > 0 числитель неотрицателен, знаменатель положителен, значит разность ≥ 0, то есть 9a + 1/a ≥ 6.
б) Рассмотрим разность: 25b + 1/b − (−10) = (25b² + 10b + 1)/b = (5b + 1)²/b. При b < 0 числитель неотрицателен, знаменатель отрицателен, значит разность ≤ 0, то есть 25b + 1/b ≤ −10. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим разность: 25b + 1/b − (−10) = (25b² + 10b + 1)/b = (5b + 1)²/b. При b < 0 числитель неотрицателен, знаменатель отрицателен, значит разность ≤ 0, то есть 25b + 1/b ≤ −10. Что и требовалось доказать.
Вопрос 1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.
Теорема 1. Если a < b и b < c, то a < c.
Доказательство. По условию a − b < 0 и b − c < 0. Сумма отрицательных чисел отрицательна: (a − b) + (b − c) = a − c < 0, значит a < c.
Теорема 2. Если a < b и c — любое число, то a + c < b + c.
Доказательство. (a + c) − (b + c) = a − b < 0, значит a + c < b + c.
Теорема 3. Если a < b и c — положительное число, то ac < bc; если a < b и c — отрицательное число, то ac > bc.
Доказательство. ac − bc = c(a − b). Разность a − b отрицательна. Если c > 0, то произведение c(a − b) отрицательно, и ac < bc. Если c < 0, то произведение c(a − b) положительно, и ac > bc.
Следствия: слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя знак; обе части можно делить на одно и то же число (положительное — знак сохраняется, отрицательное — знак меняется на противоположный).
Доказательство. По условию a − b < 0 и b − c < 0. Сумма отрицательных чисел отрицательна: (a − b) + (b − c) = a − c < 0, значит a < c.
Теорема 2. Если a < b и c — любое число, то a + c < b + c.
Доказательство. (a + c) − (b + c) = a − b < 0, значит a + c < b + c.
Теорема 3. Если a < b и c — положительное число, то ac < bc; если a < b и c — отрицательное число, то ac > bc.
Доказательство. ac − bc = c(a − b). Разность a − b отрицательна. Если c > 0, то произведение c(a − b) отрицательно, и ac < bc. Если c < 0, то произведение c(a − b) положительно, и ac > bc.
Следствия: слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя знак; обе части можно делить на одно и то же число (положительное — знак сохраняется, отрицательное — знак меняется на противоположный).
Вопрос 2. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств.
Теорема о почленном сложении. Если a < b и c < d, то a + c < b + d.
Доказательство. По теореме 2 из a < b следует a + c < b + c, а из c < d следует b + c < b + d. По теореме 1 (транзитивность) a + c < b + d.
Теорема о почленном умножении. Если a < b, c < d и все числа a, b, c, d положительны, то ac < bd.
Доказательство. Так как c > 0, из a < b следует ac < bc. Так как b > 0, из c < d следует bc < bd. По теореме 1 ac < bd.
Следствие: если a < b и a, b положительны, то для любого натурального n верно aⁿ < bⁿ.
Доказательство. По теореме 2 из a < b следует a + c < b + c, а из c < d следует b + c < b + d. По теореме 1 (транзитивность) a + c < b + d.
Теорема о почленном умножении. Если a < b, c < d и все числа a, b, c, d положительны, то ac < bd.
Доказательство. Так как c > 0, из a < b следует ac < bc. Так как b > 0, из c < d следует bc < bd. По теореме 1 ac < bd.
Следствие: если a < b и a, b положительны, то для любого натурального n верно aⁿ < bⁿ.
Вопрос 3. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел a и b, если известно, что 4 < a < 5 и 9 < b < 10.
Сумма: 4 + 9 < a + b < 5 + 10, то есть 13 < a + b < 15.
Разность: из 9 < b < 10 получаем −10 < −b < −9; складываем с 4 < a < 5: 4 − 10 < a − b < 5 − 9, то есть −6 < a − b < −4.
Произведение (числа положительны): 4 · 9 < ab < 5 · 10, то есть 36 < ab < 50.
Частное: из 9 < b < 10 получаем 1/10 < 1/b < 1/9; умножаем на 4 < a < 5: 4 · 1/10 < a/b < 5 · 1/9, то есть 0,4 < a/b < 5/9.
Ответ: 13 < a + b < 15; −6 < a − b < −4; 36 < ab < 50; 0,4 < a/b < 5/9.
Разность: из 9 < b < 10 получаем −10 < −b < −9; складываем с 4 < a < 5: 4 − 10 < a − b < 5 − 9, то есть −6 < a − b < −4.
Произведение (числа положительны): 4 · 9 < ab < 5 · 10, то есть 36 < ab < 50.
Частное: из 9 < b < 10 получаем 1/10 < 1/b < 1/9; умножаем на 4 < a < 5: 4 · 1/10 < a/b < 5 · 1/9, то есть 0,4 < a/b < 5/9.
Ответ: 13 < a + b < 15; −6 < a − b < −4; 36 < ab < 50; 0,4 < a/b < 5/9.