Глава IV. §11. п.36 Сложение и умножение числовых неравенств — с. 198
885. Зная, что 6 < x < 7 и 10 < y < 12, оцените: а) x + y; б) y − x; в) xy; г) y/x.
а) 6 + 10 < x + y < 7 + 12, то есть 16 < x + y < 19.
б) Из 6 < x < 7 следует −7 < −x < −6. Складываем с 10 < y < 12: 10 − 7 < y − x < 12 − 6, то есть 3 < y − x < 6.
в) Числа положительны: 6 · 10 < xy < 7 · 12, то есть 60 < xy < 84.
г) Из 6 < x < 7 следует 1/7 < 1/x < 1/6. Умножаем почленно на 10 < y < 12: 10/7 < y/x < 12/6, то есть 10/7 < y/x < 2.
Ответ: а) 16 < x + y < 19; б) 3 < y − x < 6; в) 60 < xy < 84; г) 10/7 < y/x < 2.
б) Из 6 < x < 7 следует −7 < −x < −6. Складываем с 10 < y < 12: 10 − 7 < y − x < 12 − 6, то есть 3 < y − x < 6.
в) Числа положительны: 6 · 10 < xy < 7 · 12, то есть 60 < xy < 84.
г) Из 6 < x < 7 следует 1/7 < 1/x < 1/6. Умножаем почленно на 10 < y < 12: 10/7 < y/x < 12/6, то есть 10/7 < y/x < 2.
Ответ: а) 16 < x + y < 19; б) 3 < y − x < 6; в) 60 < xy < 84; г) 10/7 < y/x < 2.
886. Пользуясь тем, что 1,4 < √2 < 1,5 и 1,7 < √3 < 1,8, оцените: а) √2 + √3; б) √3 − √2.
а) Складываем почленно: 1,4 + 1,7 < √2 + √3 < 1,5 + 1,8, то есть 3,1 < √2 + √3 < 3,3.
б) Из 1,4 < √2 < 1,5 получаем −1,5 < −√2 < −1,4. Складываем с 1,7 < √3 < 1,8: 1,7 − 1,5 < √3 − √2 < 1,8 − 1,4, то есть 0,2 < √3 − √2 < 0,4.
Ответ: а) 3,1 < √2 + √3 < 3,3; б) 0,2 < √3 − √2 < 0,4.
б) Из 1,4 < √2 < 1,5 получаем −1,5 < −√2 < −1,4. Складываем с 1,7 < √3 < 1,8: 1,7 − 1,5 < √3 − √2 < 1,8 − 1,4, то есть 0,2 < √3 − √2 < 0,4.
Ответ: а) 3,1 < √2 + √3 < 3,3; б) 0,2 < √3 − √2 < 0,4.
887. Пользуясь тем, что 2,2 < √5 < 2,3 и 2,4 < √6 < 2,5, оцените: а) √6 + √5; б) √6 − √5.
а) Складываем почленно: 2,4 + 2,2 < √6 + √5 < 2,5 + 2,3, то есть 4,6 < √6 + √5 < 4,8.
б) Из 2,2 < √5 < 2,3 получаем −2,3 < −√5 < −2,2. Складываем с 2,4 < √6 < 2,5: 2,4 − 2,3 < √6 − √5 < 2,5 − 2,2, то есть 0,1 < √6 − √5 < 0,3.
Ответ: а) 4,6 < √6 + √5 < 4,8; б) 0,1 < √6 − √5 < 0,3.
б) Из 2,2 < √5 < 2,3 получаем −2,3 < −√5 < −2,2. Складываем с 2,4 < √6 < 2,5: 2,4 − 2,3 < √6 − √5 < 2,5 − 2,2, то есть 0,1 < √6 − √5 < 0,3.
Ответ: а) 4,6 < √6 + √5 < 4,8; б) 0,1 < √6 − √5 < 0,3.
888. Известны границы длин основания a и боковой стороны b равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах: 26 ≤ a ≤ 28 и 41 ≤ b ≤ 43. Оцените периметр этого треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника P = a + 2b.
Удваиваем неравенство для b: 82 ≤ 2b ≤ 86.
Складываем почленно с 26 ≤ a ≤ 28: 26 + 82 ≤ a + 2b ≤ 28 + 86, то есть 108 ≤ P ≤ 114.
Ответ: периметр не меньше 108 мм и не больше 114 мм.
Удваиваем неравенство для b: 82 ≤ 2b ≤ 86.
Складываем почленно с 26 ≤ a ≤ 28: 26 + 82 ≤ a + 2b ≤ 28 + 86, то есть 108 ≤ P ≤ 114.
Ответ: периметр не меньше 108 мм и не больше 114 мм.
889. Измеряя длину a и ширину b прямоугольника (в сантиметрах), нашли, что 5,4 < a < 5,5 и 3,6 < b < 3,7. Оцените: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника.
а) P = 2(a + b). Складываем: 5,4 + 3,6 < a + b < 5,5 + 3,7, то есть 9 < a + b < 9,2. Умножаем на 2: 18 < P < 18,4.
б) S = ab. Числа положительны, перемножаем: 5,4 · 3,6 < ab < 5,5 · 3,7, то есть 19,44 < S < 20,35.
Ответ: а) 18 см < P < 18,4 см; б) 19,44 см² < S < 20,35 см².
б) S = ab. Числа положительны, перемножаем: 5,4 · 3,6 < ab < 5,5 · 3,7, то есть 19,44 < S < 20,35.
Ответ: а) 18 см < P < 18,4 см; б) 19,44 см² < S < 20,35 см².
890. Известны границы длины a и ширины b (в метрах) комнаты прямоугольной формы: 7,5 ≤ a ≤ 7,6 и 5,4 ≤ b ≤ 5,5. Подойдёт ли это помещение для библиотеки, для которой требуется комната площадью не менее 40 м²?
Площадь S = ab. Числа положительны, перемножаем почленно: 7,5 · 5,4 ≤ ab ≤ 7,6 · 5,5, то есть 40,5 ≤ S ≤ 41,8.
При любых допустимых размерах площадь не меньше 40,5 м², а 40,5 > 40.
Ответ: да, подойдёт.
При любых допустимых размерах площадь не меньше 40,5 м², а 40,5 > 40.
Ответ: да, подойдёт.
891. Пусть α и β — углы треугольника. Известно, что 58° ≤ α ≤ 59°, 102° ≤ β ≤ 103°. Оцените величину третьего угла.
Третий угол γ = 180° − (α + β).
Складываем: 58° + 102° ≤ α + β ≤ 59° + 103°, то есть 160° ≤ α + β ≤ 162°.
Умножаем на −1: −162° ≤ −(α + β) ≤ −160°. Прибавляем 180°: 18° ≤ γ ≤ 20°.
Ответ: 18° ≤ γ ≤ 20°.
Складываем: 58° + 102° ≤ α + β ≤ 59° + 103°, то есть 160° ≤ α + β ≤ 162°.
Умножаем на −1: −162° ≤ −(α + β) ≤ −160°. Прибавляем 180°: 18° ≤ γ ≤ 20°.
Ответ: 18° ≤ γ ≤ 20°.
892. (Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 верно неравенство: а) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc; б) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)/16 ≥ abc.
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел a и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел a и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
1) Свойства: можно почленно складывать неравенства одного смысла и почленно перемножать неравенства одного смысла с неотрицательными частями. Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим: (a + b)/2 ≥ √(ab) при a ≥ 0, b ≥ 0 (равенство только при a = b).
2) а) Запишем три неравенства: a + b ≥ 2√(ab), b + c ≥ 2√(bc), a + c ≥ 2√(ac). Все части неотрицательны, поэтому перемножаем их почленно: (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8√(ab · bc · ac) = 8√(a²b²c²) = 8abc. Неравенство доказано.
б) Запишем четыре неравенства: a + 1 ≥ 2√a, b + 1 ≥ 2√b, a + c ≥ 2√(ac), b + c ≥ 2√(bc). Перемножаем почленно (части неотрицательны): (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16√(a · b · ac · bc) = 16√(a²b²c²) = 16abc. Разделив обе части на 16, получаем (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)/16 ≥ abc. Неравенство доказано.
3) Проверка: в доказательстве использованы только неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел и почленное перемножение неравенств с неотрицательными частями. При a = b = c = 1 оба неравенства обращаются в равенство (8 = 8 и 16/16 = 1), что согласуется с доказанным.
2) а) Запишем три неравенства: a + b ≥ 2√(ab), b + c ≥ 2√(bc), a + c ≥ 2√(ac). Все части неотрицательны, поэтому перемножаем их почленно: (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8√(ab · bc · ac) = 8√(a²b²c²) = 8abc. Неравенство доказано.
б) Запишем четыре неравенства: a + 1 ≥ 2√a, b + 1 ≥ 2√b, a + c ≥ 2√(ac), b + c ≥ 2√(bc). Перемножаем почленно (части неотрицательны): (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16√(a · b · ac · bc) = 16√(a²b²c²) = 16abc. Разделив обе части на 16, получаем (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)/16 ≥ abc. Неравенство доказано.
3) Проверка: в доказательстве использованы только неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел и почленное перемножение неравенств с неотрицательными частями. При a = b = c = 1 оба неравенства обращаются в равенство (8 = 8 и 16/16 = 1), что согласуется с доказанным.