Глава IV. §11. п.36 Сложение и умножение числовых неравенств — с. 197
881. Сложите почленно неравенства: а) 12 > −5 и 9 > 7; б) −2,5 < −0,7 и −6,5 < −1,3.
При почленном сложении неравенств одного смысла складываем левые части и правые части, знак сохраняется.
а) Неравенства 12 > −5 и 9 > 7 одного смысла. 12 + 9 > −5 + 7, то есть 21 > 2.
б) Неравенства −2,5 < −0,7 и −6,5 < −1,3 одного смысла. −2,5 + (−6,5) < −0,7 + (−1,3), то есть −9 < −2.
Ответ: а) 21 > 2; б) −9 < −2.
а) Неравенства 12 > −5 и 9 > 7 одного смысла. 12 + 9 > −5 + 7, то есть 21 > 2.
б) Неравенства −2,5 < −0,7 и −6,5 < −1,3 одного смысла. −2,5 + (−6,5) < −0,7 + (−1,3), то есть −9 < −2.
Ответ: а) 21 > 2; б) −9 < −2.
882. Перемножьте почленно неравенства: а) 5 > 2 и 4 > 3; б) 8 < 10 и 1/4 < 1/2.
Почленно перемножать можно неравенства одного смысла, у которых обе части положительны; знак сохраняется.
а) Все числа положительны: 5 · 4 > 2 · 3, то есть 20 > 6.
б) Все числа положительны: 8 · 1/4 < 10 · 1/2, то есть 2 < 5.
Ответ: а) 20 > 6; б) 2 < 5.
а) Все числа положительны: 5 · 4 > 2 · 3, то есть 20 > 6.
б) Все числа положительны: 8 · 1/4 < 10 · 1/2, то есть 2 < 5.
Ответ: а) 20 > 6; б) 2 < 5.
883. Верно ли для положительных чисел a и b, что: а) если a² > b², то a³ > b³; б) если a³ > b³, то a² > b²?
Для положительных a и b сравнение чисел, их квадратов и кубов даёт один и тот же результат.
а) Пусть a² > b², то есть a² − b² = (a − b)(a + b) > 0. Так как a + b > 0, то a − b > 0, то есть a > b. Умножая почленно верные неравенства a > b, a² > b² (все части положительны), получаем a³ > b³. Утверждение верно.
б) Пусть a³ > b³. Допустим, что a ≤ b. Тогда по тому же правилу (почленное умножение положительных частей) a³ ≤ b³ — противоречие. Значит, a > b, и, перемножая почленно a > b и a > b, получаем a² > b². Утверждение верно.
Ответ: а) верно; б) верно.
а) Пусть a² > b², то есть a² − b² = (a − b)(a + b) > 0. Так как a + b > 0, то a − b > 0, то есть a > b. Умножая почленно верные неравенства a > b, a² > b² (все части положительны), получаем a³ > b³. Утверждение верно.
б) Пусть a³ > b³. Допустим, что a ≤ b. Тогда по тому же правилу (почленное умножение положительных частей) a³ ≤ b³ — противоречие. Значит, a > b, и, перемножая почленно a > b и a > b, получаем a² > b². Утверждение верно.
Ответ: а) верно; б) верно.
884. Пусть 3 < a < 4 и 4 < b < 5. Оцените: а) a + b; б) a − b; в) ab; г) a/b.
а) Складываем почленно: 3 + 4 < a + b < 4 + 5, то есть 7 < a + b < 9.
б) Из 4 < b < 5 получаем −5 < −b < −4. Складываем с 3 < a < 4: 3 − 5 < a − b < 4 − 4, то есть −2 < a − b < 0.
в) Все числа положительны, перемножаем почленно: 3 · 4 < ab < 4 · 5, то есть 12 < ab < 20.
г) Из 4 < b < 5 получаем 1/5 < 1/b < 1/4. Перемножаем с 3 < a < 4: 3 · 1/5 < a/b < 4 · 1/4, то есть 3/5 < a/b < 1.
Ответ: а) 7 < a + b < 9; б) −2 < a − b < 0; в) 12 < ab < 20; г) 3/5 < a/b < 1.
б) Из 4 < b < 5 получаем −5 < −b < −4. Складываем с 3 < a < 4: 3 − 5 < a − b < 4 − 4, то есть −2 < a − b < 0.
в) Все числа положительны, перемножаем почленно: 3 · 4 < ab < 4 · 5, то есть 12 < ab < 20.
г) Из 4 < b < 5 получаем 1/5 < 1/b < 1/4. Перемножаем с 3 < a < 4: 3 · 1/5 < a/b < 4 · 1/4, то есть 3/5 < a/b < 1.
Ответ: а) 7 < a + b < 9; б) −2 < a − b < 0; в) 12 < ab < 20; г) 3/5 < a/b < 1.