Глава IV. §11. п.35 Свойства числовых неравенств — с. 194
869. Известно, что a, b, c и d — положительные числа, причём a > b, d < b, c > a. Расположите в порядке возрастания числа 1/a, 1/b, 1/c, 1/d.
Из условий: d < b < a < c. Для положительных чисел большему числу соответствует меньшее обратное (следствие из теоремы: если 0 < x < y, то 1/x > 1/y). Поэтому 1/d > 1/b > 1/a > 1/c.
Ответ в порядке возрастания: 1/c < 1/a < 1/b < 1/d.
Ответ в порядке возрастания: 1/c < 1/a < 1/b < 1/d.
870. (Для работы в парах.) Известно, что a — положительное число. а) Расположите в порядке возрастания числа 2a, a√3, −a, a(√3 − √2), 3a. б) Расположите в порядке убывания числа 6a, −a√5, a(√7 − √6), −a, −5a − 1.
1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки.
Так как a > 0, при умножении неравенств на a знаки сохраняются.
а) Сравним коэффициенты при a: 2, √3, −1, √3 − √2, 3. Известно, что √3 < 2 (так как 3 < 4) и √3 > 1. Далее 0 < √3 − √2 < √3 − 1 < 1, так как √2 > 1 и √3 < 2. Отрицательное число −1 меньше всех. Получаем −1 < √3 − √2 < √3 < 2 < 3. Умножим на a > 0.
Ответ: −a < a(√3 − √2) < a√3 < 2a < 3a.
б) Коэффициенты: 6, −√5, √7 − √6, −1, и число −5a − 1. Положительные: 6 и √7 − √6, причём √7 − √6 < √7 < 3 < 6. Отрицательные: −1 > −√5, так как √5 > 1. Далее −√5 a > −5a, так как √5 < 5 (умножаем на a > 0 неравенство −√5 > −5), а −5a > −5a − 1. Значит, −a√5 > −5a − 1.
Ответ в порядке убывания: 6a > a(√7 − √6) > −a > −a√5 > −5a − 1.
а) Сравним коэффициенты при a: 2, √3, −1, √3 − √2, 3. Известно, что √3 < 2 (так как 3 < 4) и √3 > 1. Далее 0 < √3 − √2 < √3 − 1 < 1, так как √2 > 1 и √3 < 2. Отрицательное число −1 меньше всех. Получаем −1 < √3 − √2 < √3 < 2 < 3. Умножим на a > 0.
Ответ: −a < a(√3 − √2) < a√3 < 2a < 3a.
б) Коэффициенты: 6, −√5, √7 − √6, −1, и число −5a − 1. Положительные: 6 и √7 − √6, причём √7 − √6 < √7 < 3 < 6. Отрицательные: −1 > −√5, так как √5 > 1. Далее −√5 a > −5a, так как √5 < 5 (умножаем на a > 0 неравенство −√5 > −5), а −5a > −5a − 1. Значит, −a√5 > −5a − 1.
Ответ в порядке убывания: 6a > a(√7 − √6) > −a > −a√5 > −5a − 1.
871. Известно, что 3 < a < 4. Оцените значение выражения: а) 5a; б) −a; в) a + 2; г) 5 − a; д) 0,2a + 3.
а) Умножим на 5: 15 < 5a < 20.
б) Умножим на −1, знаки меняются: −4 < −a < −3.
в) Прибавим 2: 5 < a + 2 < 6.
г) Из −4 < −a < −3 прибавим 5: 1 < 5 − a < 2.
д) Умножим на 0,2: 0,6 < 0,2a < 0,8; прибавим 3: 3,6 < 0,2a + 3 < 3,8.
б) Умножим на −1, знаки меняются: −4 < −a < −3.
в) Прибавим 2: 5 < a + 2 < 6.
г) Из −4 < −a < −3 прибавим 5: 1 < 5 − a < 2.
д) Умножим на 0,2: 0,6 < 0,2a < 0,8; прибавим 3: 3,6 < 0,2a + 3 < 3,8.
872. Зная, что 5 < x < 8, оцените значение выражения: а) 6x; б) −10x; в) x − 5; г) 3x + 2.
а) Умножим на 6: 30 < 6x < 48.
б) Умножим на −10, знаки меняются: −80 < −10x < −50.
в) Вычтем 5: 0 < x − 5 < 3.
г) Умножим на 3: 15 < 3x < 24; прибавим 2: 17 < 3x + 2 < 26.
б) Умножим на −10, знаки меняются: −80 < −10x < −50.
в) Вычтем 5: 0 < x − 5 < 3.
г) Умножим на 3: 15 < 3x < 24; прибавим 2: 17 < 3x + 2 < 26.
873. Пользуясь тем, что 1,4 < √2 < 1,5, оцените значение выражения: а) √2 + 1; б) √2 − 1; в) 2 − √2.
а) Прибавим 1: 2,4 < √2 + 1 < 2,5.
б) Вычтем 1: 0,4 < √2 − 1 < 0,5.
в) Умножим на −1: −1,5 < −√2 < −1,4; прибавим 2: 0,5 < 2 − √2 < 0,6.
б) Вычтем 1: 0,4 < √2 − 1 < 0,5.
в) Умножим на −1: −1,5 < −√2 < −1,4; прибавим 2: 0,5 < 2 − √2 < 0,6.
874. Пользуясь тем, что 2,2 < √5 < 2,3, оцените значение выражения: а) √5 + 2; б) 3 − √5.
а) Прибавим 2: 4,2 < √5 + 2 < 4,3.
б) Умножим на −1: −2,3 < −√5 < −2,2; прибавим 3: 0,7 < 3 − √5 < 0,8.
б) Умножим на −1: −2,3 < −√5 < −2,2; прибавим 3: 0,7 < 3 − √5 < 0,8.
875. Сравните числа: а) √11 + 13 и 15; б) √84 и 7 + √6; в) √8 − √3 и 2; г) √47 − √7 и 5.
а) √11 > √9 = 3, поэтому √11 + 13 > 16 > 15. Значит, √11 + 13 > 15.
б) √84 < √100 = 10, но нужна более точная оценка: 9,2² = 84,64 > 84, поэтому √84 < 9,2. А √6 > 2,4 (2,4² = 5,76 < 6), поэтому 7 + √6 > 9,4. Значит, √84 < 7 + √6.
в) √8 < √9 = 3, √3 > √1 = 1, поэтому √8 − √3 < 3 − 1 = 2. Значит, √8 − √3 < 2.
г) √47 < √49 = 7, √7 > √4 = 2, поэтому √47 − √7 < 7 − 2 = 5. Значит, √47 − √7 < 5.
б) √84 < √100 = 10, но нужна более точная оценка: 9,2² = 84,64 > 84, поэтому √84 < 9,2. А √6 > 2,4 (2,4² = 5,76 < 6), поэтому 7 + √6 > 9,4. Значит, √84 < 7 + √6.
в) √8 < √9 = 3, √3 > √1 = 1, поэтому √8 − √3 < 3 − 1 = 2. Значит, √8 − √3 < 2.
г) √47 < √49 = 7, √7 > √4 = 2, поэтому √47 − √7 < 7 − 2 = 5. Значит, √47 − √7 < 5.
876. Сравните числа: а) √2 + 5 и 2 + √5; б) √3 − 4 и 1 − √5; в) (2√3 + 23)/3 и 9; г) (1 − √15)/12 и −7/8.
а) Разность (√2 + 5) − (2 + √5) = 3 + √2 − √5. Так как √2 > 1,4 и √5 < 2,3, то 3 + √2 − √5 > 3 + 1,4 − 2,3 = 2,1 > 0. Значит, √2 + 5 > 2 + √5.
б) Разность (√3 − 4) − (1 − √5) = √3 + √5 − 5. Так как √3 < 2 и √5 < 2,3, то √3 + √5 < 4,3 < 5, разность отрицательна. Значит, √3 − 4 < 1 − √5.
в) Умножим оба числа на 3: 2√3 + 23 и 27. Сравним 2√3 и 4: √3 < 2, поэтому 2√3 < 4 и 2√3 + 23 < 27. Значит, (2√3 + 23)/3 < 9.
г) Умножим оба числа на 24: 2(1 − √15) = 2 − 2√15 и −21. Сравним 2√15 = √60 и 23: √60 < 8 < 23, поэтому 2 − 2√15 > 2 − 23 = −21. Значит, (1 − √15)/12 > −7/8.
б) Разность (√3 − 4) − (1 − √5) = √3 + √5 − 5. Так как √3 < 2 и √5 < 2,3, то √3 + √5 < 4,3 < 5, разность отрицательна. Значит, √3 − 4 < 1 − √5.
в) Умножим оба числа на 3: 2√3 + 23 и 27. Сравним 2√3 и 4: √3 < 2, поэтому 2√3 < 4 и 2√3 + 23 < 27. Значит, (2√3 + 23)/3 < 9.
г) Умножим оба числа на 24: 2(1 − √15) = 2 − 2√15 и −21. Сравним 2√15 = √60 и 23: √60 < 8 < 23, поэтому 2 − 2√15 > 2 − 23 = −21. Значит, (1 − √15)/12 > −7/8.
877. а) Оцените периметр квадрата, сторона которого равна a см, если 5,1 ≤ a ≤ 5,2. б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квадрата равен P см, если 15,6 ≤ P ≤ 15,8.
а) P = 4a. Умножим неравенство 5,1 ≤ a ≤ 5,2 на 4: 20,4 ≤ 4a ≤ 20,8, то есть 20,4 ≤ P ≤ 20,8 (см).
б) Сторона a = P/4. Разделим неравенство 15,6 ≤ P ≤ 15,8 на 4: 3,9 ≤ a ≤ 3,95 (см).
б) Сторона a = P/4. Разделим неравенство 15,6 ≤ P ≤ 15,8 на 4: 3,9 ≤ a ≤ 3,95 (см).