Глава IV. §11. п.35 Свойства числовых неравенств — с. 195
878. Оцените значение выражения 1/y, если: а) 5 < y < 8; б) 0,125 < y < 0,25.
Для положительных чисел: если x < y, то 1/x > 1/y.
а) 5 < y < 8 ⇒ 1/8 < 1/y < 1/5.
б) 0,125 < y < 0,25 ⇒ 1/0,25 < 1/y < 1/0,125, то есть 4 < 1/y < 8.
а) 5 < y < 8 ⇒ 1/8 < 1/y < 1/5.
б) 0,125 < y < 0,25 ⇒ 1/0,25 < 1/y < 1/0,125, то есть 4 < 1/y < 8.
879. Найдите значение многочлена x² − 4x + 1 при x = 1/4; −3; 2 − √3.
При x = 1/4: 1/16 − 1 + 1 = 1/16.
При x = −3: 9 + 12 + 1 = 22.
При x = 2 − √3: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 4 − 4√3 + 3 − 8 + 4√3 + 1 = 0.
Ответ: 1/16; 22; 0.
При x = −3: 9 + 12 + 1 = 22.
При x = 2 − √3: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 4 − 4√3 + 3 − 8 + 4√3 + 1 = 0.
Ответ: 1/16; 22; 0.
880. Решите уравнение: а) (8x² − 3)/5 − (5 − 9x²)/4 = 2; б) 2/(x² − x + 1) − 1/(x + 1) = (2x − 1)/(x³ + 1); в) 10/(x² − 4) − 3/(2x − 4) = 1/2; г) x − (x² − 17)/(x − 3) = 5/x.
а) Умножим на 20: 4(8x² − 3) − 5(5 − 9x²) = 40; 32x² − 12 − 25 + 45x² = 40; 77x² = 77; x² = 1; x = ±1.
б) x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1); ОДЗ: x ≠ −1. Умножим на (x + 1)(x² − x + 1): 2(x + 1) − (x² − x + 1) = 2x − 1; −x² + 3x + 1 = 2x − 1; x² − x − 2 = 0; x = 2 или x = −1. Корень −1 не входит в ОДЗ. Остаётся x = 2.
в) x² − 4 = (x − 2)(x + 2), 2x − 4 = 2(x − 2); ОДЗ: x ≠ ±2. Умножим на 2(x − 2)(x + 2): 20 − 3(x + 2) = (x − 2)(x + 2); 14 − 3x = x² − 4; x² + 3x − 18 = 0; D = 81; x = 3 или x = −6. Оба корня подходят.
г) ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 3. Умножим на x(x − 3): x²(x − 3) − x(x² − 17) = 5(x − 3); −3x² + 17x = 5x − 15; 3x² − 12x − 15 = 0; x² − 4x − 5 = 0; x = 5 или x = −1. Оба корня подходят.
Ответ: а) −1; 1; б) 2; в) −6; 3; г) −1; 5.
б) x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1); ОДЗ: x ≠ −1. Умножим на (x + 1)(x² − x + 1): 2(x + 1) − (x² − x + 1) = 2x − 1; −x² + 3x + 1 = 2x − 1; x² − x − 2 = 0; x = 2 или x = −1. Корень −1 не входит в ОДЗ. Остаётся x = 2.
в) x² − 4 = (x − 2)(x + 2), 2x − 4 = 2(x − 2); ОДЗ: x ≠ ±2. Умножим на 2(x − 2)(x + 2): 20 − 3(x + 2) = (x − 2)(x + 2); 14 − 3x = x² − 4; x² + 3x − 18 = 0; D = 81; x = 3 или x = −6. Оба корня подходят.
г) ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 3. Умножим на x(x − 3): x²(x − 3) − x(x² − 17) = 5(x − 3); −3x² + 17x = 5x − 15; 3x² − 12x − 15 = 0; x² − 4x − 5 = 0; x = 5 или x = −1. Оба корня подходят.
Ответ: а) −1; 1; б) 2; в) −6; 3; г) −1; 5.