Глава IV. §11. п.35 Свойства числовых неравенств — с. 193
862. Известно, что a < b. Сравните, если возможно, a и b + 1, a − 3 и b, a − 5 и b + 2, a + 4 и b − 1.
Известно, что a < b, то есть a − b < 0.
a и b + 1: a < b < b + 1, значит, a < b + 1.
a − 3 и b: a − 3 < a < b, значит, a − 3 < b.
a − 5 и b + 2: a − 5 < b − 5 < b + 2, значит, a − 5 < b + 2.
a + 4 и b − 1: разность (a + 4) − (b − 1) = (a − b) + 5 может быть любого знака. Например, при a = 1, b = 2 имеем 5 > 1, а при a = 1, b = 20 имеем 5 < 19. Сравнить нельзя.
a и b + 1: a < b < b + 1, значит, a < b + 1.
a − 3 и b: a − 3 < a < b, значит, a − 3 < b.
a − 5 и b + 2: a − 5 < b − 5 < b + 2, значит, a − 5 < b + 2.
a + 4 и b − 1: разность (a + 4) − (b − 1) = (a − b) + 5 может быть любого знака. Например, при a = 1, b = 2 имеем 5 > 1, а при a = 1, b = 20 имеем 5 < 19. Сравнить нельзя.
863. Какими числами (положительными или отрицательными) являются a и b, если известно, что верны неравенства: а) a − 3 > b − 3 и b > 4; б) a − 8 > b − 8 и a < −12; в) 7a > 7b и b > 1/2; г) −2a > −2b и b < −1/3?
а) Из a − 3 > b − 3 следует a > b; так как b > 4, то a > b > 4. Оба числа положительные.
б) Из a − 8 > b − 8 следует a > b; так как a < −12, то b < a < −12. Оба числа отрицательные.
в) Из 7a > 7b следует a > b; так как b > 1/2, то a > b > 1/2. Оба числа положительные.
г) Разделим −2a > −2b на −2 и изменим знак: a < b; так как b < −1/3, то a < b < −1/3. Оба числа отрицательные.
б) Из a − 8 > b − 8 следует a > b; так как a < −12, то b < a < −12. Оба числа отрицательные.
в) Из 7a > 7b следует a > b; так как b > 1/2, то a > b > 1/2. Оба числа положительные.
г) Разделим −2a > −2b на −2 и изменим знак: a < b; так как b < −1/3, то a < b < −1/3. Оба числа отрицательные.
864. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если: а) к обеим частям неравенства 18 > −7 прибавить число −5; число 2,7; число 7; б) из обеих частей неравенства 5 > −3 вычесть число 2; число 12; число −5; в) обе части неравенства −9 < 21 умножить на 2; на −1; на −1/3; г) обе части неравенства 15 > −6 разделить на 3; на −3; на −1.
а) 18 + (−5) > −7 + (−5): 13 > −12; 18 + 2,7 > −7 + 2,7: 20,7 > −4,3; 18 + 7 > −7 + 7: 25 > 0.
б) 5 − 2 > −3 − 2: 3 > −5; 5 − 12 > −3 − 12: −7 > −15; 5 − (−5) > −3 − (−5): 10 > 2.
в) При умножении на 2: −18 < 42. При умножении на −1 знак меняется: 9 > −21. При умножении на −1/3 знак меняется: 3 > −7.
г) При делении на 3: 5 > −2. При делении на −3 знак меняется: −5 < 2. При делении на −1 знак меняется: −15 < 6.
б) 5 − 2 > −3 − 2: 3 > −5; 5 − 12 > −3 − 12: −7 > −15; 5 − (−5) > −3 − (−5): 10 > 2.
в) При умножении на 2: −18 < 42. При умножении на −1 знак меняется: 9 > −21. При умножении на −1/3 знак меняется: 3 > −7.
г) При делении на 3: 5 > −2. При делении на −3 знак меняется: −5 < 2. При делении на −1 знак меняется: −15 < 6.
865. Известно, что a < b. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если: а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4; б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5; в) обе части этого неравенства умножить на 8; г) обе части этого неравенства разделить на 1/3; д) обе части этого неравенства умножить на −4,8; е) обе части этого неравенства разделить на −1.
а) a + 4 < b + 4.
б) a − 5 < b − 5.
в) 8a < 8b (число 8 положительно, знак сохраняется).
г) Деление на 1/3 равносильно умножению на 3: 3a < 3b (знак сохраняется).
д) Число −4,8 отрицательно, знак меняется: −4,8a > −4,8b.
е) Деление на −1, знак меняется: −a > −b.
б) a − 5 < b − 5.
в) 8a < 8b (число 8 положительно, знак сохраняется).
г) Деление на 1/3 равносильно умножению на 3: 3a < 3b (знак сохраняется).
д) Число −4,8 отрицательно, знак меняется: −4,8a > −4,8b.
е) Деление на −1, знак меняется: −a > −b.
866. Известно, что a < b. Поставьте вместо звёздочки знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство: а) −12,7a −12,7b; б) a/3 b/3; в) 0,07a 0,07b; г) −a/2 −b/2.
а) Умножаем на отрицательное число −12,7, знак меняется: −12,7a > −12,7b.
б) Делим на положительное число 3: a/3 < b/3.
в) Умножаем на положительное число 0,07: 0,07a < 0,07b.
г) Умножаем на отрицательное число −1/2, знак меняется: −a/2 > −b/2.
б) Делим на положительное число 3: a/3 < b/3.
в) Умножаем на положительное число 0,07: 0,07a < 0,07b.
г) Умножаем на отрицательное число −1/2, знак меняется: −a/2 > −b/2.
867. Каков знак числа a, если известно, что: а) 5a < 2a; б) 7a > 3a; в) −3a < 3a; г) −12a > −2a?
а) 5a − 2a < 0, 3a < 0, a < 0. Число a отрицательное.
б) 7a − 3a > 0, 4a > 0, a > 0. Число a положительное.
в) −3a − 3a < 0, −6a < 0, a > 0. Число a положительное.
г) −12a + 2a > 0, −10a > 0, a < 0. Число a отрицательное.
б) 7a − 3a > 0, 4a > 0, a > 0. Число a положительное.
в) −3a − 3a < 0, −6a < 0, a > 0. Число a положительное.
г) −12a + 2a > 0, −10a > 0, a < 0. Число a отрицательное.
868. Известно, что c > d. Объясните, на основании каких свойств можно утверждать, что верно неравенство: а) −7c < −7d; б) c/8 > d/8; в) 2c + 11 > 2d + 11; г) 0,01c − 0,7 > 0,01d − 0,7; д) 1 − c < 1 − d; е) 2 − c/2 < 2 − d/2.
а) Обе части c > d умножили на отрицательное число −7, знак изменился на противоположный.
б) Обе части разделили на положительное число 8, знак сохранился.
в) Обе части умножили на положительное число 2 (2c > 2d), затем прибавили к обеим частям 11.
г) Обе части умножили на положительное число 0,01, затем вычли из обеих частей 0,7.
д) Обе части умножили на −1 (−c < −d, знак изменился), затем прибавили к обеим частям 1.
е) Обе части разделили на 2 (c/2 > d/2), умножили на −1 (−c/2 < −d/2, знак изменился), затем прибавили 2.
б) Обе части разделили на положительное число 8, знак сохранился.
в) Обе части умножили на положительное число 2 (2c > 2d), затем прибавили к обеим частям 11.
г) Обе части умножили на положительное число 0,01, затем вычли из обеих частей 0,7.
д) Обе части умножили на −1 (−c < −d, знак изменился), затем прибавили к обеим частям 1.
е) Обе части разделили на 2 (c/2 > d/2), умножили на −1 (−c/2 < −d/2, знак изменился), затем прибавили 2.