Глава IV. §11. п.35 Свойства числовых неравенств — с. 190
854. Что больше: a³ + b³ или ab(a + b), если a и b — неравные положительные числа?
Составим разность: a³ + b³ − ab(a + b) = (a + b)(a² − ab + b²) − ab(a + b) = (a + b)(a² − 2ab + b²) = (a + b)(a − b)².
Так как a + b > 0 и (a − b)² > 0 (a ≠ b), разность положительна.
Ответ: a³ + b³ > ab(a + b).
Так как a + b > 0 и (a − b)² > 0 (a ≠ b), разность положительна.
Ответ: a³ + b³ > ab(a + b).
855. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.
Получилась последовательность k, 1 + k, 2 + k, 3 + k.
Произведение крайних: k(3 + k) = k² + 3k. Произведение средних: (1 + k)(2 + k) = k² + 3k + 2.
Разность: (k² + 3k) − (k² + 3k + 2) = −2 < 0.
Ответ: произведение крайних членов меньше произведения средних на 2 при любом k.
Произведение крайних: k(3 + k) = k² + 3k. Произведение средних: (1 + k)(2 + k) = k² + 3k + 2.
Разность: (k² + 3k) − (k² + 3k + 2) = −2 < 0.
Ответ: произведение крайних членов меньше произведения средних на 2 при любом k.
856. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?
Пусть весь путь равен S км. Коля шёл всё время со скоростью 5 км/ч и затратил S/5 ч.
Миша шёл первую половину пути со скоростью 5,5 км/ч, вторую — со скоростью 4,5 км/ч: время S/2 : 5,5 + S/2 : 4,5 = S/11 + S/9 = 20S/99 ч.
Сравним: 20S/99 − S/5 = (100S − 99S)/495 = S/495 > 0. Значит, Мише понадобилось больше времени.
Ответ: первым пришёл Коля.
Миша шёл первую половину пути со скоростью 5,5 км/ч, вторую — со скоростью 4,5 км/ч: время S/2 : 5,5 + S/2 : 4,5 = S/11 + S/9 = 20S/99 ч.
Сравним: 20S/99 − S/5 = (100S − 99S)/495 = S/495 > 0. Значит, Мише понадобилось больше времени.
Ответ: первым пришёл Коля.
857. Найдите значение дроби (x² − 6x + 3)/(x + 2) при x = −1/3.
При x = −1/3: x² = 1/9, −6x = 2, числитель 1/9 + 2 + 3 = 5 1/9 = 46/9; знаменатель −1/3 + 2 = 5/3.
(46/9) : (5/3) = 46/9 · 3/5 = 46/15 = 3 1/15.
Ответ: 3 1/15.
(46/9) : (5/3) = 46/9 · 3/5 = 46/15 = 3 1/15.
Ответ: 3 1/15.
858. Сократите дробь: а) (x² − 10x + 25)/(35 − 7x); б) (4x² − 12x + 9)/(3 − 2x)².
а) x² − 10x + 25 = (x − 5)², 35 − 7x = −7(x − 5). Дробь равна (x − 5)²/(−7(x − 5)) = −(x − 5)/7 = (5 − x)/7 (при x ≠ 5).
б) 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², (3 − 2x)² = (2x − 3)². Дробь равна 1 (при x ≠ 1,5).
Ответ: а) (5 − x)/7; б) 1.
Оговорка: в условии б) знаменатель прочитан как (3 − 2x)².
б) 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², (3 − 2x)² = (2x − 3)². Дробь равна 1 (при x ≠ 1,5).
Ответ: а) (5 − x)/7; б) 1.
Оговорка: в условии б) знаменатель прочитан как (3 − 2x)².
859. Решите уравнение: а) 5/x = 2 − 3/(x − 2); б) 3/(2x − 1) = 5x − 9.
а) ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2. Умножим обе части на x(x − 2): 5(x − 2) = 2x(x − 2) − 3x; 5x − 10 = 2x² − 4x − 3x; 2x² − 12x + 10 = 0; x² − 6x + 5 = 0; x = 1 или x = 5. Оба корня входят в ОДЗ.
б) ОДЗ: x ≠ 1/2. Умножим на 2x − 1: 3 = (5x − 9)(2x − 1); 3 = 10x² − 5x − 18x + 9; 10x² − 23x + 6 = 0; D = 529 − 240 = 289; x = (23 ± 17)/20, то есть x = 2 или x = 0,3. Оба корня подходят.
Ответ: а) 1; 5; б) 0,3; 2.
б) ОДЗ: x ≠ 1/2. Умножим на 2x − 1: 3 = (5x − 9)(2x − 1); 3 = 10x² − 5x − 18x + 9; 10x² − 23x + 6 = 0; D = 529 − 240 = 289; x = (23 ± 17)/20, то есть x = 2 или x = 0,3. Оба корня подходят.
Ответ: а) 1; 5; б) 0,3; 2.